Классическая группа

Группы Ли
Классические группы Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n )
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физике Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В математике , что классические группы определяются как специальные линейные группы над полем действительных чисел R , в комплексные числа C и кватернионов H вместе с особыми ^[1] группы автоморфизмов из симметричных или кососимметрических билинейных форм и эрмитовой или косоэрмитовых форм полуторалинейных определены на вещественных, комплексных и кватернионных конечномерных векторных пространствах. ^[2] Из них комплексные классические группы Ли представляют собой четыре бесконечных семействаГруппы Ли, которые вместе с исключительными группами исчерпывают классификацию простых групп Ли . В компактных классических группах являются компактными вещественными формами комплексных классических групп. Конечными аналогами классических групп являются классические группы лиева типа . Термин «классическая группа» был введен Германом Вейлем в название его монографии «Классические группы» 1939 года . ^[3]

Классические группы составляют наиболее глубокую и полезную часть предмета линейных групп Ли. ^[4] Большинство типов классических групп находят применение в классической и современной физике. Вот несколько примеров. Группа вращений SO (3) является симметрией евклидова пространства и всех фундаментальных законов физики, группа Лоренца O (3,1) является группа симметрии пространства - времени в специальной теории относительности . Специальная унитарная группа SU (3) является группа симметрии квантовой хромодинамики и симплектической группа Sp ( м ) применение находит вГамильтонова механика и ее квантово-механические версии.

Классические группы [ править ]

В классических группах в точности общих линейных группы над R , C и H вместе с группами автоморфизмов невырожденных форм , обсуждаемыми ниже. ^[5] Эти группы обычно дополнительно ограничиваются подгруппами, элементы которых имеют определитель 1, так что их центры дискретны. Классические группы с условием детерминанта 1 перечислены в таблице ниже. В дальнейшем условие определителя 1 не используется последовательно в интересах большей общности.

В сложных классических группах являются SL ( п , С ) , SO ( п , С ) и Sp ( п , С ) . Группа сложна в зависимости от того, сложна ли ее алгебра Ли. В настоящих классических группах относятся ко всем из классических групп , поскольку любая алгебра Ли является вещественной алгеброй. В компактных классических группах являются компактными вещественными формами комплексных классических групп. Это, в свою очередь, SU ( n ) , SO ( n ) и Sp ( n) . Одна характеризация компактной вещественной формы дана в терминах алгебры Ли g . Если г = у + я у , то комплексификация из U , и если связная группа K порождается {ехр ( X ): X ∈ U } компактно, то К является компактной вещественной формой. ^[6]

Классические группы можно единообразно охарактеризовать по-разному, используя реальные формы . Классические группы (здесь с условием определителя 1, но это не обязательно) следующие:

Комплексные линейные алгебраические группы SL ( n , C ), SO ( n , C ) и Sp ( n , C ) вместе с их вещественными формами . ^[7]

Например, SO ^∗ (2 n ) - вещественная форма SO (2 n , C ) , SU ( p , q ) - вещественная форма SL ( n , C ) , а SL ( n , H ) - вещественная форма. форма SL (2 n , C ). Без условия определителя 1 заменить специальные линейные группы на соответствующие общие линейные группы в характеризации. Рассматриваемые алгебраические группы являются группами Ли, но «алгебраический» квалификатор необходим, чтобы получить правильное понятие «действительной формы».

Билинейные и полуторалинейные формы [ править ]

Классические группы определены в терминах форм , определенных на R ^п , С ^п и Н ^п , где Р и С являются полями этих реальных и комплексных чисел . В кватернионах , Н , не представляют собой поле , так как умножение не коммутирует; они образуют кольцо с разделением или перекосом поля или некоммутативное поле . Однако определение матричных кватернионных групп все еще возможно. По этой причине векторное пространство V может быть определено над R, C , а также H ниже. В случае H , V является правом векторного пространства , чтобы сделать возможным представление действия группы в качестве матричного умножения с левым , так же , как и для R и C . ^[8]

Форма φ : V × V → F на некотором конечномерном правом векторном пространстве над F = R , C или H является билинейной, если

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.}$ и если

${\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.}$

Он называется полуторалинейным, если

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )={\bar {\alpha }}\varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.}$ и если :${\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2})\forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.}$

Эти соглашения выбраны потому, что они работают во всех рассмотренных случаях. Автоморфизм из ф является отображением Α в множестве линейных операторов на V таким образом, что

${\displaystyle \varphi (Ax,Ay)=\varphi (x,y),\quad \forall x,y\in V.}$

( 1 )

Множество всех автоморфизмов φ образуют группу, она называется группой автоморфизмов φ и обозначается Aut ( φ ) . Это приводит к предварительному определению классической группы:

Классическая группа представляет собой группу , которая сохраняет билинейной или полуторалинейная форма на конечномерных векторных пространств над R , C или H .

Это определение имеет некоторую избыточность. В случае F = R билинейность эквивалентна полуторалинейной. В случае F = H ненулевых билинейных форм нет. ^[9]

Симметричные, кососимметричные, эрмитовы и косоэрмитовы формы [ править ]

Форма симметрична, если

${\displaystyle \varphi (x,y)=\varphi (y,x).}$

Он кососимметричен, если

${\displaystyle \varphi (x,y)=-\varphi (y,x).}$

Это эрмитово, если

${\displaystyle \varphi (x,y)={\overline {\varphi (y,x)}}}$

Наконец, он косоэрмитов, если

${\displaystyle \varphi (x,y)=-{\overline {\varphi (y,x)}}.}$

Билинейная форма φ - это однозначно сумма симметричной формы и кососимметричной формы. Преобразование, сохраняющее φ, сохраняет обе части по отдельности. Таким образом, группы, сохраняющие симметрическую и кососимметричную формы, можно изучать отдельно. То же самое относится, mutatis mutandis, к эрмитовым и косоэрмитовым формам. По этой причине в целях классификации рассматриваются только чисто симметричные, кососимметричные, эрмитовы или косоэрмитовы формы. В нормальных формах этих форм соответствуют определенным подходящим вариантам оснований. Это базы, дающие в координатах следующие нормальные формы:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Bilinear symmetric form in (pseudo-)orthonormal basis:}}\qquad \varphi (x,y)&=\pm \xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\pm \cdots \pm \xi _{n}\eta _{n},\,\,(\mathbf {R} )\\{\text{Bilinear symmetric form in orthonormal basis:}}\qquad \varphi (x,y)&=\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{2}\eta _{2}+\cdots +\xi _{n}\eta _{n},\,\,(\mathbf {C} )\\{\text{Bilinear skew-symmetric in symplectic basis:}}\qquad \varphi (x,y)&=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}+\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}\\&-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}-\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},\,\,(\mathbf {R} ,\mathbf {C} )\\{\text{Sesquilinear Hermitian:}}\qquad \varphi (x,y)&=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\pm \cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n},\,\,(\mathbf {C} ,\mathbf {H} )\\{\text{Sesquilinear skew-Hermitian:}}\qquad \varphi (x,y)&={\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}+\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},\,\,(\mathbf {H} ).\end{aligned}}}$

J в косоэрмитах формы является третьим элементом в основе основе ( 1 , я , J , K ) для H . Доказательство существования этих оснований и закона инерции Сильвестра , независимости количества знаков плюс и минус, p и q , в симметричной и эрмитовой формах, а также наличия или отсутствия полей в каждом выражении, можно найти у Rossmann (2002) или Goodman & Wallach (2009) . Пара ( p , q ) , а иногда и p -q , называется подписью формы.

Объяснение появления полей R , C , H : Нетривиальных билинейных форм над H нет . В симметричном билинейном случае сигнатуру имеют только формы над R. Другими словами, сложная билинейная форма с «сигнатурой» ( p , q ) может быть приведена путем изменения основы к форме, в которой все знаки равны « + » в приведенном выше выражении, тогда как в реальном случае это невозможно , в котором p - qне зависит от основы, когда помещен в эту форму. Однако эрмитовы формы имеют сигнатуру, не зависящую от базиса, как в сложном, так и в кватернионном случае. (Реальный случай сводится к симметричному случаю.) Косоэрмитова форма на комплексном векторном пространстве становится эрмитовой путем умножения на i , поэтому в этом случае интересна только H.

Группы автоморфизмов [ править ]

В первом разделе представлена ​​общая структура. Другие разделы исчерпывают качественно различные случаи , которые возникают в группах автоморфизмов билинейной и полуторалинейных форм на конечномерных векторных пространств над R , C и H .

Aut ( φ ) - группа автоморфизмов [ править ]

Предположим , что φ является невырожденной формой на конечномерном векторном пространстве V над R , C или H . Группа автоморфизмов определяется на основании условия ( 1 ) как

${\displaystyle \mathrm {Aut} (\varphi )=\{A\in \mathrm {GL} (V):\varphi (Ax,Ay)=\varphi (x,y),\quad \forall x,y\in V\}.}$

Каждый A ∈ M _n ( V ) имеет сопряженный A ^φ относительно φ, определяемый формулой

${\displaystyle \varphi (Ax,y)=\varphi (x,A^{\varphi }y),\qquad x,y\in V.}$

( 2 )

Используя это определение в условии ( 1 ), видно, что группа автоморфизмов задается формулой

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):A^{\varphi }A=1\}.}$[10]

( 3 )

Закрепить основу для V . Исходя из этого, положим

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sum \xi _{i}\varphi _{ij}\eta _{j}}$

где ξ _i , η _j - компоненты x , y . Это подходит для билинейных форм. Полуторные формы имеют похожие выражения и позже будут рассматриваться отдельно. В матричных обозначениях находим

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }\Phi y}$

и

${\displaystyle A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi }$[11]

( 4 )

из ( 2 ) где Φ - матрица ( φ _ij ) . Условие невырожденности означает в точности обратимость Φ , поэтому сопряженный всегда существует. Aut ( φ ) выражается в виде

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi A=1\}.}$

Алгебра Ли aut ( φ ) групп автоморфизмов записывается немедленно. Абстрактно X ∈ aut ( φ ) тогда и только тогда, когда

${\displaystyle (e^{tX})^{\varphi }e^{tX}=1}$

для всех t , что соответствует условию в ( 3 ) при экспоненциальном отображении алгебр Ли, так что

${\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):X^{\varphi }=-X\},}$

или в основе

${\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\Phi ^{-1}X^{\mathrm {T} }\Phi =-X\}}$

( 5 )

как видно из разложения экспоненциального отображения в степенной ряд и линейности задействованных операций. Наоборот, предположим, что X ∈ aut ( φ ) . Тогда, используя полученный выше результат, φ ( Xx , y ) = φ ( x , X ^φ y ) = -φ ( x , Xy ) . Таким образом, алгебру Ли можно охарактеризовать без ссылки на базис или присоединенный элемент, как

${\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\varphi (Xx,y)=-\varphi (x,Xy),\quad \forall x,y\in V\}.}$

Нормальная форма для φ будет дана для каждой классической группы ниже. Из этой нормальной формы матрица Φ может быть считана напрямую. Следовательно, выражения для присоединенной алгебры и алгебры Ли можно получить с помощью формул ( 4 ) и ( 5 ). Ниже это демонстрируется в большинстве нетривиальных случаев.

Билинейный случай [ править ]

Когда форма симметрична, Aut ( φ ) называется O ( φ ) . Когда он кососимметричный, Aut ( φ ) называется Sp ( φ ) . Это касается реальных и сложных случаев. Кватернионный случай пуст, поскольку на кватернионных векторных пространствах не существует ненулевых билинейных форм. ^[12]

Реальный случай [ править ]

Реальный случай распадается на два случая: симметричную и антисимметричную, которые следует рассматривать отдельно.

O ( p , q ) и O ( n ) - ортогональные группы [ править ]

Если φ симметрично и векторное пространство вещественно, можно выбрать базис так, чтобы

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm \xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{1}\eta _{1}\cdots \pm \xi _{n}\eta _{n}.}$

Количество знаков плюс и минус не зависит от конкретной основы. ^[13] В случае V = R ⁿ пишут O ( φ ) = O ( p , q ), где p - количество знаков плюс, q - количество знаков минус, p + q = n . Если q = 0, обозначение O ( n ) . Матрица Φ в этом случае

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\equiv I_{p,q}}$

после переупорядочивания основы при необходимости. Тогда сопряженная операция ( 4 ) принимает вид

${\displaystyle A^{\varphi }=\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A_{11}&\cdots \\\cdots &A_{nn}\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right),}$

который сводится к обычному транспонированию, когда p или q равно 0. Алгебра Ли находится с использованием уравнения ( 5 ) и подходящего анзаца (это подробно описано для случая Sp ( m , R ) ниже),

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Y_{p\times q}\\Y^{\mathrm {T} }&W_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad W^{\mathrm {T} }=-W\right\},}$

а группа согласно ( 3 ) имеет вид

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )|I_{p,q}^{-1}g^{\mathrm {T} }I_{p,q}g=I\}.}$

Группы O ( p , q ) и O ( q , p ) изоморфны через отображение

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)\rightarrow \mathrm {O} (q,p),\quad g\rightarrow \sigma g\sigma ^{-1},\quad \sigma =\left[{\begin{smallmatrix}0&0&\cdots &1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&\cdots &0\\1&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right].}$

Например, алгебра Ли группы Лоренца может быть записана как

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)=\mathrm {span} \left\{\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{smallmatrix}}\right)\right\}.}$

Естественно, можно переставить так, чтобы q -блок находился в верхнем левом углу (или в любом другом блоке). Здесь «компонент времени» оказывается четвертой координатой в физической интерпретации, а не первой, как может быть более распространено.

Sp ( m , R) - вещественная симплектическая группа [ править ]

Если φ кососимметричный и векторное пространство вещественно, существует базис, дающий

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},}$

где n = 2 м . Для Aut ( φ ) пишут Sp ( φ ) = Sp ( V ). В случае V = R ⁿ = R ^{2 m} пишут Sp ( m , R ) или Sp (2 m , R ) . Из нормальной формы читают

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=J_{m}.}$

Сделав анзац

${\displaystyle V=\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right),}$

где X , Y , Z , W - m -мерные матрицы и с учетом ( 5 )

${\displaystyle \left({\begin{matrix}0_{m}&-I_{m}\\I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=-\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)}$

находят алгебру Ли Sp ( m , R ) ,

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {R} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},}$

и группа дается

${\displaystyle \mathrm {Sp} (m,\mathbb {R} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {R} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.}$

Сложный случай [ править ]

Как и в реальном случае, есть два случая, симметричный и антисимметричный, каждый из которых дает семейство классических групп.

O ( n , C) - комплексная ортогональная группа [ править ]

Если случай φ симметричный и векторное пространство комплексное, базис

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{1}\eta _{1}\cdots +\xi _{n}\eta _{n}}$

могут использоваться только знаки плюса. Группа автоморфизмов в случае V = C ⁿ называется O (n, C ) . Алгебра Ли - это просто частный случай алгебры o ( p , q ) ,

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )=\{X|X^{\mathrm {T} }=-X\},}$

и группа дается

${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )=\{g|g^{\mathrm {T} }g=I_{n}\}.}$

С точки зрения классификации простых алгебр Ли , so ( n ) делятся на два класса: с нечетным n с корневой системой B _n и n четным с корневой системой D _n .

Sp ( m , C) - комплексная симплектическая группа [ править ]

Для кососимметричных φ и комплекса векторных пространств та же формула

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},}$

применяется как в реальном случае. Для Aut ( φ ) пишут Sp ( φ ) = Sp ( V ). В случае V = ℂ ⁿ = ℂ ^{2 m} пишут Sp ( m , ℂ) или Sp (2 m , ℂ) . Алгебра Ли параллельна алгебре sp ( m , ℝ) ,

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {C} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},}$

и группа дается

${\displaystyle \mathrm {Sp} (m,\mathbb {C} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {C} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.}$

Полуторный случай [ править ]

В случае секвилинейной формы мы применяем несколько иной подход к форме с точки зрения основы:

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sum {\bar {\xi }}_{i}\varphi _{ij}\eta _{j}.}$

Другие изменяемые выражения:

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{*}\Phi y,\qquad A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{*}\Phi ,}$^[14]

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{*}\Phi A=1\},}$

${\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\Phi ^{-1}X^{*}\Phi =-X\}.}$

( 6 )

Реальный случай, конечно, не дает ничего нового. Комплексный и кватернионный случай будут рассмотрены ниже.

Сложный случай [ править ]

С качественной точки зрения рассмотрение косоэрмитовых форм (с точностью до изоморфизма) не дает новых групп; умножение на i дает косоэрмитову форму эрмитовой, и наоборот. Таким образом, необходимо рассматривать только эрмитов случай.

U ( p , q ) и U ( n ) - унитарные группы [ править ]

Невырожденная эрмитова форма имеет нормальную форму

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}.}$

Как и в билинейном случае, сигнатура ( p , q ) не зависит от базиса. Группа автоморфизмов обозначается U ( V ) или, в случае V = C ⁿ , U ( p , q ) . Если q = 0, обозначение U ( n ) . В этом случае Φ принимает вид

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}1_{p}&0\\0&-1_{q}\end{matrix}}\right)=I_{p,q},}$

а алгебра Ли задается формулой

${\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Z_{p\times q}\\{\overline {Z_{p\times q}}}^{\mathrm {T} }&Y_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|{\overline {X}}^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=-Y\right\}.}$

Группа представлена

${\displaystyle \mathrm {U} (p,q)=\{g|I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I\}.}$

где g - общая комплексная матрица размера nxn и определяется как сопряженное транспонирование g, что физики называют .${\displaystyle g^{*}}$${\displaystyle g^{\dagger }}$

Для сравнения, унитарная матрица U (n) определяется как

${\displaystyle \mathrm {U} (n)=\{g|g^{*}g=I\}.}$

Отметим, что это то же самое, что и${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$${\displaystyle \mathrm {U} (n,0)}$

Кватернионный случай [ править ]

Пространство Н ^п рассматриваются как правое векторное пространство над H . Таким образом, ( В.Х. ) = ( Ав ) ч для кватернионов ч , колонка кватернионов вектор об и кватернионов матрицы A . Если бы H ⁿ было левым векторным пространством над H , то для сохранения линейности потребовалось бы умножение матриц справа на векторы-строки. Это не соответствует обычной линейной операции группы в векторном пространстве, когда задан базис, то есть матричное умножение слевана векторах-столбцах. Таким образом , V отныне правое векторное пространство над H . Тем не менее , следует соблюдать осторожность в связи с некоммутативном характер Н . Детали (в основном очевидные) опускаются, потому что будут использоваться сложные представления.

Имея дело с кватернионными группами, кватернионы удобно представлять с помощью комплексных матриц 2 × 2 ,

${\displaystyle q=a\mathrm {1} +b\mathrm {i} +c\mathrm {j} +d\mathrm {k} =\alpha +j\beta \leftrightarrow {\begin{bmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}=Q,\quad q\in \mathbb {H} ,\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {C} .}$[15]

( 7 )

В этом представлении кватернионное умножение становится матричным умножением, а кватернионное сопряжение становится эрмитово сопряженным. Более того, если кватернион в соответствии с комплексным кодированием q = x + j y задан как вектор-столбец ( x , y ) ^T , то умножение слева на матричное представление кватерниона дает новый вектор-столбец, представляющий правильный кватернион . Это представление немного отличается от более общего представления, найденного в статье о кватернионе . Более распространенное соглашение заставит умножение справа на матрице строк для достижения того же самого.

Между прочим, из приведенного выше представления становится ясно, что группа единичных кватернионов ( α α + β β = 1 = det Q ) изоморфна SU (2) .

Кватернионные n × n -матрицы могут, очевидно, быть представлены блочными матрицами 2 n × 2 n комплексных чисел. ^[16] Если кто-то соглашается представить кватернионный вектор-столбец размера n × 1 вектором-столбцом 2 n × 1 с комплексными числами в соответствии с приведенной выше кодировкой, причем верхние n чисел являются α _i, а нижние n - β _i , то кватернионная n × n -матрица становится комплексной 2 n × 2 n-матрица в точности указанного выше вида, но теперь с α и β n × n -матрицами. Более формально

${\displaystyle \left(Q\right)_{n\times n}=\left(X\right)_{n\times n}+\mathrm {j} \left(Y\right)_{n\times n}\leftrightarrow \left({\begin{matrix}X&-{\bar {Y}}\\Y&{\bar {X}}\end{matrix}}\right)_{2n\times 2n}.}$

( 8 )

Матрица T ∈ GL (2 n , C ) имеет вид, указанный в ( 8 ), тогда и только тогда, когда J _n T = TJ _n . С этими отождествлениями,

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}\approx \mathbb {C} ^{2n},M_{n}(\mathbb {H} )\approx \left\{\left.T\in M_{2n}(\mathbb {C} )\right|J_{n}T={\overline {T}}J_{n},\quad J_{n}=\left({\begin{matrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{matrix}}\right)\right\}.}$

Пространство M _n ( H ) ⊂ M _{2 n} ( C ) является вещественной алгеброй, но не является комплексным подпространством в M _{2 n} ( C ) . Умножение (слева) на i в M _n ( H ) с использованием кватернионного умножения по элементам и последующее отображение на изображение в M _{2 n} ( C ) дает другой результат, чем умножение по элементам на i непосредственно в M _{2 n} ( C ). Правила кватернионного умножения дают i ( X + j Y ) = ( i X ) + j (- i Y ), где новые X и Y находятся внутри круглых скобок.

Действие кватернионных матриц на кватернионные векторы теперь представлено комплексными величинами, но в остальном оно такое же, как для «обычных» матриц и векторов. Таким образом, кватернионные группы вкладываются в M _{2 n} ( C ), где n - размерность кватернионных матриц.

Определитель кватернионной матрицы определяется в этом представлении как обычный комплексный определитель ее представительной матрицы. Некоммутативный характер кватернионного умножения в кватернионном представлении матриц был бы неоднозначным. Способом М _п ( Н ) вкладывается в М _{2 п} ( С ) не является уникальным, но все такие вложения связаны через г ↦ AGA ^-1 , г ∈ GL (2 н , С ) для ∈ O (2 н , C ), оставляя детерминант неизменным. ^[17] Имя SL ( n , H ) в этом комплексном обличье - SU ^∗ (2 n ) .

В отличие от случая C , как эрмитов, так и косоэрмитов случай вносят что-то новое при рассмотрении H , поэтому эти случаи рассматриваются отдельно.

GL ( n , H) и SL ( n , H) [ править ]

Под указанным выше идентификатором

${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )|Jg={\overline {g}}J,\mathrm {det} \quad g\neq 0\}\equiv \mathrm {U} ^{*}(2n).}$

Его алгебра Ли gl ( n , H ) - это множество всех матриц в образе отображения M _n ( H ) ↔ M _{2 n} ( C ), приведенного выше,

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X,Y\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\right\}\equiv {\mathfrak {u}}^{*}(2n).}$

Кватернионная специальная линейная группа задается формулой

${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )|\mathrm {det} \ g=1\}\equiv \mathrm {SU} ^{*}(2n),}$

где определитель берется на матрицах из C ^{2 n} . В качестве альтернативы его можно определить как ядро определителя Дьедонне . Алгебра Ли${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\rightarrow \mathbb {H} ^{*}/[\mathbb {H} ^{*},\mathbb {H} ^{*}]\simeq \mathbb {R} _{>0}^{*}}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|Re(\operatorname {Tr} X)=0\right\}\equiv {\mathfrak {su}}^{*}(2n).}$

Sp ( p , q ) - кватернионная унитарная группа [ править ]

Как и выше в сложном случае, нормальная форма

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}}$

и количество плюсов не зависит от основания. Когда V = H ⁿ с этой формой, Sp ( φ ) = Sp ( p , q ) . Причина для обозначения состоит в том, что группа может быть представлена, используя вышеуказанный рецепт, как подгруппу Sp ( n , C ), сохраняющую комплексно-эрмитову форму подписи (2 p , 2 q ) ^[18] Если p или q = 0 группа обозначается U ( n , H ) . Иногда его называютгиперунитарная группа .

В кватернионной записи

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)=I_{p,q}}$

это означает, что кватернионные матрицы вида

${\displaystyle {\mathcal {Q}}=\left({\begin{matrix}{\mathcal {X}}_{p\times p}&{\mathcal {Z}}_{p\times q}\\{\mathcal {Z}}^{*}&{\mathcal {Y}}_{q\times q}\end{matrix}}\right),\qquad {\mathcal {X}}^{*}=-{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}}^{*}=-{\mathcal {Y}}}$

( 9 )

удовлетворит

${\displaystyle \Phi ^{-1}{\mathcal {Q}}^{*}\Phi =-{\mathcal {Q}},}$

см. раздел о u ( p , q ) . Следует проявлять осторожность при работе с умножением кватернионных матриц, но здесь задействованы только I и - I , и они коммутируют с каждой матрицей кватернионов. Теперь примените рецепт ( 8 ) к каждому блоку,

${\displaystyle {\mathcal {X}}=\left({\begin{matrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{matrix}}\right),{\mathcal {Y}}=\left({\begin{matrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{matrix}}\right),{\mathcal {Z}}=\left({\begin{matrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{matrix}}\right),}$

и соотношения ( 9 ) будут выполнены, если

${\displaystyle X_{1}^{*}=-X_{1},Y_{1}^{*}=-Y_{1}.}$

Алгебра Ли становится

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\left\{\left(\left.{\begin{matrix}{\begin{bmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}^{*}&{\begin{bmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{bmatrix}}\end{matrix}}\right)\right|X_{1}^{*}=-X_{1},Y_{1}^{*}=-Y_{1}\right\}.}$

Группа представлена

${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )|I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I_{p+q}\}=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )|K_{p,q}^{-1}g^{*}K_{p,q}g=I_{2(p+q)},\qquad K=\mathrm {diag} (I_{p,q},I_{p,q})\}.}$

Возвращаясь к нормальной форме ф ( ш , г ) для Sp ( р , д ) , сделать замены W → U + JV и г → х + JY с U, V, X, Y ∈ C ^н . потом

${\displaystyle \varphi (w,z)={\begin{bmatrix}u^{*}&v^{*}\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+j{\begin{bmatrix}u&-v\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}y\\x\end{bmatrix}}=\varphi _{1}(w,z)+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z),\qquad K_{p,q}=\mathrm {diag} (I_{p,q},I_{p,q})}$

рассматривается как H -значная форма на C ^{2 n} . ^[19] Таким образом, элементы Sp ( p , q ) , рассматриваемые как линейные преобразования C ^{2 n} , сохраняют как эрмитову форму сигнатуры (2 p , 2 q ), так и невырожденную кососимметричную форму. Обе формы принимают чисто комплексные значения и из-за префактора j второй формы сохраняются отдельно. Это означает, что

${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\mathrm {U} (\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1})\cap \mathrm {Sp} (\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{2})}$

и это объясняет как название группы, так и обозначения.

O ^∗ (2 n ) = O ( n , H) - кватернионная ортогональная группа [ править ]

Нормальная форма для косоэрмитовой формы имеет вид

${\displaystyle \varphi (x,y)={\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},}$

где j - третий базисный кватернион в упорядоченном списке ( 1 , i , j , k ) . В этом случае Aut ( φ ) = O ^∗ (2 n ) может быть реализовано с использованием описанного выше комплексного матричного кодирования как подгруппа O (2 n , C ), которая сохраняет невырожденную комплексную косоэрмитову форму подпись ( n , n ) . ^[20] Из нормальной формы видно, что в кватернионной нотации

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{smallmatrix}\mathbf {j} &0&\cdots &0\\0&\mathbf {j} &\cdots &\vdots \\\vdots &&\ddots &&\\0&\cdots &0&\mathbf {j} \end{smallmatrix}}\right)\equiv \mathrm {j} _{n}}$

а из ( 6 ) следует, что

${\displaystyle -\Phi V^{*}\Phi =-V\Leftrightarrow V^{*}=\mathrm {j} _{n}V\mathrm {j} _{n}.}$

( 9 )

для V ∈ o (2 n ) . Теперь положите

${\displaystyle V=X+\mathbf {j} Y\leftrightarrow \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)}$

по рецепту ( 8 ). Тот же рецепт дает для Φ ,

${\displaystyle \Phi \leftrightarrow \left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\equiv J_{n}.}$

Теперь последнее условие в ( 9 ) в комплексных обозначениях имеет вид

${\displaystyle \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)^{*}=\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y.}$

Алгебра Ли становится

${\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(2n)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y\right\},}$

и группа дается

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )|\mathrm {j} _{n}^{-1}g^{*}\mathrm {j} _{n}g=I_{n}\}=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )|J_{n}^{-1}g^{*}J_{n}g=I_{2n}\}.}$

Группу SO ^∗ (2 n ) можно охарактеризовать как

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\{g\in \mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )|\theta ({\overline {g}})=g\},}$^[21]

где отображение θ : GL (2 n , C ) → GL (2 n , C ) определяется формулой g ↦ - J _{2 n} gJ _{2 n} . Кроме того, форму, определяющую группу, можно рассматривать как H- значную форму на C ^{2 n} . ^[22] Сделайте замены x → w ₁ + iw ₂ и y → z ₁ + iz ₂ в выражении для формы. потом

${\displaystyle \varphi (x,y)={\overline {w}}_{2}I_{n}z_{1}-{\overline {w}}_{1}I_{n}z_{2}+\mathbf {j} (w_{1}I_{n}z_{1}+w_{2}I_{n}z_{2})={\overline {\varphi _{1}(w,z)}}+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z).}$

Форма φ ₁ является эрмитовой (в то время как первая форма в левой части косоэрмитова) сигнатуры ( n , n ) . Сигнатура становится очевидной заменой базиса с ( e , f ) на (( e + i f ) / √ 2 , ( e - i f ) / √ 2 ), где e , f - первый и последний n базисных векторов. соответственно. Вторая форма, φ ₂симметрично положительно определено. Таким образом, благодаря множителю j , O ^∗ (2 n ) сохраняет оба по отдельности, и можно сделать вывод, что

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\cap \mathrm {U} (\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}),}$

и поясняется обозначение «O».

Классические группы над общими полями или алгебрами [ править ]

Классические группы, более широко рассматриваемые в алгебре, представляют особенно интересные матричные группы . Когда поле  коэффициентов F группы матриц представляет собой действительные или комплексные числа, эти группы являются просто классическими группами Ли. Когда основное поле является конечным полем , тогда классические группы являются группами лиева типа . Эти группы играют важную роль в классификации конечных простых групп . Кроме того, можно рассматривать классические группы над унитальной ассоциативной алгеброй  R над F ; где R  =  H(алгебра над вещественными числами) представляет собой важный случай. Для общности статья будет относиться к группам над R , где R может быть самим основным полем  F.

Рассматривая их абстрактную теорию групп, многие линейные группы имеют « особую » подгруппу, обычно состоящую из элементов определителя 1 над основным полем, и большинство из них имеют связанные « проективные » факторы, которые являются факторами по центру группы. . Для ортогональных групп в характеристике 2 "S" имеет другое значение.

Слово « общий » перед названием группы обычно означает, что группе разрешено умножать какую-либо форму на константу, а не оставлять ее фиксированной. Нижний индекс n обычно указывает размер модуля, на который действует группа; это векторное пространство , если R  =  F . Предостережение: это обозначение несколько противоречит n диаграмм Дынкина, то есть рангу.

Общие и специальные линейные группы [ править ]

Линейная группа GL _п ( R ) является группой всех R - линейных автоморфизмов R ^н . Существует подгруппа: специальная линейная группа SL _n ( R ) и их факторы: проективная общая линейная группа PGL _n ( R ) = GL _n ( R ) / Z (GL _n ( R )) и проективная специальная линейная группа PSL _n ( R ) = SL _n ( R ) / Z (SL _n (R )). Проективная специальная линейная группа PSL _n ( F ) над полем F проста при n  ≥ 2, за исключением двух случаев, когда n  = 2 и поле имеет порядок ^{[ требуется пояснение ]} 2 или 3.

Унитарные группы [ править ]

Унитарная группа U _п ( R ) представляет собой группа , сохраняя полуторалинейную форму на модуле. Существует подгруппа, специальная унитарная группа SU _n ( R ) и их факторы, проективная унитарная группа PU _n ( R ) = U _n ( R ) / Z (U _n ( R )) и проективная специальная унитарная группа PSU _n ( R ) = SU _n ( R ) / Z (SU _n ( R ))

Симплектические группы [ править ]

Симплектическая группа Sp _{2 п} ( R ) сохраняет перекос симметричной формы на модуле. У него есть фактор- проективная симплектическая группа PSp _{2 n} ( R ). Общая симплектическая группа GSp _{2 п} ( R ) состоит из автоморфизмов модуля умножения перекоса симметричной формы с помощью некоторого обратимого скаляра. Проективная симплектическая группа PSp _{2 n} ( F _q ) над конечным полем проста при n  ≥ 1, за исключением случаев PSp ₂ над полями из двух и трех элементов.

Ортогональные группы [ править ]

Ортогональная группа О _п ( R ) сохраняет невырожденную квадратичную форму на модуле. Существует подгруппа, специальная ортогональная группа SO _n ( R ) и факторы, проективная ортогональная группа PO _n ( R ) и проективная специальная ортогональная группа PSO _n ( R ). В характеристике 2 определитель всегда равен 1, поэтому специальную ортогональную группу часто определяют как подгруппу элементов инварианта Диксона 1.

Существует безымянная группа, часто обозначаемая Ω _n ( R ), состоящая из элементов ортогональной группы элементов спинорной нормы 1, с соответствующей подгруппой и факторгруппами SΩ _n ( R ), PΩ _n ( R ), PSΩ _n ( R ). (Для положительно определенных квадратичных форм над вещественными числами группа Ω совпадает с ортогональной группой, но в целом меньше.) Существует также двойное покрытие Ω _n ( R ), называемое группой контактов Pin _n ( R ), и в нем есть подгруппа, называемая спиновой группойВращайте _n ( R ). Вообще ортогональная группа GO _п ( R ) состоит из автоморфизмов модуля умножения квадратичной формы с помощью некоторого обратимого скаляра.

Условные обозначения [ править ]

Противопоставьте исключительным группам Ли [ править ]

В отличие от классических групп Ли, исключительные группы Ли G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ , E ₈ имеют общие абстрактные свойства, но не общие черты. ^[23] Они были открыты только около 1890 г. при классификации простых алгебр Ли над комплексными числами Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном .

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Э. Артин (1957) Геометрическая алгебра , Interscience
• Дьедонне, Жан (1955), La géométrie des groupes classiques , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (NF), Heft 5, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-05391-2, Руководство по ремонту  0072144
• Гудман, Роу; Уоллах, Нолан Р. (2009), Симметрия, представления и инварианты , Тексты для выпускников по математике, 255 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-79851-6
• Кнапп, AW (2002). Группы лжи за пределами введения . Успехи в математике. 120 (2-е изд.). Бостон · Базель · Берлин: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5.CS1 maint: ref=harv (link)
• В. Л. Попов (2001) [1994], «Классическая группа» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - Введение в линейные группы , Тексты для выпускников Оксфорда по математике, Oxford Science Publications, ISBN 0 19 859683 9