Теорема Гурвица (композиционные алгебры)

В математике , теорема Гурвица является теорема Адольфа Гурвица (1859-1919), опубликованной посмертно в 1923 году, решая задачу Гурвица для конечномерных унитальных вещественных неассоциативных алгебр , наделенных положительно определенной квадратичной формы . Теорема утверждает , что если квадратичная форма определяет гомоморфизм в положительные действительные числа на ненулевую части алгебры, то алгебра должна быть изоморфна с вещественными числами , в комплексных числа , в кватернионах или томуоктонионы . Такие алгебры, иногда называемые алгебрами Гурвица , являются примерами композиционных алгебр .

Впоследствии теория композиционных алгебр была обобщена на произвольные квадратичные формы и произвольные поля . ^[1] Из теоремы Гурвица следует, что мультипликативные формулы для сумм квадратов могут встречаться только в 1, 2, 4 и 8 измерениях, результат, первоначально доказанный Гурвицем в 1898 году. Это частный случай проблемы Гурвица , решенный также в Радоне ( 1922) . Последующие доказательства ограничений на размерность были даны Экманном (1943) с использованием теории представлений конечных групп и Ли (1948) и Шевалле (1954) с использованием алгебр Клиффорда . Теорема Гурвица применялась валгебраической топологии к задачам о векторных полей на сфере и гомотопических групп этих классических групп ^[2] и в квантовой механике к классификации простых алгебр Иордании . ^[3]

Евклидовы алгебры Гурвица [ править ]

Определение [ править ]

Гурвицева алгебра или композиционная алгебра является конечномерен не обязательно ассоциативная алгебра с единицей , снабженное невырожденной квадратичной формы $Q$ таким образом, что $д$ $($ $A B$ $) =$ $Q$ $($ $)$ $д$ $($ $б$ $)$ . Если базовое поле коэффициентов - это вещественные числа, а $q$ положительно определено, так что $($ $a$ $,$ $b$ $) =$ $1 / 2 [q (a + b) - q (a) - q (b)]$ - скалярное произведение , тогда $A$ называется евклидовой алгеброй Гурвица или (конечномерной) нормированной алгеброй с делением . ^[4]

Если $A$ - евклидова алгебра Гурвица и $a$ принадлежит $A$ , определите инволюцию и операторы правого и левого умножения как

{\ displaystyle \ displaystyle {a ^ {*} = - a + 2 (a, 1) 1, \, \, \, L (a) b = ab, \, \, \, R (a) b = ba .}}

Очевидно, инволюция имеет период два и сохраняет внутренний продукт и норму. Эти операторы обладают следующими свойствами:

инволюция является антиавтоморфизмом, т.е. $(a b) * = b * a *$
$а а * = ‖ а ‖ 2 1 = а * а$
$L (a *) = L (a) *$ , $R (a *) = R (a) *$ , так что инволюция на алгебре соответствует взятию сопряженных
$Re (a b) = Re (b a),$ если $Re x = (x + x *) / 2 = (x, 1) 1$
$Re (a b) c = Re a (b c)$
$L (a 2) = L (a) 2$ , $R (a 2) = R (a) 2$ , так что $A$ - альтернативная алгебра .

Эти свойства доказываются, исходя из поляризованной версии тождества $(a b, a b) = (a, a) (b, b)$ :

{\ displaystyle \ displaystyle {2 (a, b) (c, d) = (ac, bd) + (ad, bc).}}

Установка $b = 1$ или $d = 1$ дает $L (a *) = L (a) *$ и $R (c *) = R (c) *$ .

Следовательно, $Re (a b) = (a b, 1) 1 = (a, b *) 1 = (b a, 1) 1 = Re (b a)$ .

Аналогично $Re (a b) c = ((a b) c, 1) 1 = (a b, c *) 1 = (b, a * c *) 1 = (bc, a *) 1 = (a (bc), 1 ) 1 = Re a (b c)$ .

Следовательно $((ab) *, c) = (ab, c *) = (b, a * c *) = (1, b * (a * c *)) = (1, (b * a *) c * ) = (b * a *, c)$ , так что $(ab) * = b * a *$ .

По поляризованному тождеству $‖ a ‖ 2 (c, d) = (a c, a d) = (a * a c, d),$ поэтому $L (a *) L (a) = ‖ a ‖ 2$ . В применении к 1 это дает $a * a = ‖ a ‖ 2$ . Замена на $в$ $*$ дает другую личность.

Подставляя формулу для $a *$ в $L (a *) L (a) = L (a * a),$ получаем $L (a) 2 = L (a 2)$ .

Классификация [ править ]

Обычно проверяют, что действительные числа $R$ , комплексные числа $C$ и кватернионы $H$ являются примерами ассоциативных евклидовых алгебр Гурвица с их стандартными нормами и инволюциями. Есть , кроме того естественные включения $R \subset C \subset H$ .

Анализ такого включения приводит к конструкции Кэли – Диксона , формализованной А. А. Альбертом . Пусть $A$ - евклидова алгебра Гурвица, а $B$ - собственная подалгебра с единицей, то есть евклидова алгебра Гурвица сама по себе. Выберите единичный вектор $J$ в $A$ ортогональна к $B$ . Поскольку $(j, 1) = 0$ , то $j * = - j$ и, следовательно, $j 2 = -1$ . Пусть $C$ - подалгебра, порожденная $B$ и $j$ . Она унитальна и снова является евклидовой алгеброй Гурвица. Он удовлетворяет следующим законам умножения Кэли-Диксона :

\displaystyle {C=B\oplus Bj,\,\,\,(a+bj)^{*}=a^{*}-bj,\,\,\,(a+bj)(c+dj)=(ac-d^{*}b)+(bc^{*}+da)j.}

$B$ и $B J$ ортогональны, так как $J$ ортогонален $B$ . Если $a$ находится в $B$ , то $j a = a * j$ , поскольку по ортогональному $0 = 2 (j, a *) = j a - a * j$ . Формула инволюции следующая. Для того, чтобы показать , что $B \oplus B J$ замкнуто относительно умножения $Bj = J B$ . Поскольку $B j$ ортогонален 1, $(b j) * = - b j$ .

$b (c j) = (c b) j,$ поскольку $(b, j) = 0,$ так что для $x$ в $A$ , $(b (c j), x) = (b (j x), j (c j)) = - (b (jx), c *) = - (c b, (j x) *) = - ((c b) j, x *) = ((c b) j, x)$ .
$(j c) b = j (b c)$ с учетом вышеупомянутых сопряженных элементов.
$(b j) (c j) = - c * b,$ поскольку $(b, c j)$ = 0, так что для $x$ в $A$ , $((b j) (c j), x) = - ((c j) x *, b j) = (b x *, (c j) j) = - (c * b, x)$ .

Наложение мультипликативности нормы на $C$ для $a + b j$ и $c + d j$ дает:

\displaystyle {(\|a\|^{2}+\|b\|^{2})(\|c\|^{2}+\|d\|^{2})=\|ac-d^{*}b\|^{2}+\|bc^{*}+da\|^{2},}

что приводит к

\displaystyle {(ac,d^{*}b)=(bc^{*},da).}

Следовательно, $d (a c) = (d a) c$ , так что $B$ должен быть ассоциативным .

Этот анализ применит к включению $R$ в $C$ и $C$ в $H$ . Взяв $O = H \oplus H$ с указанным выше произведением и внутренним произведением, мы получим некоммутативную неассоциативную алгебру, порожденную $J = (0, 1)$ . Это восстанавливает обычное определение октонионов или чисел Кэли . Если евклидово алгебра, она должна содержать $R$ . Если это строго больше , чем $R$ , аргумент выше , показывает , что она содержит $C$ . Если он больше, чем $C$ , он содержит $H$ . Если он больше еще, она должна содержать $O$ . Но на этом процесс должен остановиться, потому что $O$ не ассоциативен. На самом деле $Н$ не является коммутативным и $($ $б J$ $) = ($ $б а$ $)$ $J$ $\neq ($ $а б$ $)$ $J$ в $O$ . ^[5]

Теорема. Единственные евклидовы алгебры Гурвица - это действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы.

Другие доказательства [ править ]

Доказательства Ли (1948) и Шевалле (1954) используют алгебры Клиффорда, чтобы показать, что размерность $N$ матрицы $A$ должна быть 1, 2, 4 или 8. Фактически операторы $L (a)$ с $(a, 1) = 0$ удовлетворяют $L (a) 2 = -‖ a ‖ 2$ и, таким образом, образует вещественную алгебру Клиффорда. Если единичный вектор, то $L$ $($ $)$ кососим- сопряженный с квадратным $-$ $я$ . Значит, $N$ должно быть либочетное или 1 (в этом случае $A не$ содержит единичных векторов, ортогональных 1). Реальная алгебра Клиффорда и ее комплексификация действуют на комплексификацию $A$ , $N$ -мерного комплексного пространства. Если $N$ четно, $N - 1$ нечетно, поэтому алгебра Клиффорда имеет ровно два комплексных неприводимых представления размерности $2 N / 2 - 1$ . Так что сила 2 должна разделить $N$ . Легко видеть, что это означает, что $N$ может быть только 1, 2, 4 или 8.

Доказательство Экмана (1954) использует теорию представлений конечных групп или проективную теорию представлений элементарных абелевых 2-групп, которая, как известно, эквивалентна теории представлений вещественных алгебр Клиффорда. Действительно, взяв ортонормированный базис $e$ $i$ ортогонального дополнения к 1, мы получим операторы $U$ $i$ $=$ $L$ $($ $e$ $i$ $),$ удовлетворяющие

\displaystyle {U_{i}^{2}=-I,\,\,\,U_{i}U_{j}=-U_{j}U_{i}\,\,(i\neq j).}

Это проективное представление прямого произведения $N - 1$ групп порядка 2. ( предполагается, что $N$ больше 1.) Операторы $U i$ по построению кососимметричны и ортогональны. Фактически Экманн построил операторы этого типа несколько другим, но эквивалентным способом. Фактически, это метод, первоначально использованный Гурвицем (1923) . ^[6] Предположим, что существует закон композиции для двух форм.

\displaystyle {(x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2})(y_{1}^{2}+\cdots +y_{N}^{2})=z_{1}^{2}+\cdots +z_{N}^{2},}

где $z i$ является билинейным по $x$ и $y$ . Таким образом

\displaystyle {z_{i}=\sum _{j=1}^{N}a_{ij}(x)y_{j}}

где матрица $T (x) = (a ij)$ линейна по $x$ . Приведенные выше отношения эквивалентны

\displaystyle {T(x)T(x)^{t}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}.}

Письмо

\displaystyle {T(x)=T_{1}x_{1}+\cdots +T_{N}x_{N},}

отношения становятся

\displaystyle {T_{i}T_{j}^{t}+T_{j}T_{i}^{t}=2\delta _{ij}I.}

Теперь положим $V i = (T N) t T i$ . Таким образом, $V N = I$ и $V 1, ..., V N - 1$ кососопряжены, ортогональны, удовлетворяя точно таким же соотношениям, что и $U i$ :

\displaystyle {V_{i}^{2}=-I,\,\,\,V_{i}V_{j}=-V_{j}V_{i}\,\,(i\neq j).}

Поскольку $V i$ - ортогональная матрица с квадратом $- I$ в вещественном векторном пространстве, $N$ четно.

Пусть $G$ - конечная группа, порожденная такими элементами $v i$ , что

\displaystyle {v_{i}^{2}=\varepsilon ,\,\,\,v_{i}v_{j}=\varepsilon v_{j}v_{i}\,\,(i\neq j),}

где $ε$ является центральным порядка 2. Коммутатор $[G, G]$ образован как раз из 1 и $ε$ . Если $N$ нечетно, это совпадает с центром, а если $N$ четно, центр имеет порядок 4 с дополнительными элементами $γ = v 1 ... v N - 1$ и $ε γ$ . Если $g$ в $G$ не находится в центре, его класс сопряженности в точности равен $g$ и $ε g$ . Таким образом, существует $2 N - 1 + 1$ класса сопряженности для $N$ нечетных и $2 N - 1 + 2$ для $N$ четных. $G$ имеет $| G / [G, G] | = 2 N - 1$ одномерных комплексных представлений. Общее количество неприводимых комплексных представлений - это количество классов сопряженности. Итак, поскольку $N$ четно, есть еще два неприводимых комплексных представления. Так как сумма квадратов измерений равна $| G |$ и размеры разделяют $| G |$ , две неприводимые должны иметь размерность $2 (N - 2) / 2$ . Когда $N$ четно, их два, и их размерность должна делить порядок группы, так же как и степень двойки, поэтому они оба должны иметь размерность $2 (N - 2) / 2$ . Пространство, в котором действует $V i$ , может быть комплексным. Она будет иметь комплексную размерность $N$ . Он распадается на некоторые из сложных неприводимых представлений группы $G$ , все из которых имеют размерность $2 (N - 2) / 2$ . В частности, это измерение $\leq N$ , поэтому $N$ меньше или равно 8. Если $N = 6$ , размер равен 4, что не делит 6. ИтакN может быть только 1, 2, 4 или 8.

Приложения к йордановым алгебрам [ править ]

Пусть алгебра евклидовой Гурвица и пусть $М$ $п$ $($ $)$ алгебра $п$ матрицу с размерностью $п$ матриц над $А$ . Это единичная неассоциативная алгебра с инволюцией, заданной формулой

\displaystyle {(x_{ij})^{*}=(x_{ji}^{*}).}

След $Tr (X)$ определяется как сумма диагональных элементов $X$ и вещественного следа формулой $Tr R (X) = Re Tr (X)$ . След с действительным знаком удовлетворяет:

\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }XY=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }YX,\qquad \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }(XY)Z=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }X(YZ).

Это непосредственные следствия известных тождеств при $n = 1$ .

В $A$ определите ассоциатор как

\displaystyle {[a,b,c]=a(bc)-(ab)c.}

Оно трилинейно и тождественно обращается в нуль, если $A$ ассоциативно. Поскольку $A$ - альтернативная алгебра, $[a, a, b] = 0$ и $[b, a, a] = 0$ . Из поляризации следует, что ассоциатор антисимметричен в трех своих элементах. Кроме того, если $a$ , $b$ или $c$ лежат в $R,$ то $[a, b, c] = 0$ . Из этих фактов следует, что $M 3 (A)$ обладает определенными коммутационными свойствами. Фактически, если $X$ - матрица в $M 3 (A)$ с действительными элементами на диагонали, то

\displaystyle {[X,X^{2}]=aI,}

с в $A$ . Фактически, если $Y$ $= [$ $X$ $,$ $X$ $2$ $]$ , то

\displaystyle {y_{ij}=\sum _{k,\ell }[x_{ik},x_{k\ell },x_{\ell j}].}

Поскольку диагональные элементы $X$ действительны, недиагональные элементы $Y$ равны нулю. Каждый диагональный элемент из $Y$ представляет собой сумму двух ассоциаторами с участием только от диагональных членов $X$ . Поскольку ассоциаторы инвариантны относительно циклических перестановок, диагональные элементы $Y$ равны.

Пусть $H n (A)$ - пространство самосопряженных элементов в $M n (A)$ с произведением $X \circ Y = 1 / 2 (X Y + Y X)$ и внутреннее произведение $(X, Y) = Tr R (X Y)$ .

Теорема. $H n (A)$ является евклидовой йордановой алгеброй, если $A$ ассоциативна (действительные числа, комплексные числа или кватернионы) и $n \geq 3$ или если $A$ неассоциативна (октонионы) и $n = 3$ .

Исключительная йорданова алгебра $Н 3 (О)$ называется алгебра Альберт после того, как А. Альберт .

Чтобы проверить, что $H n (A)$ удовлетворяет аксиомам евклидовой йордановой алгебры, вещественный след определяет симметричную билинейную форму с $(X, X) = \sum ‖ x ij ‖ 2$ . Так что это внутренний продукт. Он удовлетворяет свойству ассоциативности $(Z \circ X, Y) = (X, Z \circ Y)$ из-за свойств реального следа. Основная аксиома, которую необходимо проверить, - это условие Жордана для операторов $L (X),$ определенных $L (X) Y = X \circ Y$ :

\displaystyle {[L(X),L(X^{2})]=0.}

Это легко проверить, когда $A$ ассоциативна, поскольку $M n (A)$ - ассоциативная алгебра, поэтому йорданова алгебра с $X \circ Y = 1 / 2 (X Y + Y X)$ . Когда $A = O$ и $n = 3,$ требуется особый аргумент, один из самых коротких из которых принадлежит Фройденталю (1951) . ^[7]

Фактически, если $T$ находится в $H 3 (O)$ с $Tr T = 0$ , то

\displaystyle {D(X)=TX-XT}

определяет кососопряженное дифференцирование $H 3 (O)$ . В самом деле,

\operatorname {Tr} (T(X(X^{2}))-T(X^{2}(X)))=\operatorname {Tr} T(aI)=\operatorname {Tr} (T)a=0,

так что

(D(X),X^{2})=0.

Поляризационные выходы:

(D(X),Y\circ Z)+(D(Y),Z\circ X)+(D(Z),X\circ Y)=0.

Установка $Z = 1$ показывает, что $D$ кососопряжен. Свойство вывода $D (X \circ Y) = D (X) \circ Y + X \circ D (Y)$ следует из этого и свойства ассоциативности скалярного произведения в тождестве выше.

Используя $A$ и $n,$ как в формулировке теоремы, пусть $K$ - группа автоморфизмов $E = H n (A),$ оставляющих инвариантным скалярное произведение. Это замкнутая подгруппа в $O (E), а$ значит, компактная группа Ли. Его алгебра Ли состоит из кососопряженных дифференцирований. Фройденталь (1951) показал, что для данного $X$ в $E$ существует автоморфизм $k$ в $K$ такой, что $k (X)$ - диагональная матрица. (По самосопряженности диагональные элементы будут реальными.) Диагонализация Фрейденталь теорема непосредственно вытекает условие Жордана, так как продукты Иордана реальных диагональных матриц коммутировать на $М п (А)$ для любой не-ассоциативной алгебры $A$ .

Для доказательства теоремы диагонализационном взять $X$ в $E$ . По компактности $k$ можно выбрать в $K,$ минимизируя суммы квадратов норм недиагональных членов $k (X)$ . Поскольку $K$ сохраняет суммы всех квадратов, это эквивалентно максимизации сумм квадратов норм диагональных членов $k (X)$ . Замена $X$ с помощью $K X$ , можно предположить , что максимум достигается при $X$ . Поскольку симметрическая группа $S n$ , действующий путем перестановки координат, лежит в $K$ , если $X$ не диагонально, можно предположить, что $x 12$ и сопряженный с ним $x 21$ ненулевые. Пусть $Т$ быть косого присоединенная матрица с $(2, 1)$ ввода $а$ , $(1, 2)$ запись $- *$ и 0 в других местах , и пусть $D$ будет вывод объявления $Т$ из $Е$ . Пусть $к т = ехр Td$ в $K$ . Тогда только первые два диагональных элемента в $X (t) = к т Х$ отличаются от $X$ . Диагональные записи настоящие. Производная $x 11 (t)$ при $t = 0$ являетсякоординатой $(1, 1)$ $[T, X]$ , то есть $a * x 21 + x 12 a = 2 (x 21, a)$ . Эта производная не равна нулю, если $a = x 21$ . С другой стороны, группа $k t$ сохраняет след с действительным знаком. Поскольку он может изменять только $x 11$ и $x 22$ , он сохраняет их сумму. Однако на прямой $x + y =$ constant, $x 2 + y 2$ не имеет локального максимума (только глобальный минимум); противоречие. Следовательно, $X$ должен быть диагональным.

См. Также [ править ]

Мультипликативная квадратичная форма
Число Радона – Гурвица

Примечания [ править ]

^
См .:
- Лам 2005
- Раджваде 1993
- Шапиро 2000
^
См .:
- Экманн 1989
- Экманн 1999
↑ Джордан, фон Нейман и Вигнер 1934
^ Faraut & Korányi 1994 , стр. 82
^ Faraut & Korányi 1994 , стр. 81-86
^
См .:
- Гурвиц 1923 , стр. 11
- Херштейн, 1968 , стр. 141–144.
^
См .:
- Фараут и Кораньи, 1994 , стр. 88–91.
- Постников 1986

Ссылки [ править ]

Альберт, AA (1934), "Об одной алгебре квантовой механики", Ann. математики. , 35 (1): 65-73, DOI : 10,2307 / 1968118 , JSTOR 1968118
Chevalley, C. (1954), Алгебраическая теория спиноров и алгебр Клиффорда , Columbia University Press
Экманн, Бено (1943), "Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz – Radon über die Komposition quadratischer Formen" , Комментарий. Математика. Helv. , 15 : 358-366, DOI : 10.1007 / bf02565652 , S2CID 123322808
Экманн, Бено (1989), "Матрицы Гурвица – Радона и периодичность по модулю 8" , Enseign. Математика. , 35 : 77–91, архивировано из оригинала 16.06.2013.
Экманн, Бено (1999), «Топология, алгебра, анализ - отношения и недостающие звенья» , Notices Amer. Математика. Soc. , 46 : 520–527
Faraut, J .; Кораньи, А. (1994), Анализ на симметричных конусах , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 978-0198534778
Фройденталь, Ганс (1951), Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie , Mathematisch Instituut der Rijksuniversiteit te Utrecht
Freudenthal, Hans (1985), "Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie", Geom. Dedicata , 19 : 7-63, DOI : 10.1007 / bf00233101 , S2CID 121496094 (перепечатка статьи 1951 г.)
Херштейн, И. Н. (1968), Некоммутативные кольца , Математические монографии Каруса, 15 , Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0883850152
Гурвиц, А. (1898), "Über die Composition der quadratischen Formen von Believebig vielen Variabeln" , Goett. Nachr. : 309–316
Hurwitz, A. (1923), "Uber die Komposition der quadratischen Formen" , Math. Анна. , 88 (1-2): 1-25, DOI : 10.1007 / bf01448439 , S2CID 122147399
Джейкобсон, Н. (1968), Структура и представления йордановых алгебр , Публикации коллоквиума Американского математического общества, 39 , Американское математическое общество
Jordan, P .; von Neumann, J .; Вигнер, Э. (1934), "Об одном алгебраическом обобщении квантово-механического формализма", Ann. математики. , 35 (1): 29-64, DOI : 10,2307 / 1968117 , JSTOR 1968117
Лам, Цит-Юэн (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Аспирантура по математике , 67 , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1095-8, Руководство по ремонту 2104929 , Zbl 1068.11023
Ли, Х.К. (1948), "Sur le théorème de Hurwitz-Radon для композиции квадратичных форм" , Комментарий. Математика. Helv. , 21 : 261–269, doi : 10.1007 / bf02568038 , S2CID 121079375 , заархивировано из оригинала 03.05.2014.
Портеус, И. Р. (1969), Топологическая геометрия , Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN 978-0-442-06606-2, Zbl 0186,06304
Постников М. (1986), Группы Ли и алгебры Ли. Лекции по геометрии. Семестр V , Мир
Радон, Дж. (1922), "Lineare scharen orthogonaler matrizen" , Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 1 : 1–14, doi : 10.1007 / bf02940576 , S2CID 120583389
Rajwade, AR (1993), Squares , Серия лекций Лондонского математического общества, 171 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-42668-8, Zbl 0785,11022
Шафер, Ричард Д. (1995) [1966], Введение в неассоциативные алгебры , Dover Publications , ISBN 978-0-486-68813-8, Zbl 0145.25601
Шапиро, Дэниел Б. (2000), Композиции квадратичных форм , De Gruyter Expositions in Mathematics, 33 , Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-012629-7, Zbl 0954,11011

Дальнейшее чтение [ править ]

Баэз, Джон К. (2002), «Октонионы» , Bull. Амер. Математика. Soc. , 39 (2): 145–205, arXiv : math / 0105155 , doi : 10.1090 / S0273-0979-01-00934-X , S2CID 586512
Конвей, Джон Х .; Смит, Дерек А. (2003), О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия , AK Peters, ISBN 978-1568811345
Кантор, Иллинойс; Солодовников, А.С. (1989), "Нормированные алгебры с единицей. Теорема Гурвица". , Гиперкомплексные числа. Элементарное введение в алгебры , Trans. А. Шеницер (2-е изд.), Springer-Verlag , p. 121 , ISBN 978-0-387-96980-0, Zbl 0669,17001
Макс Кехера & Reinhold Remmert (1990) "Теорема Композиционные алгебры Гурвица. - Алгебры Вектор-Продукт", глава 10 из чисел от Heinz-Dieter Эббингауза . И др, Springer, ISBN 0-387-97202-1
Springer, TA ; Ф. Д. Вельдкамп (2000), октонионы, йордановы алгебры и исключительные группы , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66337-9

[1] См .:
Лам 2005
Раджваде 1993
Шапиро 2000

[2] Лам 2005

[3] Раджваде 1993

[4] Шапиро 2000

[2] См .:
Экманн 1989
Экманн 1999

[6] Экманн 1989

[7] Экманн 1999

[3] Джордан, фон Нейман и Вигнер 1934

[4] Faraut & Korányi 1994 , стр. 82

[5] Faraut & Korányi 1994 , стр. 81-86

[6] См .:
Гурвиц 1923 , стр. 11
Херштейн, 1968 , стр. 141–144.

[12] Гурвиц 1923 , стр. 11

[13] Херштейн, 1968 , стр. 141–144.

[7] См .:
Фараут и Кораньи, 1994 , стр. 88–91.
Постников 1986

[15] Фараут и Кораньи, 1994 , стр. 88–91.

[16] Постников 1986

[1]