| Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
|---|
 |
В математике , то конформная группа пространства является группа преобразований из пространства на себя, сохраняющие углы. Более формально это группа преобразований, сохраняющих конформную геометрию пространства.
Особенно важны несколько конкретных конформных групп:
- Конформно ортогональная группа . Если V - векторное пространство с квадратичной формой Q , то конформная ортогональная группа CO ( V , Q ) - это группа линейных преобразований T группы V, для которой существует скаляр λ такой, что для всех x в V
- Для определенной квадратичной формы конформная ортогональная группа равна ортогональной группе, умноженной на группу растяжений .
- Конформная группа сферы порождается инверсиями в окружностях . Эта группа также известна как группа Мёбиуса .
- В евклидовом пространстве E n , n > 2 , конформная группа порождается инверсиями в гиперсферах .
- В псевдоевклидовом пространстве E p , q конформная группа - это Conf ( p , q ) ≃ O ( p + 1, q + 1) / Z 2 . [1]
Все конформные группы являются группами Ли .
Угловой анализ [ править ]
В евклидовой геометрии можно ожидать, что стандартный круговой угол будет характерным, но в псевдоевклидовом пространстве также существует гиперболический угол . При изучении специальной теории относительности различные системы отсчета для изменения скорости относительно системы покоя связаны быстротой , гиперболическим углом. Один из способов описания повышения Лоренца - это гиперболическое вращение, которое сохраняет дифференциальный угол между скоростями. Таким образом, они являются конформными преобразованиями относительно гиперболического угла.
Метод создания соответствующей конформной группы состоит в том, чтобы имитировать шаги группы Мёбиуса как конформной группы обычной комплексной плоскости . Псевдоевклидова геометрия поддерживается альтернативными комплексными плоскостями, где точки представляют собой разделенные комплексные числа или двойные числа . Подобно тому, как группе Мёбиуса требуется сфера Римана , компактное пространство , для полного описания, альтернативные комплексные плоскости требуют компактификации для полного описания конформного отображения. Тем не менее конформная группа в каждом случае задается дробно-линейными преобразованиями на соответствующей плоскости. [2]
Конформная группа пространства-времени [ править ]
В 1908 году Гарри Бейтман и Эбенезер Каннингем , два молодых исследователя из Ливерпульского университета , предложили идею конформной группы пространства-времени [3] [4] [5]. Они утверждали, что кинематические группы являются конформными, поскольку они сохраняют квадратичную форму. пространства-времени и сродни ортогональным преобразованиям , хотя и по отношению к изотропной квадратичной форме . Свобода электромагнитного поля не ограничивается кинематическими движениями, а скорее требуется, чтобы они были локально пропорциональныпреобразование, сохраняющее квадратичную форму. В статье Гарри Бейтмана 1910 года была изучена матрица Якоби преобразования, сохраняющего световой конус, и показано, что оно обладает конформным свойством (пропорциональным сохранению формы). [6] Бейтман и Каннингем показали, что эта конформная группа является «самой большой группой преобразований, оставляющих уравнения Максвелла структурно инвариантными». [7] Конформная группа пространства-времени была обозначена C (1,3) [8]
Исаак Яглом внес свой вклад в математику конформных преобразований пространства-времени в расщепленных комплексных и двойственных числах . [9] Поскольку расщепленные комплексные числа и двойственные числа образуют кольца , а не поля , дробно-линейные преобразования требуют, чтобы проективная прямая над кольцом была биективным отображением.
Со времен работы Людвика Зильберштейна в 1914 году было принято использовать кольцо бикватернионов для представления группы Лоренца. Для конформной группы пространства-времени достаточно рассмотреть дробно-линейные преобразования на проективной прямой над этим кольцом. Элементы конформной группы пространства-времени были названы Бейтманом преобразованиями сферических волн . Детали изучения квадратичной формы пространства-времени были поглощены геометрией сферы Ли .
Комментируя непрекращающийся интерес к физической науке, А.О. Барут писал в 1985 году: «Одна из основных причин интереса к конформной группе состоит в том, что это, возможно, самая важная из более крупных групп, содержащих группу Пуанкаре» . [10]
См. Также [ править ]
- Конформная карта
- Конформная симметрия
Ссылки [ править ]
- ^ Jayme Vaz, младший; Рольдао да Роша младший (2016). Введение в алгебры Клиффорда и спиноры . Издательство Оксфордского университета. п. 140. ISBN 9780191085789.
- ^ Цурусабуро Такасу (1941) "Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie", 2 , Proceedings of the Imperial Academy 17 (8): 330–8, ссылка из Project Euclid , MR 14282
- ^ Бейтман, Гарри (1908). . Труды Лондонского математического общества . 7 : 70–89. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-7.1.70 .
- ^ Бейтман, Гарри (1910). . Труды Лондонского математического общества . 8 : 223–264. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-8.1.223 .
- ^ Каннингем, Эбенезер (1910). . Труды Лондонского математического общества . 8 : 77–98. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-8.1.77 .
- ^ Уорик, Эндрю (2003). Магистр теории: Кембридж и подъем математической физики . Чикаго: Издательство Чикагского университета . С. 416–24 . ISBN 0-226-87375-7.
- ^ Роберт Гилмор (1994) [1974] Группы Ли, алгебры Ли и некоторые из их приложений , стр. 349, ISBN Роберта Э. Кригера, издавшего 0-89464-759-8 MR 1275599
- ^ Борис Косяков (2007) Введение в классическую теорию частиц и полей , стр. 216, книги Springer через Google Книги
- ^ Исаак Яглом (1979) Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа , Springer, ISBN 0387-90332-1 , MR 520230
- ↑ AO Barut & H.-D. Doebner (1985) Конформные группы и родственные симметрии: физические результаты и математические основы , Lecture Notes in Physics # 261 Springer books , см. Предисловие для цитаты
Дальнейшее чтение [ править ]
 | В Викиучебнике по ассоциативной алгебре композиции есть страница по теме: Конформные преобразования пространства-времени |
- Кобаяши, С. (1972). Группы преобразований в дифференциальной геометрии . Классика по математике. Springer. ISBN 3-540-58659-8. OCLC 31374337 .
- Шарп, Р.В. (1997), Дифференциальная геометрия: Обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN 0-387-94732-9.
- Питер Шерк (1960) «Некоторые концепции конформной геометрии», American Mathematical Monthly 67 (1): 1-30 doi : 10.2307 / 2308920
