ЭЛЕМЕНТЫ геометрического подход algébrique ( «Элементы алгебраической геометрии ») по Гротендику ( при содействии Жана Дьедонне ) или EGA для краткости, является строгим трактатом, в французском языке , на алгебраической геометрии , которая была опубликована (в восьми частях или брошюрах ) из С 1960 по 1967 год - Институт высших научных исследований . В нем Гротендик установил систематические основы алгебраической геометрии, опираясь на концепцию схем , которую он определил. Эта работа теперь считается краеугольным камнем и основным справочником современной алгебраической геометрии.
Автор | Александр Гротендик и Жан Дьедонне |
---|---|
Язык | Французский |
Предмет | Алгебраическая геометрия |
Издатель | Institut des Hautes Études Scientifiques |
Дата публикации | 1960–1967 |
Редакции
Изначально планировалось тринадцать глав, но были опубликованы только первые четыре (общим объемом около 1500 страниц). Многие материалы, которые можно было бы найти в следующих главах, можно найти в менее отточенной форме в Séminaire de géométrie algébrique (известном как SGA ). Действительно, как объяснил Гротендик в предисловии к опубликованной версии SGA , к 1970 году стало ясно, что включение всего запланированного материала в EGA потребует значительных изменений в ранее опубликованных главах, и, следовательно, перспективы завершения EGA в ближайшей перспективе были ограничены. Очевидный пример - производные категории , которые стали незаменимым инструментом в более поздних томах SGA , но еще не использовались в EGA III, поскольку в то время теория еще не была разработана. Поэтому были приложены значительные усилия, чтобы привести опубликованные тома SGA к высокой степени полноты и точности. До того, как работа над трактатом была прекращена, в 1966–67 гг. Планировалось расширить авторский коллектив, включив в него учеников Гротендика Пьера Делиня и Мишеля Рейно , о чем свидетельствует опубликованная переписка между Гротендиком и Дэвидом Мамфордом . [1] Письмо Гротендика от 4 ноября 1966 г. Мамфорду также указывает на то, что к тому времени уже существовала пересмотренная структура второго издания, а глава VIII уже предназначалась для охвата схемы Пикарда . В этом письме он подсчитал, что при темпе написания до этого момента следующие четыре главы (с V по VIII) заняли бы восемь лет, что указывает на предполагаемый объем, сравнимый с первыми четырьмя главами, которые готовились к около восьми лет в то время.
Тем не менее Гротендик написал исправленную версию EGA I, которая была опубликована Springer-Verlag . Он обновляет терминологию, заменяя «предварительную схему» на «схему» и «схему» на «разделенную схему», и сильно подчеркивает использование представимых функторов . Новое предисловие ко второму изданию также включает немного переработанный план всего трактата, теперь разделенного на двенадцать глав.
EGA V Гротендика, который имеет дело с теоремами типа Бертини , в некоторой степени доступен на веб-сайте Grothendieck Circle . Monografie Matematyczne в Польше приняла этот том к публикации, но процесс редактирования идет довольно медленно (по состоянию на 2010 г.). Джеймс Милн сохранил некоторые оригинальные записи Гротендика и их перевод на английский язык. Они могут быть доступны на его веб-сайтах, связанных с Мичиганским университетом в Анн-Арборе .
Главы
В следующей таблице представлен первоначальный и исправленный план трактата и указано, где (в SGA или в другом месте) Гротендик и его сотрудники рассматривали темы, предназначенные для более поздних, неопубликованных глав.
# | Первое издание | Второе издание | Комментарии |
---|---|---|---|
я | Le langage des schémas | Le langage des schémas | Второе издание вводит определенные схемы, представляющие функторы, такие как грассманианы , предположительно из предполагаемой главы V первого издания. Кроме того, содержание Раздела 1 Главы IV первого издания было перенесено в Главу I второго издания. |
II | Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes | Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes | Первое издание завершено, второе издание не вышло. |
III | Étude cohomologique des faisceaux cohérents | Cohomologie des Faisceaux algébriques cohérents. Приложения. | Первое издание завершено, за исключением последних четырех разделов, предназначенных для публикации после главы IV: элементарная проективная двойственность, локальные когомологии и их связь с проективными когомологиями и группы Пикара (все, кроме проективной двойственности, рассматриваемой в SGA II ). |
IV | Étude locale des schémas et des morphismes de schémas | Étude locale des schémas et des morphismes de schémas | Первое издание практически завершено; некоторые изменения, внесенные в последние разделы; раздел по гиперплоскостным сечениям внесен в новую главу V второй редакции (есть черновик) |
V | Procédés élémentaires de construction de schémas | Дополняет проекты Sur les morphismes | Не появилось. Некоторые элементарные конструкции схем, по-видимому, предназначенные для первого издания, представлены в главе I второго издания. Существующий проект главы V соответствует плану второй редакции. Он также включает расширенную обработку некоторых материалов из SGA VII . |
VI | Technique de descente. Méthode Générale de Construction des Schémas | Методы построения схемы | Не появилось. Теория спуска и связанные с ней методы строительства, кратко изложенные Гротендиком в FGA . К 1968 году план был разработан для обработки алгебраических пространств и алгебраических стеков . |
VII | Schémas de groupes, espaces fibrés Principaux | Schémas en groupes, espaces fibrés принципиальные | Не появилось. Подробно рассматривается в SGA III . |
VIII | Étude différentielle des espaces fibrés | Le Schéma de Picard | Не появилось. Материал, очевидно предназначенный для первого издания, можно найти в SGA III , конструкция и результаты по схеме Пикарда обобщены в FGA . |
IX | Le groupe fondamental | Le groupe fondamental | Не появилось. Обработанные подробно в SGA I . |
Икс | Résidus et dualité | Résidus et dualité | Не появилось. Подробно рассматривается в издании Хартшорном заметок Гротендика «Остатки и двойственность». |
XI | Теория д'Пересечение, классы де Черна, теория Римана-Роха | Теория д'Пересечение, классы де Черна, теория Римана-Роха | Не появилось. Подробно рассматривается в SGA VI . |
XII | Schémas abéliens et schémas de Picard | Cohomologie étale des schémas | Не появилось. Этальная когомология подробно рассмотрены в SGA IV , SGA V . |
XIII | Cohomologie de Weil | никто | Предназначен для освещения этальных когомологий в первом издании. |
Помимо собственно глав, обширная «Глава 0», посвященная различным предварительным сведениям, была разделена между томами, в которых появился трактат. Темы обрабатывают диапазон от теории категорий , теории пучков и общей топологии в коммутативной алгебре и гомологической алгебры . Самая длинная часть главы 0, приложенная к главе IV, составляет более 200 страниц.
Гротендик никогда не давал разрешения на переиздание 2-го издания EGA I , поэтому копии редки, но их можно найти во многих библиотеках. Работа над EGA была окончательно прервана уходом Гротендика сначала из IHÉS в 1970 году, а вскоре после этого и вовсе из математического истеблишмента. Неполные заметки Гротендика об EGA V можно найти на Grothendieck Circle .
С исторической точки зрения развитие подхода EGA положило начало применению теории пучков к алгебраической геометрии, начатое в основной статье Серра FAC . Он также содержал первое полное изложение алгебраического подхода к дифференциальному исчислению с помощью основных частей. Предложенное им фундаментальное объединение (см., Например, объединение теорий в математике ) выдержало испытание временем.
EGA просканировано NUMDAM и доступно на их веб-сайте в разделе «Publications mathématiques de l'IHÉS», тома 4 (EGAI), 8 (EGAII), 11 (EGAIII.1re), 17 (EGAIII.2e), 20 (EGAIV). .1re), 24 (EGAIV.2e), 28 (EGAIV.3e) и 32 (EGAIV.4e).
Библиографическая информация
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1971). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на французском языке). 166 (2-е изд.). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8.
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). "Algébrique Éléments de géométrie: I. Le langage des schémas" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 : 5–228. DOI : 10.1007 / bf02684778 . Руководство по ремонту 0217083 .[2]
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). "Элементы геометрической модели: II. Глобальный эксперимент по классам морфизмов" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 8 : 5–222. DOI : 10.1007 / bf02699291 . Руководство по ремонту 0217084 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 11 : 5–167. DOI : 10.1007 / bf02684274 . Руководство по ремонту 0217085 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1963). "Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 17 : 5–91. DOI : 10.1007 / bf02684890 . Руководство по ремонту 0163911 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1964). "Альбомы геометрических фигур: IV. Локальный этюд схемов и морфизмов, Премьер партии" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 20 : 5–259. DOI : 10.1007 / bf02684747 . Руководство по ремонту 0173675 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1965). "Algébrique Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 24 : 5–231. DOI : 10.1007 / bf02684322 . Руководство по ремонту 0199181 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 28 : 5–255. DOI : 10.1007 / bf02684343 . Руководство по ремонту 0217086 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5–361. DOI : 10.1007 / bf02732123 . Руководство по ремонту 0238860 .
Смотрите также
- Fondements de la Géometrie Algébrique ( FGA )
- Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie ( SGA )
Рекомендации
- ^ Мамфорд, Дэвид (2010). Чинг-Ли Чай ; Амнон Нееман; Такахиро Сиота. (ред.). Избранные статьи, Том II. По алгебраической геометрии, включая переписку с Гротендиком . Springer. стр. 720, 722. ISBN 978-0-387-72491-1.
- ^ Ланг, С. (1961). «Review: ЭЛЕМЕНТЫ геометрического подход algébrique , пар А. Гротендик, rédig АВЭК ла сотрудничество де Ж. Дьедонны» (PDF) . Бык. Амер. Математика. Soc . 67 (3): 239–246. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1961-10564-8 .
Внешние ссылки
- Отсканированные копии и частичные переводы на английский язык: Математические тексты
- Подробное содержание: EGA
- SGA , EGA , FGA Матео Кармона