Производная категория

В математике , то производная категория D ( ) из абелевой категории А является построением гомологической алгебры , введенной для уточнения и в некотором смысле упростить теорию производных функторов , определенных на А . Строительный продолжается на основании того, что объекты из D ( A ) должны быть цепными комплексами в А , с двумя такими цепными комплексами , рассмотренных изоморфными , когда существует цепное отображение , которое индуцирует изоморфизм на уровне гомологии цепных комплексов. Затем производные функторы могут быть определены для цепных комплексов, уточняя понятие гиперкогомологии . Эти определения приводят к значительному упрощению формул, иначе описываемых (не совсем точно) сложными спектральными последовательностями .

Разработка производной категории Александром Гротендиком и его учеником Жаном-Луи Вердье вскоре после 1960 г. теперь представляется конечной точкой в ​​бурном развитии гомологической алгебры в 1950-х годах, десятилетии, в котором она добилась замечательных успехов. Основная теория Вердье была изложена в его диссертации, опубликованной в 1996 году в Astérisque (ее краткое изложение ранее было опубликовано в SGA 4½ ). Аксиоматика требовала нововведения, концепции триангулированной категории , а конструкция основана на локализации категории , обобщении локализации кольца.. Первоначальный импульс к развитию «производного» формализма был вызван необходимостью найти подходящую формулировку когерентной теории двойственности Гротендика . С тех пор производные категории стали незаменимыми и вне алгебраической геометрии , например, при формулировании теории D-модулей и микролокального анализа . Недавно выведенные категории также стали важными в областях, более близких к физике, таких как D-браны и зеркальная симметрия .

Мотивации [ править ]

В теории когерентных пучков , доведенной до предела того, что можно было бы сделать с двойственностью Серра без предположения о неособой схеме , стала очевидной необходимость взять целый комплекс пучков вместо одного дуализирующего пучка . Фактически условие кольца Коэна – Маколея , ослабление неособенности, соответствует существованию единственного дуализирующего пучка; и это далеко не общий случай. С интеллектуальной позиции сверху вниз, которую всегда занимал Гротендик, это означало необходимость переформулировать. Вместе с тем пришла идея, что «настоящее» тензорное произведение и Homфункторами будут те, которые существуют на производном уровне; в этом отношении Tor и Ext становятся больше похожими на вычислительные устройства.

Несмотря на уровень абстракции, производные категории стали общепринятыми в последующие десятилетия, особенно в качестве удобной настройки для когомологий пучков . Возможно, самым большим достижением стала формулировка соответствия Римана – Гильберта в измерениях больше 1 в производных терминах примерно в 1980 году. Школа Сато приняла язык производных категорий, и последующая история D-модулей была основана на теории, выраженной в этих категориях. термины.

Параллельно развивалась категория спектров в теории гомотопий . Гомотопическая категория спектров и производная категория кольца являются примерами триангулированных категорий .

Определение [ править ]

Пусть быть абелева категория . (Некоторые основные примеры - это категория модулей над кольцом или категория пучков абелевых групп в топологическом пространстве.) Мы получаем производную категорию D ( A ) в несколько шагов:

• Базовый объект - категория Kom ( A ) цепных комплексов

  ${\ displaystyle \ cdots \ to X ^ {- 1} {\ xrightarrow {d ^ {- 1}}} X ^ {0} {\ xrightarrow {d ^ {0}}} X ^ {1} {\ xrightarrow { d ^ {1}}} X ^ {2} \ to \ cdots}$

в A . Его объекты будут объектами производной категории, но его морфизмы будут изменены.

• Переходим к гомотопической категории цепных комплексов K ( A ), идентифицируя морфизмы, которые являются цепными гомотопическими .
• Переходим к производной категории D ( A ), локализуя на множестве квазиизоморфизмов . Морфизмы в производной категории могут быть явно описаны как крыши X ← X ' → Y , где X' → X - квазиизоморфизм, а X ' → Y - любой морфизм цепных комплексов.

Второй шаг можно пропустить, так как можно доказать, что цепные гомотопические отображения автоматически становятся равными, когда квазиизоморфизмы инвертируются. Но тогда простое определение морфизмов крыши должно быть заменено более сложным, использующим конечные цепочки морфизмов (технически это больше не исчисление дробей ). Таким образом, одноступенчатая конструкция в некотором смысле более эффективна, но более сложна.

С точки зрения модельных категорий производная категория D ( A ) является истинной «гомотопической категорией» категории комплексов, тогда как K ( A ) может быть названа «наивной гомотопической категорией».

Производные Hom-множества [ править ]

Как отмечалось ранее, в производной категории наборы hom выражаются через крыши или долины , где - квазиизоморфизм. Чтобы лучше понять, как выглядят элементы, рассмотрите точную последовательность${\ Displaystyle X \ rightarrow Y '\ leftarrow Y}$${\ displaystyle Y \ to Y '}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {E}} _ {n} {\ overset {\ phi _ {n, n-1}} {\ rightarrow}} {\ mathcal {E}} _ {n-1} {\ overset {\ phi _ {n-1, n-2}} {\ rightarrow}} \ cdots {\ overset {\ phi _ {1,0}} {\ rightarrow}} {\ mathcal {E}} _ {0} \ to 0}$

Мы можем использовать это, чтобы построить морфизм , усекая комплекс выше, сдвигая его и используя очевидные морфизмы выше. В частности, у нас есть картинка${\ displaystyle \ phi: {\ mathcal {E}} _ {0} \ to {\ mathcal {E}} _ {n} [+ (n-1)]}$

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &0&\to &\cdots &\to &0&\to &0\\\uparrow &&\uparrow &&\uparrow &&\cdots &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &{\mathcal {E}}_{n-1}&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{1}&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\cdots &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &0&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{0}&\to &0\end{matrix}}}$

где нижний комплекс сконцентрирован по степени , единственная нетривиальная стрелка вверх - это морфизм равенства, а единственная нетривиальная стрелка вниз - . Эта диаграмма комплексов определяет морфизм${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \phi _{1,0}:{\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}$

${\displaystyle \phi \in \mathbf {RHom} ({\mathcal {E}}_{0},{\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)])}$

в производной категории. Одно из применений этого наблюдения - построение класса Атья. ^[1]

Замечания [ править ]

Для определенных целей (см. Ниже) вместо неограниченных комплексов используются ограниченные снизу ( для ), ограниченные сверху ( для ) или ограниченные ( для ) комплексы. Соответствующие производные категории обычно обозначаются D ⁺ (A) , D ^- (A) и D ^b (A) соответственно.${\displaystyle X^{n}=0}$${\displaystyle n\ll 0}$${\displaystyle X^{n}=0}$${\displaystyle n\gg 0}$${\displaystyle X^{n}=0}$${\displaystyle |n|\gg 0}$

Если принять классическую точку зрения на категории, согласно которой существует набор морфизмов от одного объекта к другому (а не только класс ), то для доказательства этого нужно привести дополнительный аргумент. Если, например, абелева категория A мала, т. Е. Имеет только набор объектов, то эта проблема не будет проблемой. Кроме того, если A - абелева категория Гротендика , то производная категория D ( A ) эквивалентна полной подкатегории гомотопической категории K ( A ) и, следовательно, имеет только набор морфизмов от одного объекта к другому. ^[2] Абелевы категории Гротендика включают категорию модулей над кольцом, категорию пучков абелевых групп на топологическом пространстве и многие другие примеры.

Составление морфизмов, т. Е. Крыш, в производной категории достигается путем нахождения третьей крыши поверх двух крыш, которые необходимо составить. Можно проверить, что это возможно и дает четко определенную ассоциативную композицию.

Поскольку K (A) - триангулированная категория , ее локализация D (A) также триангулирована. Для целого числа n и комплексного X определите ^[3] комплексный X [ n ] как X, сдвинутый вниз на n , так что

${\displaystyle X[n]^{i}=X^{n+i},}$

с дифференциалом

${\displaystyle d_{X[n]}=(-1)^{n}d_{X}.}$

По определению, отмеченный треугольник в D (A) представляет собой треугольник, изоморфная в D (A) в треугольник X → Y → Конус ( F ) → X [1] для некоторого отображения комплексов F : X → Y . Здесь Конус ( е ) обозначает отображение конус из F . В частности, для короткой точной последовательности

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$

в A треугольник X → Y → Z → X [1] выделен в D (A) . Вердье объяснил, что определение сдвига X [1] вызвано требованием, чтобы X [1] был конусом морфизма X → 0. ^[4]

Если рассматривать объект A как комплекс, сосредоточенный в нулевой степени, производная категория D (A) содержит A как полную подкатегорию . Морфизмы в производной категории включают информацию обо всех группах Ext : для любых объектов X и Y в A и любого целого числа j ,

${\displaystyle {\text{Hom}}_{D({\mathcal {A}})}(X,Y[j])={\text{Ext}}_{\mathcal {A}}^{j}(X,Y).}$

Проективные и инъективные резолюции [ править ]

Легко показать, что гомотопическая эквивалентность - это квазиизоморфизм , поэтому второй шаг в приведенной выше конструкции можно опустить. Определение обычно дается таким образом, потому что оно раскрывает существование канонического функтора

${\displaystyle K({\mathcal {A}})\rightarrow D({\mathcal {A}}).}$

В конкретных ситуациях очень сложно или невозможно напрямую обрабатывать морфизмы в производной категории. Поэтому нужно искать более управляемую категорию, эквивалентную производной категории. Классически к этому существует два (двойственных) подхода: проективная и инъективная резольвенты . В обоих случаях ограничение указанного канонического функтора на соответствующую подкатегорию будет эквивалентностью категорий .

В дальнейших мы будем описывать роль инъективных резолюций в контексте производной категории, которая является основой для определения правой производные функторов , которые , в свою очередь , имеют важные приложения в когомологиях из пучков на топологических пространствах или более продвинутые теориях когомологий как этальные когомологии или групповые когомологии .

Для того , чтобы применить эту технику, надо полагать , что абелева категория в вопросе имеет достаточно много инъективных , что означает , что каждый объект X категории допускает мономорфизм к инъективному объекту I . (Ни карта, ни инъективный объект не должны быть однозначно определены.) Например, каждая абелева категория Гротендика имеет достаточно инъективных объектов . Вложение X в некоторые инъективный объект I ⁰ , то Коядро этой карты в некоторые инъективный I ¹ и т.д., один строит инъективное разрешение на X , т.е. точного (в общем бесконечная) последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,\,}$

где I * - инъективные объекты. Эта идея обобщается, чтобы дать разрешения ограниченно-снизу комплексов X , т. Е. X ⁿ = 0 для достаточно малых n . Как отмечалось выше, инъективные резольвенты не определены однозначно, но факт, что любые две резольвенты гомотопически эквивалентны друг другу, т. Е. Изоморфны в гомотопической категории. Более того, морфизмы комплексов однозначно продолжаются до морфизма двух данных инъективных резольвент.

Это момент, когда гомотопическая категория снова вступает в игру: отображение объекта X из A в (любую) инъективную резольвенту I * A продолжается до функтора

${\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}})\rightarrow K^{+}(\mathrm {Inj} ({\mathcal {A}}))}$

с ограниченной снизу производной категории до ограниченного снизу гомотопической категории комплексов, члены которых являются инъективными объектами A .

Нетрудно понять, что этот функтор на самом деле обратен ограничению канонического функтора локализации, упомянутому в начале. Другими словами, морфизмы Hom ( X , Y ) в производной категории могут быть вычислены путем разрешения обоих X и Y и вычисления морфизмов в гомотопической категории, что, по крайней мере, теоретически проще. Фактически, достаточно разрешить Y : для любого комплекса X и любого ограниченного снизу комплекса инъективных Y

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D(A)}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{K(A)}(X,Y).}$

Двойственно, предполагая, что A имеет достаточно проективов , т.е. для каждого объекта X существует эпиморфизм от проективного объекта P к X , можно использовать проективные резольвенты вместо инъективных.

В дополнение к этим методам разрешения существуют аналогичные методы, которые применимы к частным случаям и которые элегантно избегают проблемы с ограничениями сверху или снизу: Spaltenstein (1988) использует так называемые K-инъективные и K-проективные разрешения, May ( 2006) и (на немного другом языке) Келлер (1994) представили так называемые сотовые модули и полусвободные модули соответственно.

В более общем плане, тщательно адаптируя определения, можно определить производную категорию точной категории ( Keller 1996 ).

Связь с производными функторами [ править ]

Производная категория является естественной основой для определения и изучения производных функторов . Далее пусть F : A → B - функтор абелевых категорий. Есть две двойственные концепции:

• правые производные функторы происходят от левых точных функторов и вычисляются с помощью инъективных разрешений
• левые производные функторы происходят от правых точных функторов и вычисляются через проективные резольвенты

Ниже мы опишем правые производные функторы. Итак, предположим, что F точно слева. Типичными примерами являются F : A → Ab, заданные формулами X ↦ Hom ( X , A ) или X ↦ Hom ( A , X ) для некоторого фиксированного объекта A , или функтор глобальных секций на пучках, или функтор прямого изображения . Их правые производные функторы: Ext n (-, A ) , Ext ⁿ ( A , -), H n ( X, F ) или R n f ∗ ( F ) соответственно.

Производная категория позволяет нам инкапсулировать все производные функторы R ⁿ F в один функтор, а именно так называемый тотальный производный функтор RF : D ⁺ ( A ) → D ⁺ ( B ). Это следующая композиция: D ⁺ ( A ) ≅ K ⁺ (Inj ( A )) → K ⁺ ( B ) → D ⁺ ( B ), где первая эквивалентность категорий описана выше. Классические производные функторы связаны с полным через Rⁿ F ( X ) = H ⁿ ( RF ( X )). Можно сказать, что R ⁿ F забывает цепной комплекс и сохраняет только когомологии, тогда как RF отслеживает комплексы.

Производные категории - это в некотором смысле «правильное» место для изучения этих функторов. Например, спектральная последовательность Гротендика композиции двух функторов

${\displaystyle {\mathcal {A}}{\stackrel {F}{\rightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {G}{\rightarrow }}{\mathcal {C}},\,}$

такое, что F отображает инъективные объекты из A в G -циклические (т.е. R ⁱ G ( F ( I )) = 0 для всех i  > 0 и инъективных I ), является выражением следующего тождества полных производных функторов

R ( G ∘ F ) ≅ RG ∘ RF .

Ж.-Л. Вердье показал, как производные функторы, ассоциированные с абелевой категорией A, можно рассматривать как расширения Кана наряду с вложениями A в подходящие производные категории [Mac Lane].

Производная эквивалентность [ править ]

Может случиться так, что две абелевы категории A и B не эквивалентны, но их производные категории D ( A ) и D ( B ) эквивалентны . Часто это интересное соотношение между A и B . Такие эквивалентности связаны с теорией t-структур в триангулированных категориях . Вот несколько примеров. ^[5]

• Пусть - абелева категория когерентных пучков на проективной прямой над полем k . Пусть K ₂ -Rep - абелева категория представлений кронекеровского колчана с двумя вершинами. Это очень разные абелевы категории, но их (ограниченные) производные категории эквивалентны.${\displaystyle \mathrm {Coh} (\mathbb {P} ^{1})}$
• Пусть Q - любой колчан, а P - колчан, полученный из Q путем переворота некоторых стрелок. В общем, категории представлений Q и P различны, но D ^b ( Q -Rep) всегда эквивалентен D ^b ( P -Rep).
• Пусть X - абелево многообразие , Y - его двойственное абелево многообразие . Тогда D ^b (Coh ( X )) эквивалентно D ^b (Coh ( Y )) по теории преобразований Фурье – Мукаи . Многообразия с эквивалентными производными категориями когерентных пучков иногда называют партнерами Фурье – Мукаи .

См. Также [ править ]

• Производная некоммутативная алгебраическая геометрия
• Когерентные пучки когомологии
• Когерентная двойственность
• Производная алгебраическая геометрия

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дорн, MGM van (2001) [1994], "Производная категория" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Келлер, Бернхард (1996), «Производные категории и их использование» , в Hazewinkel, M. (ed.), Handbook of algebra , Amsterdam: North Holland, pp.  671–701 , ISBN 0-444-82212-7, MR  1421815
• Keller, Бернхард (1994), "категории Выводя DG", Annales Scientifiques де l'Эколь Нормаль , Série 4, 27 (1): 63-102, DOI : 10,24033 / asens.1689 , ISSN  0012-9593 , MR  1258406
• Май, JP (2006 г.), Производные категории с топологической точки зрения (PDF)
• Спальтенштейн, Н. (1988), "Разрешения неограниченных комплексов" , Compositio Mathematica , 65 (2): 121–154, ISSN  0010-437X , MR  0932640
• Вердье, Жан-Луи (1996), "Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes", Astérisque (на французском языке), Париж: Société Mathématique de France , 239 , ISSN  0303-1179 , MR  1453167

Четыре учебника, в которых обсуждаются производные категории:

• Гельфанд, Сергей I .; Манин, Юрий Иванович (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9, MR  1950475
• Кашивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2006), Категории и связки , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-27949-5, MR  2182076
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. Руководство по ремонту  1269324 . OCLC  36131259 .
• Екутиели, Амнон (2019). Производные категории . Кембриджские исследования в области высшей математики. 183 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1108419338.