В математике когерентная двойственность - это любое из ряда обобщений двойственности Серра , применимых к когерентным пучкам , в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , а также к некоторым аспектам коммутативной алгебры, которые являются частью «локальной» теории.
Исторические корни теории лежит в идее сопряженных линейной системы в виде линейной системы делителей в классической алгебраической геометрии. Это было переформулировано с появлением теории пучков таким образом, что аналогия с двойственностью Пуанкаре стала более очевидной. Затем в соответствии с общим принципом, относительной точкой зрения Гротендика , теория Жан-Пьера Серра была расширена до собственно морфизма ; Двойственность Серра была восстановлена как случай морфизма неособого проективного многообразия (или полного многообразия ) в точку. Получившуюся теорию теперь иногда называютДвойственность Серра – Гротендика – Вердье и является основным инструментом алгебраической геометрии. Обработка этой теории, Остатки и двойственность (1966) Робина Хартшорна , стала справочной. Одним из конкретных побочных результатов был остаток Гротендика .
Чтобы выйти за рамки собственных морфизмов, как для версий двойственности Пуанкаре, которые не относятся к замкнутым многообразиям , требуется некоторая версия концепции компактного носителя . Это было рассмотрено в SGA2 в терминах локальных когомологий и локальной двойственности Гротендика ; и впоследствии. Двойственность Гринлис мая , впервые сформулированный в 1976 году Ральфом Штребеля и в 1978 году Эбен Матлиса , является частью продолжающегося рассмотрения этой области.
Точка зрения присоединенного функтора
В то время как двойственность Серра использует линейное расслоение или обратимый пучок в качестве дуализирующего пучка , общая теория (оказывается) не может быть настолько простой. (Точнее, может, но за счет наложения условия кольца Горенштейна .) В характерном повороте Гротендик переформулировал общую когерентную двойственность как существование правосопряженного функтора, называемый функтором скрученного или исключительного обратного образа , в более высокий прямой образ с компактным опорным функтором.
Высшие прямые образы в этом случае представляют собой пучковую форму когомологий пучка с собственным (компактным) носителем; они объединяются в один функтор с помощью формулировки производной категории гомологической алгебры (введенной с учетом этого случая). Если правильно, тогда является правым сопряженным к функтору обратного образа. Теорема существования скрученного прообраза - это название, данное доказательству существования того, что было бы счетчиком для комонады искомого присоединения, а именно естественного преобразования
- ,
который обозначается (Хартсхорн) или (Вердье). Это аспект теории, наиболее близкий к классическому смыслу, как следует из обозначений, что двойственность определяется интегрированием.
Если быть более точным, существует как точный функтор из производной категории квазикогерентных пучков на, в аналогичную категорию на , в любое время
является собственным или квазипроективным морфизмом нётеровых схем конечной размерности Крулля . [1] Из этого можно вывести остальную часть теории: дуализирующие комплексы возвращаются через, символ вычета Гротендика , дуализирующий пучок в случае Коэна – Маколея .
Чтобы получить утверждение на более классическом языке, но все же более широкое, чем двойственность Серра, Хартсхорн ( алгебраическая геометрия ) использует функтор пучков Ext ; это своего рода ступенька к производной категории.
Классическое утверждение двойственности Гротендика для проективного или собственного морфизма Нётеровых схем конечной размерности, найденных в Хартсхорне ( Вычеты и двойственность ), является следующий квазиизоморфизм
для ограниченный сверху комплекс -модули с квазикогерентными когомологиями и ограниченный снизу комплекс -модули с когерентными когомологиями. Здесьявляются пучками гомоморфизмов.
Строительство псевдофунктор с использованием жестких дуализирующих комплексов
За прошедшие годы появилось несколько подходов к построению появился псевдофунктор. Один из недавних успешных подходов основан на понятии жесткого дуализирующего комплекса. Это понятие впервые было определено Ван ден Бергом в некоммутативном контексте. [2] Конструкция основана на варианте производных когомологий Хохшильда (когомологии Шуклы): Пусть коммутативное кольцо, и пусть быть коммутативным алгебра. Есть функтор который принимает комплекс коцепей к объекту в производной категории над . [3] [4]
Asumming является нётеровым, жестким дуализирующим комплексом над относительно по определению пара где дуализирующий комплекс над который имеет конечную плоскую размерность над , и где является изоморфизмом в производной категории . Если такой жесткий дуализирующий комплекс существует, то он уникален в сильном смысле. [5]
Предполагая является локализацией конечного типа-алгебра, существование жесткого дуализирующего комплекса над относительно был впервые доказан Екутиели и Чжаном [6] в предположении, чтоявляется регулярным нётеровым кольцом конечной размерности Крулля, и Аврамов , Айенгар и Липман [7] предполагали, чтоявляется горенштейновым кольцом конечной размерности Крулля и имеет конечную плоскую размерность над .
Если - схема конечного типа над , можно склеить жесткие дуализирующие комплексы, которые имеют его аффинные части, [8] [9] и получить жесткий дуализирующий комплекс. Как только кто-то устанавливает глобальное существование жесткого дуализирующего комплекса по карте схем над , можно определить , где для схемы , мы установили .
Дуализация сложных примеров
Дуализирующий комплекс для проективного многообразия
Дуализирующий комплекс проективного многообразия дается комплексом
[10]
Плоскость, пересекающая линию
Рассмотрим проективное многообразие
Мы можем вычислить используя разрешение локально свободными связками. Это дает комплекс
С у нас есть это
Это комплекс
Смотрите также
- Двойственность Вердье
Заметки
- ^ Verdier 1969 , элегантный и более общий подход был найден Амноном Ниманом с использованием методов алгебраической топологии, в частности, представимости Брауна , см. Neeman 1996
- ^ Ван ден Берг, Мишель (сентябрь 1997 г.). «Теоремы существования дуализирующих комплексов над некоммутативными градуированными и фильтрованными кольцами». Журнал алгебры . 195 (2): 662–679. DOI : 10.1006 / jabr.1997.7052 .
- ^ Екутиели, Амнон (2014). «Операция возведения в квадрат для коммутативных колец DG». arXiv : 1412.4229 [ math.KT ].
- ^ Аврамов, Лучезар Л .; Iyengar, Srikanth B .; Липман, Джозеф; Наяк, Суреш (январь 2010 г.). «Редукция производных функторов Хохшильда над коммутативными алгебрами и схемами» . Успехи в математике . 223 (2): 735–772. arXiv : 0904.4004 . DOI : 10.1016 / j.aim.2009.09.002 . S2CID 15218584 .
- ^ Екутиели, Амнон; Чжан, Джеймс Дж. (31 мая 2008 г.). «Жесткие дуализирующие комплексы над коммутативными кольцами». Алгебры и теория представлений . 12 (1): 19–52. arXiv : math / 0601654 . DOI : 10.1007 / s10468-008-9102-9 . S2CID 13597155 .
- ^ Екутиели, Амнон; Чжан, Джеймс Дж. (31 мая 2008 г.). «Жесткие дуализирующие комплексы над коммутативными кольцами». Алгебры и теория представлений . 12 (1): 19–52. arXiv : math / 0601654 . DOI : 10.1007 / s10468-008-9102-9 . S2CID 13597155 .
- ^ Аврамов, Лучезар; Айенгар, Шрикантх; Липман, Джозеф (14 января 2010 г.). «Рефлексивность и жесткость комплексов, I: Коммутативные кольца». Алгебра и теория чисел . 4 (1): 47–86. arXiv : 0904.4695 . DOI : 10,2140 / ant.2010.4.47 . S2CID 18255441 .
- ^ Екутиели, Амнон; Чжан, Джеймс Дж. (2004). «Жесткие дуализирующие комплексы на схемах». arXiv : math / 0405570 .
- ^ Аврамов, Лучезар; Айенгар, Шрикантх; Липман, Джозеф (10 сентября 2011 г.). «Рефлексивность и жесткость комплексов, II: Схемы». Алгебра и теория чисел . 5 (3): 379–429. arXiv : 1001.3450 . DOI : 10,2140 / ant.2011.5.379 . S2CID 21639634 .
- ^ Ковач, Шандор. «Особенности стабильных многообразий» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 22 августа 2017 года.
Рекомендации
- Гринлис, JPC; Мая, J. Peter (1992), "Производные функторы I -адического завершения и локальной гомологии", журнале алгебры , 149 (2): 438-453, DOI : 10.1016 / 0021-8693 (92) 90026-I , ISSN 0021-8693 , Руководство по ремонту 1172439
- Хартсхорн, Робин (1966), Вычеты и двойственность , Конспект лекций по математике 20 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 20–48.
- Нееман, Амнон (1996), «Теорема двойственности Гротендик с помощью методов Боусфилд и коричневой представимости», журнал Американского математического общества , 9 (1): 205-236, да : 10.1090 / S0894-0347-96-00174-9 , ISSN 0894-0347 , MR 1308405
- Вердье, Жан-Луи (1969), "Замена базы для скрученного инверсного изображения когерентных пучков", Алгебраическая геометрия (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Бомбей, 1968) , Oxford University Press , стр. 393– 408, Руководство по ремонту 0274464
- Хопкинс, Гленн, Алгебраический подход к символу остатка Гротендика (PDF)