В математике , особенно в алгебраической геометрии , теорема Гротендика – Римана – Роха является далеко идущим результатом о когерентных когомологиях . Это обобщение теоремы Хирцебруха – Римана – Роха о комплексных многообразиях , которая сама по себе является обобщением классической теоремы Римана – Роха для линейных расслоений на компактных римановых поверхностях .
Поле | Алгебраическая геометрия |
---|---|
Первое доказательство | Александр Гротендик |
Первое доказательство в | 1957 г. |
Обобщения | Теорема Атьи – Зингера об индексе |
Последствия | Теорема Хирцебруха – Римана – Роха Теорема Римана – Роха для поверхностей Теорема Римана – Роха |
Теоремы типа Римана-Роха связаны Эйлера характеристики на когомологий в виде векторного расслоения с их топологическими градусов , или в более общем случае их характерные классы в (со) гомологии или алгебраических его аналогов. Классическая теорема Римана – Роха делает это для кривых и линейных расслоений, тогда как теорема Хирцебруха – Римана – Роха обобщает это на векторные расслоения над многообразиями. Теорема Гротендик-Риман-Рох устанавливает обе теоремы в относительном положении в морфизме между два многообразием (или более общими схемами ) и изменяет теорему из утверждения о единой связке, к одному применению в цепные комплексы из пучков .
Теорема оказала большое влияние, не в последнюю очередь на развитие теоремы Атьи – Зингера об индексе . Наоборот, комплексные аналитические аналоги теоремы Гротендика – Римана – Роха могут быть доказаны с помощью теоремы об индексе для семейств. Александр Гротендик дал первое доказательство в рукописи 1957 года, позже опубликованной. [1] Арман Борель и Жан-Пьер Серр написали и опубликовали доказательство Гротендика в 1958 году. [2] Позже Гротендик и его сотрудники упростили и обобщили доказательство. [3]
Формулировка
Пусть X - гладкая квазипроективная схема над полем . При этих предположениях группа Гротендика из ограниченных комплексов из когерентных пучков канонически изоморфна группе Гротендика ограниченных комплексов векторных расслоений конечного ранга. Используя этот изоморфизм, рассмотрим характер Черна (рациональную комбинацию классов Черна ) как функториальное преобразование:
где является группой Чжоу циклов на X размерности d по модулю рациональной эквивалентности , тензора с рациональными числами . В случае, если X определено над комплексными числами , последняя группа отображается в группу топологических когомологий :
Теперь рассмотрим правильный морфизм между гладкими квазипроективными схемами и ограниченным комплексом пучков на
Теорема Гротендика – Римана – Роха связывает прямое отображение
(чередование суммы более высоких прямых изображений ) и продвижение вперед
по формуле
Здесь является род Тодда из (в касательном расслоении из) X . Таким образом, теорема дает точную меру отсутствия коммутативности принятия толчок вперед в выше чувств и характера Черна и показывает , что необходимые поправочные коэффициенты зависят от X и Y только. Фактически, поскольку род Тодда функториален и мультипликативен в точных последовательностях , мы можем переписать формулу Гротендика – Римана – Роха в виде
где относительный касательный пучок к f , определяемый как элемент в . Например, когда f - гладкий морфизм ,просто векторное расслоение, известное как касательное расслоение вдоль слоев f .
Использование A 1 -гомотопией теории , Гротендика-Римана-Роха теорема была распространена Наварро и Наварро (2017) в ситуации , когда е является правильное отображение между двумя гладкими схемами.
Обобщение и специализация
Обобщения теоремы на негладкий случай можно сделать, рассмотрев подходящее обобщение комбинации и к несобственному случаю, рассматривая когомологии с компактным носителем .
Теорема арифметическая Римана-Роха расширяет теорему Гротендика-Римана-Роха для арифметических схем .
Теорема Хирцебруха – Римана – Роха (по сути) является частным случаем, когда Y - точка, а поле - это поле комплексных чисел.
Версия теоремы Римана-Роха для ориентированных теорий когомологий была доказана Иваном Паниным и Александром Смирновым. [4] Он связан с мультипликативными операциями между алгебраическими ориентированными теориями когомологий (например, алгебраическими кобордизмами ). Гротендик-Риман-Рох - частный случай этого, и персонаж Черна естественно возникает в этом контексте. [5]
Примеры
Векторные расслоения на кривой
Векторный набор ранга и степень (определяется как степень его определителя; или, что то же самое, степень его первого класса Черна) на гладкой проективной кривой над полем имеет формулу, аналогичную формуле Римана-Роха для линейных расслоений. Если мы возьмем а также точку, то формула Гротендика-Римана-Роха может быть прочитана как
следовательно
- [6]
Эта формула верна и для когерентных пучков ранга и степень .
Гладкие правильные карты
Одним из преимуществ формулы Гротендика – Римана – Роха является то, что ее можно интерпретировать как относительную версию формулы Хирцебруха – Римана – Роха. Например, гладкий морфизм имеет слои, которые все равномерные (и изоморфные как топологические пространства при изменении базы на ). Этот факт полезен в теории модулей при рассмотрении пространства модулейпараметризация гладких собственных пространств. Например, Дэвид Мамфорд использовал эту формулу, чтобы вывести отношения кольца Чоу на пространстве модулей алгебраических кривых . [7]
Модули кривых
Для стека модулей рода кривые (и без отмеченных точек) есть универсальная кривая где (- стек модулей кривых рода и одна отмеченная точка. Затем он определяет тавтологические классы
где а также - относительный дуализирующий пучок. Обратите внимание на волокнонад точкой это дуализирующий пучок . Ему удалось найти отношения между а также описывая в виде суммы [7] (следствие 6.2) о чау-рингегладкого геометрического места с использованием Гротендика-Римана-Роха. Так какпредставляет собой гладкую стеку Делиня – Мамфорда , он рассматривал покрытие схемой какие подарки для некоторой конечной группы . Он использует Grothendieck-Riemann-Roch на получить
Так как
это дает формулу
Расчет затем можно уменьшить еще больше. В четных размерах,
Кроме того, по измерению 1,
где класс на границе. В случае и на гладком месте есть отношения
который можно вывести, анализируя характер Черна .
Закрытое встраивание
Закрытые вложения есть описание с использованием формулы Гротендика-Римана-Роха, показывающее еще один нетривиальный случай, в котором эта формула верна. [8] Для гладкого разнообразия измерения и подмножество коразмерности , есть формула
Использование короткой точной последовательности
- ,
есть формула
для идеального пучка, так как .
Приложения
Квазипроективность пространств модулей
Гротендика-Римана-Роха можно использовать для доказательства того, что грубое пространство модулей , например, пространство модулей точечных алгебраических кривых , допускает вложение в проективное пространство, следовательно, является квазипроективным многообразием . Этого можно добиться, посмотрев на канонически связанные пучки наи изучение степени связанных линейных пучков. Например,[9] имеет семейство кривых
с разделами
соответствующие отмеченным точкам. Поскольку каждый слой имеет каноническое расслоение, есть связанные линейные пучки
является обильным линейным расслоением [9] pg 209 , следовательно, грубое пространство модулей квазипроективен.
История
Версия теоремы Римана – Роха, предложенная Александром Гротендиком, была первоначально передана в письме Жан-Пьеру Серру примерно в 1956–1957 годах. Он был обнародован на первом Bonn Arbeitstagung в 1957 году. Серр и Арман Борель впоследствии организовали семинар в Принстонском университете, чтобы понять его. Последняя опубликованная статья была экспозицией Бореля – Серра.
Значение подхода Гротендика основывается на нескольких моментах. Во-первых, Гротендик изменил само утверждение: теорему в то время понимали как теорему о многообразии , тогда как Гротендик видел в ней теорему о морфизме между многообразиями. Найдя правильное обобщение, доказательство стало проще, а вывод - более общим. Короче говоря, Гротендик применил категоричный подход к сложному анализу . Более того, Гротендик ввел K-группы , как обсуждалось выше, что проложило путь алгебраической K-теории .
Смотрите также
- Формула Римана – Роха Кавасаки
Заметки
- ^ А. Гротендик. Классы фаиссо и теория Римана – Роха (1957). Опубликовано в SGA 6, Springer-Verlag (1971), 20-71.
- ^ А. Борель и Ж.-П. Серр. Бык. Soc. Математика. France 86 (1958), 97–136.
- ^ SGA 6, Springer-Verlag (1971).
- ^ Панин, Иван; Смирнов, Александр (2002). «Продвижение вперед в ориентированных теориях когомологий алгебраических многообразий» .
- ^ Морель, Фабьен ; Левин, Марк, Алгебраические кобордизмы (PDF) , Спрингер, см. 4.2.10 и 4.2.11
- ^ Моррисон; Харрис. Модули кривых . п. 154.
- ^ а б Мамфорд, Дэвид (1983). «К перечислительной геометрии пространства модулей кривых» . Арифметика и геометрия : 271–328. DOI : 10.1007 / 978-1-4757-9286-7_12 . ISBN 978-0-8176-3133-8.
- ^ Фултон. Теория пересечения . п. 297.
- ^ а б Кнудсен, Финн Ф. (1983-12-01). "Проективность пространства модулей стабильных кривых, III: линейные расслоения на M грамм , п {\ displaystyle M_ {g, n}} , и доказательство проективности M ¯ грамм , п {\ displaystyle {\ bar {M}} _ {g, n}} в характеристике 0 " . Mathematica Scandinavica . 52 : 200–212. doi : 10.7146 / math.scand.a-12002 . ISSN 1903-1807 .
Рекомендации
- Бертело, Пьер (1971). Александр Гротендик ; Люк Иллюзи (ред.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Теория пересечений и теория Римана-Роха - (SGA 6) (Конспект лекций по математике 225 ) . Конспект лекций по математике (на французском языке). 225 . Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . xii + 700. DOI : 10.1007 / BFb0066283 . ISBN 978-3-540-05647-8.
- Борель, Арман ; Серр, Жан-Пьер (1958), "Le théorème де Римана-Роха", Бюллетень де ла Société Mathematique де Франс (на французском языке), 86 : 97-136, DOI : 10,24033 / bsmf.1500 , ISSN 0037-9484 , MR 0116022
- Фултон, Уильям (1998), теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-62046-X, Руководство по ремонту 1644323 , Zbl 0885.14002
- Наварро, Альберто; Наварро, Хосе (2017), О формуле Римана-Роха без проективной гипотезы , arXiv : 1705.10769 , Bibcode : 2017arXiv170510769N
- Панин, Иван; Смирнов, Александр (2000). «Продвижение вперед в ориентированных теориях когомологий алгебраических многообразий» .
Внешние ссылки
- Теорема Гротендика-Римана-Роха
- Нить «Применение Гротендика-Римана-Роха?» на MathOverflow .
- Нить «как можно понять ГРР? (Гротендик Римана Роха)» на MathOverflow .
- Нить «класс Черна идеального пучка» на Stack бирже .