В математике , то Йонеды лемма является , пожалуй, самым важным результатом в теории категорий . [1] Это абстрактный результат о функторах типа морфизмов в фиксированный объект . Это обширное обобщение теоремы Кэли из теории групп (рассмотрение группы как миниатюрной категории с одним объектом и только изоморфизмами). Он позволяет вложить любую локально малую категорию в категорию функторов (контравариантных многозначных функторов), определенных в этой категории. Он также поясняет, как встроенная категория представимых функторови их естественные преобразования относится к другим объектам в более крупной категории функторов. Это важный инструмент, лежащий в основе нескольких современных разработок в алгебраической геометрии и теории представлений . Он назван в честь Нобуо Йонеды .
Общие
Лемма Йонеды предполагает, что вместо изучения локально малой категории, следует изучить категорию всех функторов в ( категория множеств с функциями как морфизмами ). - категория, которую, как мы думаем, мы хорошо понимаем, и функтор в можно рассматривать как "представление" с точки зрения известных конструкций. Исходная категория содержится в этой категории функторов, но в категории функторов появляются новые объекты, которые отсутствовали и были «спрятаны» в . Отношение к этим новым объектам так же, как к старым, часто объединяет и упрощает теорию.
Этот подход сродни (и фактически обобщает) обычному методу изучения кольца путем исследования модулей над этим кольцом. Кольцо занимает место категории, а категория модулей над кольцом - это категория функторов, определенных на .
Официальное заявление
Лемма Йонеды касается функторов из фиксированной категории в категорию наборов ,. Еслиявляется локально небольшой категорией (т.е. hom-множества являются фактическими множествами, а не собственными классами), то каждый объект из порождает естественный функтор называется гом-функтором . Этот функтор обозначается:
- .
( Ковариантный ) гом-функтор отправляет к множеству морфизмов и отправляет морфизм (где а также объекты в ) к морфизму (композиция с слева), который отправляет морфизм в к морфизму в . Это,
- .
Позволять - произвольный функтор из к . Тогда лемма Йонеды говорит, что:
- .
Здесь обозначение обозначает категорию функторов из к .
Учитывая естественное преобразование из к , соответствующий элемент является ; [a] и задан элемент из , соответствующее естественное преобразование дается выражением .
Контравариантная версия
Существует контравариантная версия леммы Йонеды, которая касается контравариантных функторов из к . В этой версии используется контравариантный гом-функтор
который отправляет к хом-множеству . Для произвольного контравариантного функтора из к , Лемма Йонеды утверждает, что
Соглашения об именах
Использование для ковариантного гом-функтора и поскольку контравариантный гом-функтор не является полностью стандартным. Во многих текстах и статьях для этих двух функторов используются либо противоположные соглашения, либо совершенно не связанные символы. Однако большинство современных текстов по алгебраической геометрии, начиная с основополагающей EGA Александра Гротендика, используют это соглашение в этой статье. [b]
Мнемоника "падение во что-то" может помочь вспомнить, что ковариантный гом-функтор. Когда письмобудет падать (т.е. нижний индекс), присваивает объекту морфизмы из в .
Доказательство
Доказательство леммы Йонеды обозначается следующей коммутативной диаграммой :
Эта диаграмма показывает, что естественное преобразование полностью определяется поскольку для каждого морфизма надо
- .
Более того, любой элемент таким образом определяет естественное преобразование. Доказательство в контравариантном случае полностью аналогично.
Вложение Йонеды
Важный частный случай леммы Йонеды - это когда функтор из к еще один хом-функтор . В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что
То есть естественные преобразования между гом-функторами находятся во взаимно однозначном соответствии с морфизмами (в обратном направлении) между ассоциированными объектами. Учитывая морфизм соответствующее естественное преобразование обозначается .
Отображение каждого объекта в с ассоциированным с ним гом-функтором и каждый морфизм к соответствующему естественному преобразованию определяет контравариантный функтор из к , категория функторов всех (ковариантных) функторов из к . Можно интерпретироватькак ковариантный функтор :
Смысл леммы Йонеды в этом случае состоит в том, что функтор является полностью верным , и , следовательно , дает вложение в категории функторов к . Коллекция всех функторов подкатегория . Следовательно, из вложения Йонеды следует, что категория изоморфна категории .
Контравариантная версия леммы Йонеды утверждает, что
Следовательно, порождает ковариантный функтор из в категорию контравариантных функторов к :
Лемма Йонеды утверждает, что любая локально малая категория вкладывается в категорию контравариантных функторов из к через . Это называется вложением Йонеды .
Йонеды вложение иногда обозначаютсяよ, то хираган кан Yo . [2]
Представимый функтор
Йонеды вложения по существу утверждает , что для любого (локально малой) категории, объекты в этой категории могут быть представлены с помощью предпучков , в полном и добросовестно. Это,
для предпучка P . Многие общие категории на самом деле являются предварительными пучками, и при ближайшем рассмотрении оказываются пучками , и, поскольку такие примеры обычно являются топологическими по своей природе, их можно рассматривать как топосы в целом. Лемма Йонеды предоставляет точку воздействия, с помощью которой можно изучать и понимать топологическую структуру категории.
С точки зрения (со) конечного исчисления
Учитывая две категории а также с двумя функторами , Естественные преобразования между ними можно записать в виде следующего конца . [3]
Для любых функторов а также все следующие формулы являются формулировками леммы Йонеды. [4]
Преддитивные категории, кольца и модули
Предаддитивна категория является категорией , где наборы образуют морфизм абелевых групп и композиция морфизмов является билинейной ; примерами являются категории абелевых групп или модулей. В предаддитивной категории есть как «умножение», так и «добавление» морфизмов, поэтому предаддитивные категории рассматриваются как обобщения колец . Кольца - это предаддитивные категории с одним объектом.
Лемма Йонеды останется верной для преаддитивных категорий, если мы выберем в качестве нашего расширения категорию аддитивных контравариантных функторов из исходной категории в категорию абелевых групп; это функторы, совместимые с добавлением морфизмов, и их следует рассматривать как образующие модульную категорию над исходной категорией. Затем лемма Йонеды дает естественную процедуру расширения предаддитивной категории, так что расширенная версия остается предаддитивной - фактически, расширенная версия является абелевой категорией , гораздо более мощным условием. В случае кольцарасширенная категория - это категория всех правых модулей над, и утверждение леммы Йонеды сводится к известному изоморфизму
- для всех правильных модулей над .
Связь с теоремой Кэли
Как указано выше, лемму Йонеды можно рассматривать как обширное обобщение теоремы Кэли из теории групп . Чтобы увидеть это, позвольте быть категорией с одним объектом такой, что каждый морфизм является изоморфизмом (т. е. группоидом с одним объектом). потомобразует группу при операции композиции, и любая группа может быть реализована таким образом как категория.
В этом контексте ковариантный функтор состоит из набора и гомоморфизм групп , где это группа перестановок из; другими словами,является G-множеством . Естественное преобразование между такими функторами - это то же самое, что эквивариантное отображение между-sets: функция набора со свойством, что для всех в а также в . (В левой части этого уравнения обозначает действие на , а справа - действие на .)
Теперь ковариантный гом-функтор соответствует действию на себя умножением слева (контравариантная версия соответствует умножению справа). Лемма Йонеды с говорится, что
- ,
то есть эквивариантные отображения из этого -наборы находятся в взаимно однозначном соответствии с . Но легко видеть , что (1) эти карты образуют группу по составу, который является подгруппой в, и (2) функция, дающая биекцию, является гомоморфизмом групп. (В обратном направлении он ассоциируется с каждым в эквивариантное отображение правого умножения на .) Таким образом изоморфна подгруппе , что является утверждением теоремы Кэли.
История
Йошики Киношита заявил в 1996 году, что термин «лемма Йонеды» был придуман Сондерсом Мак Лейном после интервью, которое он дал Йонеде. [5]
Смотрите также
- Теорема представления
Заметки
- ^ Напомним, что поэтому последнее выражение четко определено и отправляет морфизм из к , к элементу в .
- ^ Заметным исключением из современных текстов по алгебраической геометрии, следующих за соглашениями этой статьи, является коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии / Дэвид Эйзенбуд (1995), который используетозначать ковариантный гом-функтор. Однако более поздняя книга Геометрия схем / Дэвид Эйзенбуд, Джо Харрис (1998) обращает это внимание на противоположное и использует означать контравариантный гом-функтор.
Рекомендации
- ^ Риль, Эмили. «Теория категорий в контексте» (PDF) .
- ^ "Вложение Йонеды" . nLab . Дата обращения 6 июля 2019 .
- ^ Loregian (2015) , теорема 1.4.1.
- ^ Loregian (2015) , Предложение 2.2.1.
- ^ Киношита, Йошики (23 апреля 1996 г.). «Проф. Нобуо Йонеда скончался» . Проверено 21 декабря 2013 года .
- Фрейд, Питер (1964), Абелевы категории , Серия Харпера в современной математике (переиздание, 2003 г.), Харпер и Роу, Zbl 0121.02103.
- Mac Lane, Saunders (1998), Категории для рабочего математика , Тексты для выпускников по математике , 5 (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98403-8, Zbl 0906,18001
- Лорегиан, Фоско (2015). «Это (со) конец, мой единственный (со) друг». arXiv : 1501.02503 [ math.CT ].
- Лемма Йонеды в nLab
Внешние ссылки
- Доказательство системы Mizar : http://www.mizar.org/JFM/pdf/yoneda_1.pdf