Векторный набор

(Бесконечно расширенная) лента Мёбиуса - это линейное расслоение над 1-сферой S ¹ . Локально вокруг каждой точки в S ¹ это выглядит как U × R (где U - открытая дуга, включающая точку), но общий пучок отличается от S ¹ × R (который вместо этого представляет собой цилиндр ).

В математике , А векторное расслоение является топологической конструкцией , которая делает точное представление о семье векторных пространств спараметрированной другого пространства X (например , X может быть топологическим пространство , а коллектор , или алгебраическое многообразие ): для каждой точку х из пространство X мы связываем (или «присоединяем») к векторному пространству V ( x ) таким образом, что эти векторные пространства подходят друг к другу и образуют другое пространство того же типа, что и X(например , топологическое пространство, многообразие, или алгебраическое многообразие), который затем называется векторное расслоение над X .

Простейшим примером является случай, когда семейство векторных пространств является постоянным, т. Е. Существует фиксированное векторное пространство V такое, что V ( x ) = V для всех x в X : в этом случае существует копия V для каждого x в X , и эти копии подходят друг к другу , чтобы сформировать вектор расслоение X × V над X . Такие векторные расслоения называются тривиальными . Более сложный (и прототип) класс примеров являются касательными расслоениями на гладких (или дифференцируемых) многообразий: к каждой точке такого многообразия мы присоединяем касательное пространство к многообразию в этой точке. Касательные расслоения, вообще говоря, не являются тривиальными. Например, касательное расслоение сферы нетривиально по теореме о волосатом шаре . В общем случае многообразие называется параллелизируемым, если и только если его касательное расслоение тривиально.

Однако векторные расслоения почти всегда должны быть локально тривиальными , что означает, что они являются примерами расслоений . Кроме того, векторные пространства обычно должны быть над действительными или комплексными числами, и в этом случае векторное расслоение называется действительным или комплексным векторным расслоением (соответственно). Сложные векторные расслоения можно рассматривать как реальные векторные расслоения с дополнительной структурой. В дальнейшем мы сосредоточимся на вещественных векторных расслоениях в категории топологических пространств .

Определение и первые следствия [ править ]

Вещественное векторное расслоение состоит из:

топологические пространства X ( базовое пространство ) и E ( общее пространство )
непрерывный сюръекция π: E → X ( расслоение проекция )
для любого x в X структура конечномерного вещественного векторного пространства на слое π ⁻¹ ({ x })

где выполняется следующее условие совместности: для каждой точки р в X существует открытая окрестность U ⊆ X из р , А натуральное число к , и гомеоморфизм

\varphi \colon U\times \mathbf {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(U)

такие , что для всех х ∈ U ,

$(\pi \circ \varphi )(x,v)=x$ для всех векторов v в R ^k , и
отображение является линейным изоморфизмом между векторными пространствами R ^k и π ⁻¹ ({ x }). $v\mapsto \varphi (x,v)$

Открытая окрестность U вместе с гомеоморфизмом называется локальной тривиализацией векторного расслоения. Местная тривиализация показывает , что локально отображение я «выглядит как» проекция U × R ^к на U . $\varphi$

Каждый слой π ⁻¹ ({ x }) является конечномерным вещественным векторным пространством и, следовательно, имеет размерность k _x . Местные тривиализации показывают , что функция х ↦ к _й является локально постоянной , и, следовательно , постоянен на каждый компонент связности из X . Если k _x равно константе k на всем X , то k называется рангом векторного расслоения, а E называется векторным расслоением ранга k. Часто определение векторного расслоения включает в себя то, что ранг определен правильно, так что k _x постоянно. Векторные расслоения ранга 1 называются линейными расслоениями , тогда как расслоения ранга 2 реже называют плоскими.

Декартово произведение X × R ^K , оснащенный проекции X × R ^K → X , называется тривиальное расслоение ранга к над X .

Функции перехода [ править ]

Для векторного расслоения E → X ранга k и пары окрестностей U и V, над которыми расслоение тривиализуется с помощью

{\begin{aligned}\varphi _{U}\colon U\times \mathbf {R} ^{k}&{\xrightarrow {\cong }}\pi ^{-1}(U),\\\varphi _{V}\colon V\times \mathbf {R} ^{k}&{\xrightarrow {\cong }}\pi ^{-1}(V)\end{aligned}}

составная функция

\varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}\colon (U\cap V)\times \mathbf {R} ^{k}\to (U\cap V)\times \mathbf {R} ^{k}

хорошо определена на перекрытии и удовлетворяет

\varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}(x,v)=\left(x,g_{UV}(x)v\right)

для некоторой GL ( k ) -значной функции

g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (k).

Они называются функциями перехода (или преобразованиями координат ) векторного расслоения.

Набор функций перехода образует коцикл Чеха в том смысле, что

g_{UU}(x)=I,\quad g_{UV}(x)g_{VW}(x)g_{WU}(x)=I

для всех U , V , W, над которыми расслоение тривиально удовлетворяет . Таким образом, данные ( E , X , π, R ^k ) определяют расслоение ; дополнительные данные g _UV определяют структурную группу GL ( k ), в которой действие на волокно является стандартным действием GL ( k ). $U\cap V\cap W\neq \emptyset$

Наоборот, заданному расслоению ( E , X , π, R ^k ) с коциклом GL ( k ), действующим стандартным образом на слое R ^k , соответствует векторное расслоение. Иногда это используется как определение векторного расслоения. ^{[ необходима цитата ]}

Морфизмы векторных расслоений [ править ]

Морфизм из векторного расслоения я ₁ : Е ₁ → X ₁ для векторного расслоения π ₂ : Е ₂ → Х ₂ задается парой непрерывных отображений ф : E ₁ → E ₂ и г : Х ₁ → Х ₂ , такие который

g ∘ π ₁ = π ₂ ∘ f

для каждого x в X ₁ отображение π ₁⁻¹ ({ x }) → π ₂⁻¹ ({ g ( x )}), индуцированное f, является линейным отображением между векторными пространствами.

Обратите внимание, что g определяется f (поскольку π ₁ сюръективно), и тогда говорят , что f покрывает g .

Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует категорию . Ограничиваясь векторными расслоениями, для которых пространства являются многообразиями (а проекции расслоений являются гладкими отображениями) и морфизмами гладких расслоений, мы получаем категорию гладких векторных расслоений. Морфизмы векторных расслоений - это частный случай понятия отображения расслоений между расслоениями , и их также часто называют гомоморфизмами (векторных) расслоений .

Гомоморфизм расслоения от E ₁ к E ₂ с обратным, который также является гомоморфизмом расслоения (от E ₂ к E ₁ ), называется изоморфизмом расслоений (векторов) , и тогда E ₁ и E ₂ называются изоморфными векторными расслоениями. Изоморфизм (ранг к ) векторному расслоение Е над X с тривиальным расслоением (ранг к над X ) называется тривиализацией из Е и Етогда называется тривиальным (или тривиализуемым ). Определение векторного расслоения показывает, что любое векторное расслоение локально тривиально .

Можно также рассмотреть категорию всех векторных расслоений над фиксированной базовой пространства X . Как морфизмов в этой категории мы возьмем те морфизмы векторных расслоений, отображение на базовом пространстве является тождественным отображением на X . То есть морфизмы расслоения, для которых коммутирует следующая диаграмма :

(Отметим, что эта категория не абелева ; ядро морфизма векторных расслоений, вообще говоря, не является векторным расслоением каким-либо естественным образом.)

Морфизм векторного расслоения между векторными расслоениями π ₁ : E ₁ → X ₁ и π ₂ : E ₂ → X _2, покрывающий отображение g из X ₁ в X _2, также можно рассматривать как морфизм векторного расслоения над X ₁ из E ₁ в индуцированное расслоение г * E ₂ .

Сечения и локально свободные пучки [ править ]

Карту, связывающую нормаль с каждой точкой на поверхности, можно рассматривать как разрез. Поверхность - это пространство X , и в каждой точке x есть вектор в векторном пространстве, прикрепленный к точке x .

Учитывая векторное расслоение π: E → X и открытое подмножество U в X , мы можем рассматривать сечения π на U , т. Е. Непрерывные функции s : U → E, где композиция π∘ s такова, что (π∘ s ) ( u ) = U для всех U в U . По сути, секция непрерывно назначает каждой точке U вектор из присоединенного векторного пространства. Например, сечения касательного расслоения дифференциального многообразия не что иное, каквекторные поля на этом многообразии.

Пусть F ( U ) множество всех разделов на U . F ( U ) всегда содержит по крайней мере один элемент, а именно нулевое сечение : функцию s, которая отображает каждый элемент x из U в нулевой элемент векторного пространства π ⁻¹ ({ x }). При поточечном сложении и скалярном умножении сечений F ( U ) становится действительным векторным пространством. Совокупность этих векторных пространств является пучок векторных пространств на X .

Если s - элемент F ( U ) и α: U → R - непрерывное отображение, то α s (поточечное скалярное умножение) принадлежит F ( U ). Мы видим , что F ( U ) представляет собой модуль над кольцом непрерывных вещественных функций на U . Более того, если O _X обозначает структурный пучок непрерывных вещественнозначных функций на X , то F становится пучком O _X -модулей.

Не каждый пучок O _X -модулей возникает таким образом из векторного расслоения: только локально свободные . (Причина: локально мы ищем сечения проекции U × R ^k → U ; это в точности непрерывные функции U → R ^k , и такая функция представляет собой k -набор непрерывных функций U → R. )

Даже больше: категория вещественных векторных расслоений на X является эквивалентом в категории локально свободных и конечно порожденных пучков O _X -модулей. Таким образом, мы можем рассматривать категорию вещественных векторных расслоений на X как находящуюся внутри категории пучков O X -модулей ; эта последняя категория абелева, поэтому здесь мы можем вычислять ядра и коядра морфизмов векторных расслоений.

Векторное расслоение ранга n тривиально тогда и только тогда, когда оно имеет n линейно независимых глобальных секций.

Операции с векторными связками [ править ]

Большинство операций с векторными пространствами можно распространить на векторные расслоения, выполняя операцию с векторным пространством послойно .

Например, если E - векторное расслоение над X , то существует расслоение E * над X , называемое дуальным расслоением , слой которого в точке x ∈ X является двойственным векторным пространством ( E _x ) *. Формально E * можно определить как множество пар ( x , φ), где x ∈ X и φ ∈ ( E _x ) *. Двойственное расслоение локально тривиально, потому что двойственное пространство, обратное к локальной тривиализации E, является локальной тривиализацией E *: ключевым моментом здесь является то, что операция взятия двойственного векторного пространства является функториальной .

Есть много функториальных операций, которые могут быть выполнены с парами векторных пространств (над одним и тем же полем), и они напрямую распространяются на пары векторных расслоений E , F на X (над данным полем). Ниже приведены несколько примеров.

Сумма Уитни (названная по Hassler Уитни ) или прямой пучок суммы из Е и F является векторным расслоением E ⊕ F над X , слой которого над й является прямой суммой Е _х ⊕ Р _х векторных пространств Е _х и Р _х .
Тензорное произведение расслоения E ⊗ F определяется таким же образом, используя послойное тензорное произведение векторных пространств.
Хомы-расслоение Хомы ( Е , F ) является векторным расслоением, слой которого на й есть пространство линейных отображений из Х _х с F _х (которое часто обозначаются Хомы ( Е _х , Р _х ) или L ( Е _х , F _х )). Хом-пучок так называемый (и полезно) , потому что существует взаимно однозначное соответствие между вектором пучка гомоморфизмов из E в F над X и сечений Hom ( E , F ) над X .
Основываясь на предыдущем примере, для данного сечения s расслоения эндоморфизмов Hom ( E , E ) и функции f : X → R можно построить собственное расслоение , взяв слой над точкой x ∈ X как f ( x ) - собственное подпространство линейного отображения s ( x ): E _x → E _x . Хотя такая конструкция естественна, если не позаботиться о ней, полученный объект не будет иметь локальной тривиализации. Рассмотрим случай s- нулевое сечение, а f - изолированные нули. Слой над этими нулями в результирующем «собственном расслоении» будет изоморфен слою над ними в E , в то время как везде слой является тривиальным 0-мерным векторным пространством.
Двойные векторное расслоение Е * является Хомы Хомы расслоения ( Е , Р × Х ) из пучка гомоморфизмов Е и тривиального расслоение R × X . Существует канонический изоморфизм векторного расслоения Hom ( E , F ) = E * ⊗ F .

Каждая из этих операций представляет собой частный пример общей особенностью пучков: что многие операции , которые могут быть выполнены на категории векторных пространств также может быть выполнена на категории векторных расслоений в функторном образом. Это уточняется на языке гладких функторов . Операцией иного характера является построение обратного пучка . Учитывая векторное расслоение E → Y и непрерывное отображение F : X → Y можно «тянуть обратно» E в расслоении F * E над X . Слой над точкой x ∈ Xпо существу только слой над ф ( х ) ∈ Y . Следовательно, Уитни суммирования Е ⊕ F может быть определен как индуцированное расслоение диагонали карты от Й до Х × Х , где расслоение над Х × Х является Е × F .

Замечание : Пусть X - компактное пространство. Любое векторное расслоение E над X является прямым слагаемым тривиального расслоения; т.е. существует такое расслоение E ' , что E ⊕ E ' тривиально. Это не выполняется, если X не компактно: например, тавтологическое линейное расслоение над бесконечным вещественным проективным пространством не обладает этим свойством. ^[1]

Дополнительные структуры и обобщения [ править ]

Векторные пучки часто имеют более структуру. Например, векторные расслоения могут быть снабжены метрикой векторного расслоения . Обычно требуется, чтобы эта метрика была положительно определенной , и в этом случае каждый слой E становится евклидовым пространством. Векторное расслоение со сложной структурой соответствует сложному векторному расслоению , которое также может быть получено заменой вещественных векторных пространств в определении на комплексные и требованием, чтобы все отображения были комплексно-линейными в слоях. В более общем смысле, обычно можно понять дополнительную структуру, налагаемую на векторное расслоение, в терминах результирующего сокращения структурной группы расслоения . Векторные расслоения над более общимитакже могут использоваться топологические поля .

Если вместо конечномерного векторного пространства взять слой F за банахово пространство, то получится банахово расслоение . ^{[2] В} частности, необходимо потребовать, чтобы локальные тривиализации были изоморфизмами банаховых пространств (а не просто линейными изоморфизмами) на каждом из слоев и чтобы, кроме того, переходы

g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (F)

являются непрерывными отображениями банаховых многообразий . В соответствующей теории расслоений C ^p требуется, чтобы все отображения были C ^p .

Векторные расслоения - это специальные расслоения , слои которых являются векторными пространствами, а коцикл соответствует структуре векторного пространства. Могут быть созданы более общие пучки волокон, в которых волокно может иметь другие структуры; например, пучки сфер расслоены сферами.

Гладкие векторные пучки [ править ]

Векторное расслоение ( E , p , M ) является гладким , если E и M - гладкие многообразия , p: E → M - гладкое отображение и локальные тривиализации являются диффеоморфизмами . В зависимости от требуемой степени гладкости существуют различные соответствующие понятия C p расслоений, бесконечно дифференцируемых C ^∞ -расслоений и вещественно-аналитических C ^ω -расслоений. В этом разделе мы сконцентрируемся на C ^∞ -расслоениях. Самый важный примерС ^∞ -векторного расслоением является касательным расслоением ( ТМ , π _ТМ , М ) из C ^∞ -многообразия M .

C ^∞ -векторных расслоения ( Е , р , М ) имеет очень важное свойство не разделяет более общими C ^∞ -fibre пучков. А именно, касательное пространство T _v ( E _x ) при любом v ∈ E _x можно естественным образом отождествить со слоем E _x . Эта идентификация достигается за счет вертикального подъема vl _v : E _x → T _v ( E _x ), определяемого как

\operatorname {vl} _{v}w[f]:=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}f(v+tw),\quad f\in C^{\infty }(E_{x}).

Вертикальный подъем также можно рассматривать как естественный изоморфизм расслоений C ^∞- векторов p * E → VE , где ( p * E , p * p , E ) - расслоение обратного отсчета ( E , p , M ) над E через p : E → M , а VE : = Ker ( p _* ) ⊂ TE - вертикальное касательное расслоение , естественное векторное подрасслоение касательного расслоения ( TE , π _TE , E) От общего пространства Е .

Полное пространство E любого гладкого векторного расслоения содержит естественное векторное поле V _v : = vl _v v , известное как каноническое векторное поле . Более формально V является гладким сечением ( TE , π _TE , E ), и его также можно определить как инфинитезимальный генератор действия группы Ли ( t , v ) ↦ e ^t v, заданный послойным скалярным умножением. Каноническое векторное поле V полностью характеризует структуру гладкого векторного расслоения следующим образом. В качестве подготовки обратите внимание, что когда X- гладкое векторное поле на гладком многообразии M и x ∈ M такое, что X _x = 0, линейное отображение

C_{x}(X):T_{x}M\to T_{x}M;\quad C_{x}(X)Y=(\nabla _{Y}X)_{x}

не зависит от выбора линейной ковариантны производной ∇ на M . Каноническое векторное поле V на E удовлетворяет аксиомам

1. Поток ( t , v ) → Φ ^t_V ( v ) в V определен глобально.

2. Для каждого об ∈ V существует единственное Пт _{т ∞ →} Ф ^т_V ( V ) ∈ V .

3. C _v ( V ) ∘ C _v ( V ) = C _v ( V ), если V _v = 0.

4. Множество нулей V является гладким подмногообразием E , коразмерность которого равна рангу C _v ( V ).

И наоборот, если Е любое гладкое многообразие, V является гладким векторным полем на Е , удовлетворяющее 1-4, то существует единственная векторное расслоение структура на Е , каноническое векторное поле V .

Для любого гладкого векторного расслоения ( E , p , M ) тотальное пространство TE его касательного расслоения ( TE , π _TE , E ) имеет естественную структуру вторичного векторного расслоения ( TE , p _* , TM ), где p _* - толчок -forward канонической проекции р : E → M . Операции векторного расслоения в этой вторичной структуре векторного расслоения - это прямая передача + _* : T ( E × E ) →TE и λ _* : TE → TE оригинального дополнение +: E × E → E и скалярное умножение λ: E → E .

K-теория [ править ]

К-теории групп, $К (Х)$ , компактного хаусдорфова топологического пространства определяется как абелевой группы , порожденной классами изоморфизма $[Е]$ из комплексных векторных расслоений по модулю отношения , что всякий раз , когда мы имеем точную последовательность

0\to A\to B\to C\to 0

тогда

[B]=[A]+[C]

в топологической K-теории . KO-теория - это версия этой конструкции, которая рассматривает вещественные векторные расслоения. Также можно определить K-теорию с компактными носителями и группы высшей K-теории.

Известная теорема периодичности из Рауля Ботт утверждает , что К-теория любого пространства $X$ изоморфно , что из $S 2 X$ , двойной суспензии $X$ .

В алгебраической геометрии рассматриваются группы K-теории, состоящие из когерентных пучков на схеме $X$ , а также группы K-теории векторных расслоений на схеме с указанным выше отношением эквивалентности. Эти две конструкции идентичны при условии, что основная схема гладкая .

См. Также [ править ]

Общие понятия [ править ]

Грассманиан : классифицирующие пространства для векторного расслоения, среди которых проективные пространства для линейных расслоений
Характеристический класс
Принцип разделения
Стабильный набор

Топология и дифференциальная геометрия [ править ]

Калибровочная теория : общее изучение связности векторных расслоений и главных расслоений и их отношения к физике.
Связь : понятие, необходимое для различения участков векторных расслоений.

Алгебраическая и аналитическая геометрия [ править ]

Алгебраическое векторное расслоение
Группа Пикард
Голоморфное векторное расслоение

Примечания [ править ]

^ Hatcher 2003 , Пример 3.6.
Перейти ↑ Lang 1995 .

Источники [ править ]

Авраам, Ральф Х .; Марсден, Джерролд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Бенджамин-Каммингс, см. Раздел 1.5, ISBN 978-0-8053-0102-1.
Хэтчер, Аллен (2003), Vector Bundles & K-Theory (2.0 ed.).
Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42627-1, см. раздел 1.5.
Ланг, Серж (1995), Дифференциальные и римановы многообразия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94338-1.
Ли, Джеффри М. (2009), Многообразия и дифференциальная геометрия , Аспирантура по математике , Vol. 107, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4815-9.
Ли, Джон М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-95448-1 см. главу 5
Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь , Берлин / Бостон: Вальтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3.

Внешние ссылки [ править ]

"Векторное расслоение" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Почему полезно изучать векторные расслоения? на MathOverflow
Почему полезно классифицировать векторные расслоения пространства?

[FOOTNOTEHatcher2003Example_3.6-1] Hatcher 2003 , Пример 3.6.

[FOOTNOTELang1995-2] Перейти ↑ Lang 1995 .