Относительная точка зрения Гротендика - это эвристика, применяемая в определенных абстрактных математических ситуациях, с приблизительным смыслом принятия для рассмотрения семейств «объектов», явно зависящих от параметров , в качестве основной области исследования, а не одного такого объекта. Он назван в честь Александра Гротендика , который широко использовал его при рассмотрении основополагающих аспектов алгебраической геометрии . За пределами этой области он оказал влияние, в частности, на теорию категорий и категориальную логику .
В обычной формулировке язык теории категорий применяется для описания точки зрения, рассматривающей не объекты X данной категории C как таковые, а морфизмы.
- е : X → S
где S - неподвижный объект. Эта идея оформляется формально в идее категории срезов объектов C 'выше' S. Для перехода от одного среза к другому требуется изменение основы ; с технической точки зрения изменение базы становится серьезной проблемой для всего подхода (см., например, условия Бека – Шевалле ).
Базовое изменение по заданному морфизму
- г : Т → S
как правило , дается волокнистого продукта , производя объект над Т из одного над S . Терминология «волокна» важна: основная эвристика состоит в том, что X над S представляет собой семейство волокон, по одному для каждой «точки» S ; продукт волокна , то семейство на T , которая описывается волокнами для каждой точки Т волокна на ее изображение в S . Этот теоретико-множественный язык слишком наивен, чтобы соответствовать требуемому контексту, конечно, из алгебраической геометрии. Тем не менее, он комбинируется с использованием леммы Йонеды для замены идеи «точки» идеей обращения с объектом, таким как S , как с « столь же хорошим, как» представляемый функтор, который он устанавливает.
Теорема Гротендика – Римана – Роха примерно 1956 года обычно упоминается как ключевой момент для введения этого круга идей. Более классические типы теоремы Римана – Роха восстанавливаются в случае, когда S - единственная точка (т.е. последний объект в рабочей категории C ). Использование других S - это способ иметь версии теорем «с параметрами», т. Е. Допускающие непрерывное изменение, для которого «замороженная» версия сокращает параметры до констант .
В других приложениях этот образ мышления использовался в теории топосов , чтобы прояснить роль теории множеств в фундаментальных вопросах. Предполагая, что у нас нет приверженности одной «теории множеств» (все топосы в некотором смысле являются равноценными теориями множеств для некоторой интуиционистской логики ), можно сформулировать все относительно некоторой данной теории множеств, которая действует как базовые топосы.
Смотрите также
Рекомендации
- "Базовое изменение" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]