Параллелизируемый коллектор

В математике дифференцируемое многообразие размерности n называется параллелизуемым ^[1], если существуют гладкие векторные поля${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ {V_ {1}, \ dots, V_ {n} \}}$

на многообразии, таким образом, что в каждой точке из тех касательных векторов${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M}$

${\ Displaystyle \ {V_ {1} (p), \ dots, V_ {n} (p) \}}$

обеспечивает основу из касательного пространства в . Эквивалентно, то касательное расслоение является тривиальным расслоением , ^[2] , так что связан главное расслоение из линейных кадров имеет глобальное сечение по${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M.}$

Конкретный выбор такого базиса векторных полей на называется распараллеливанием (или абсолютным параллелизмом ) .${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Примеры [ править ]

• Примером с n = 1 является круг : мы можем принять V ₁ как единичное касательное векторное поле, скажем, направленное против часовой стрелки. Тор размерности п также параллелизуемый, как можно видеть, выражая его как декартово произведение окружностей. Например, возьмите n = 2 и постройте тор из квадрата миллиметровой бумаги с противоположными краями, склеенными вместе, чтобы получить представление о двух касательных направлениях в каждой точке. В более общем смысле, каждая группа Ли G распараллеливаема, поскольку базис касательного пространства в единичном элементеможет быть перемещен действием группы сдвигов группы G на G (каждый сдвиг является диффеоморфизмом, и поэтому эти сдвиги индуцируют линейные изоморфизмы между касательными пространствами точек в G ).
• Классической задачей было определить, какие из сфер S ⁿ можно распараллелить. Нульмерный случай S ⁰ тривиально распараллеливается. Случай S ¹ - это круг, который, как уже объяснялось, можно распараллелить. В волосатой Шаровой теореме показывает , что S ^- не параллелизуемый. Однако S ³ распараллеливаема, так как это группа Ли SU (2) . Единственная другая параллелизируемая сфера - это S ⁷ ; это было доказано в 1958 году Мишелем Кервером , Раулем Боттом и Джоном Милнором., в самостоятельной работе. Параллелизуемые сферы точно соответствуют элементам единичной нормы в нормированных алгебрах с делением действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октонионов , что позволяет построить параллелизм для каждого из них. Доказать, что другие сферы не могут быть распараллелены, сложнее и требует алгебраической топологии .
• Произведение параллелизуемых многообразий распараллеливаемо.
• Всякое ориентируемое трехмерное многообразие параллелизуемо.

Замечания [ править ]

• Любое параллелизуемое многообразие является ориентируема .
• Термин оснащенное многообразие (иногда оснащенное многообразие ) чаще всего применяется к вложенному многообразию с заданной тривиализацией нормального расслоения , а также к абстрактному (т.е. невложенному) многообразию с заданной стабильной тривиализацией касательного расслоения .
• Связанное с этим понятие - понятие π-многообразия . ^[3] Гладкое многообразие M называется π-многообразием, если при вложении в евклидово пространство большой размерности его нормальное расслоение тривиально. В частности, каждое параллелизуемое многообразие является π-многообразием.

См. Также [ править ]

• Диаграмма (топология)
• Дифференцируемое многообразие
• Комплект кадров
• Инвариант Кервера
• Комплект ортонормированных кадров
• Основной пакет
• Связь (математика)
• G-структура

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бишоп, Ричард Л .; Голдберг, Сэмюэл И. (1968), Тензорный анализ на многообразиях (первое издание Dover 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Милнор, Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характеристические классы , Princeton University Press
• Милнор, Джон В. (1958), Дифференцируемые многообразия, которые являются гомотопическими сферами (PDF) , примечания на мимеографе