Теория гомотопии

В математике , теория гомотопий является систематическим изучением ситуаций , в которых карты приходят с гомотопиями между ними. Она зародилась как тема алгебраической топологии, но в настоящее время изучается как самостоятельная дисциплина. Помимо алгебраической топологии, теория также использовалась в других областях математики, таких как алгебраическая геометрия (например, теория гомотопии A ¹ ) и теория категорий (в частности, изучение высших категорий ).

Концепции [ править ]

Пространства и карты [ править ]

В теории гомотопий и алгебраической топологии слово «пространство» обозначает топологическое пространство . Во избежание патологий редко работают с произвольными пробелами; вместо этого требуются пробелы, чтобы соответствовать дополнительным ограничениям, таким как компактная генерация , или Хаусдорф , или комплекс CW .

В том же ключе, что и выше, «карта» - это непрерывная функция, возможно, с некоторыми дополнительными ограничениями.

Часто работают с заостренным пространством, то есть пространством с «выделенной точкой», называемой базовой точкой. Тогда остроконечная карта - это карта, которая сохраняет базовые точки; то есть он отправляет базовую точку домена в базовую точку кодомена. Напротив, бесплатная карта - это карта, на которой не нужно сохранять базовые точки.

Гомотопия [ править ]

Обозначим I единичный интервал. Семейство отображений, индексированных I , называется гомотопией от до, если это отображение (например, оно должно быть непрерывной функцией ). Когда X , Y являются заостренными пробелами, они необходимы для сохранения базовых точек. Можно показать, что гомотопия является отношением эквивалентности . Учитывая заостренное пространство X и целое число , пусть будут гомотопические классы карт на основе из а (заостренный) п -сферы к X . Как выясняется, это группы ; особенно,${\ displaystyle h_ {t}: от X \ до Y}$${\ displaystyle h_ {0}}$${\ displaystyle h_ {1}}$${\ displaystyle h: I \ times X \ to Y, (t, x) \ mapsto h_ {t} (x)}$${\ displaystyle h_ {t}}$ ${\ Displaystyle п \ geq 1}$${\displaystyle \pi _{n}(X)=[S^{n},X]_{*}}$${\displaystyle S^{n}\to X}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \pi _{n}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$называется фундаментальной группой из X .

Если кто-то предпочитает работать с пространством, а не с заостренным пространством, существует понятие фундаментального группоида (и более высоких вариантов): по определению фундаментальный группоид пространства X - это категория, в которой объекты являются точками X и в морфизмах являются путями.

Кофибрация и расслоение [ править ]

Отображение называется корасслоением, если дано (1) отображение и (2) гомотопия , существует гомотопия, которая расширяется и такая, что . В некотором смысле это аналог определяющей диаграммы инъективного модуля в абстрактной алгебре . Самый простой пример - пара CW ; поскольку многие работают только с комплексами CW, понятие кофибрации часто неявно.${\displaystyle f:A\to X}$${\displaystyle h_{0}:X\to Z}$${\displaystyle g_{t}:A\to Z}$${\displaystyle h_{t}:X\to Z}$${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle h_{t}\circ f=g_{t}}$ ${\displaystyle (X,A)}$

Расслоением в смысле Серра является сопряженным понятие корасслоения: то есть, отображение является расслоением , если дано (1) отображение и (2) гомотопия , существует гомотопическая таким образом, что это дано одно и . Базовый пример - это покрывающая карта (на самом деле расслоение - это обобщение покрывающей карты). Если - главное G -расслоение , то есть пространство со свободным и транзитивным (топологическим) групповым действием ( топологической ) группы, то отображение проекции является примером расслоения.${\displaystyle p:X\to B}$${\displaystyle Z\to X}$${\displaystyle g_{t}:Z\to B}$${\displaystyle h_{t}:Z\to X}$${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle p:E\to X}$

Классификация пространств и гомотопические операции [ править ]

С учетом топологической группы G , то классифицирующее пространство для основной G -расслоений ( далее «» с точностью до эквивалентности) является пространством , что для каждого пространства X ,${\displaystyle BG}$

${\displaystyle [X,BG]=}${основное G- расслоение на X  } / ~${\displaystyle ,\,\,[f]\mapsto f^{*}EG}$

куда

• левая часть - множество гомотопических классов отображений ,${\displaystyle X\to BG}$
• ~ относится к изоморфизму связок, а
• = Задается вытягивать-обратно различающееся сверток на ( так называемый универсальный пакет) по карте .${\displaystyle EG}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle X\to BG}$

Теорема Брауна о представимости гарантирует существование классифицирующих пространств.

Спектр и обобщенные когомологии [ править ]

Идея о том, что классифицирующее пространство классифицирует основные связки, может быть продвинута дальше. Например, можно попытаться классифицировать классы когомологий: учитывая абелеву группу A (такую ​​как ),${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle [X,K(A,n)]=\operatorname {H} ^{n}(X;A)}$

где - пространство Эйленберга – Маклейна . Вышеприведенное уравнение приводит к понятию обобщенной теории когомологий; т. е. контравариантный функтор из категории пространств в категорию абелевых групп , удовлетворяющий аксиомам, обобщающим обычную теорию когомологий. Оказывается, такой функтор может не быть представлен пространством, но он всегда может быть представлен последовательностью (точечных) пространств со структурными картами, называемыми спектром. Другими словами, дать обобщенную теорию когомологий - значит дать спектр.${\displaystyle K(A,n)}$

Базовым примером спектра является сферический спектр :${\displaystyle S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to \cdots }$

Ключевые теоремы [ править ]

• Теорема Зейферта – ван Кампена.
• Теорема гомотопического вырезания
• Теорема Фрейденталя о подвеске (следствие теоремы об вырезании)
• Теорема Ландвебера о точном функторе
• Переписка Дольда – Кана
• Аргумент Экмана – Хилтона - это показывает, например, что высшие гомотопические группы абелевы .
• Теорема об универсальном коэффициенте

Теория препятствий и характеристический класс [ править ]

См. Также: Характеристический класс , Башня Постникова , Кручение Уайтхеда.

Локализация и доработка пространства [ править ]

Конкретные теории [ править ]

Есть несколько конкретных теорий

• простая теория гомотопии
• теория стабильной гомотопии
• теория хроматической гомотопии
• теория рациональной гомотопии
• p-адическая теория гомотопий
• эквивариантная теория гомотопий

Гипотеза гомотопии [ править ]

Один из основных вопросов в основах теории гомотопий - природа пространства. Гипотеза гомотопии спрашивает, является ли пространство чем-то фундаментально алгебраическим.

Абстрактная теория гомотопии [ править ]

Концепции [ править ]

• последовательность волокон
• последовательность кофайбер

Категории моделей [ править ]

Симплициальная гомотопическая теория [ править ]

• Симплициальная гомотопия

См. Также [ править ]

• Сильно структурированный кольцевой спектр
• Теория гомотопического типа

Ссылки [ править ]

• Мэй Дж . Краткий курс алгебраической топологии
• Джордж Уильям Уайтхед (1978). Элементы теории гомотопии . Тексты для выпускников по математике. 61 (3-е изд.). Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. стр. xxi + 744. ISBN 978-0-387-90336-1. Руководство по ремонту  0516508 . Проверено 6 сентября 2011 года .
• Рональд Браун, Топология и группоиды (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8 . 

Дальнейшее чтение [ править ]

• Заметки Цисинского
• http://ncatlab.org/nlab/files/Abstract-Homotopy.pdf

Внешние ссылки [ править ]

• https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory