Комплексификация (группа Ли)

Группы Ли
Классические группы Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n )
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Точечная симметрия Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физике Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В математике , то усложнение или универсальная комплексификация из реальной группы Ли задаются непрерывным гомоморфизмом группы в комплексные группы Ли с универсальным свойством , что каждый непрерывный гомоморфизм исходной группы в другую комплексную группу Ли проходит согласованно с комплексным аналитическим гомоморфизм между комплексными группами Ли. Комплексификация, которая существует всегда, единственна с точностью до единственного изоморфизма . Его алгебра Ли является фактором комплексификацииалгебры Ли исходной группы. Они изоморфны, если исходная группа имеет фактор по дискретной нормальной подгруппе, которая является линейной.

Для компактных групп Ли , комплексификация, иногда называют Шевалье комплексификацией после Шевалла , может быть определена как группа комплексных характеров алгебры Хопфа из представительских функций , т.е. матрицы коэффициентов конечномерных представлений группы. В любом конечномерном точном унитарном представлении компактной группы оно может быть реализовано конкретно как замкнутая подгруппа комплексной полной линейной группы . Он состоит из операторов с полярным разложением g = u • exp iX , гдеu - унитарный оператор в компактной группе, а X - кососопряженный оператор в ее алгебре Ли. В этом случае комплексификация является комплексной алгебраической группой, а ее алгебра Ли является комплексификацией алгебры Ли компактной группы Ли.

Универсальная комплексификация [ править ]

Определение [ править ]

Если G группа Ли, универсальная комплексификация задается комплексной группой Ли G _C и непрерывным гомоморфизмом φ : G → G _C с универсальным свойством, что если f : G → H - произвольный непрерывный гомоморфизм в комплексный гомоморфизм Ли группы H , то существует единственный комплексный аналитический гомоморфизм F : G _C → H такой, что f = F ∘ φ .

Универсальные комплексификации всегда существуют и уникальны с точностью до единственного комплексного аналитического изоморфизма (сохраняющего включение исходной группы).

Существование [ править ]

Если G связана с алгеброй Ли , то ее универсальная накрывающая группа G односвязна. Пусть G _C односвязная комплексная группа Ли с Ли алгебра 𝖌 ⊗ C . Пусть Φ : G → G _C - естественный гомоморфизм, а π : G → G - естественное накрывающее отображение. Тогда для гомоморфизма f : G → H существует единственный комплексно-аналитический гомоморфизм E : G _C → Hтакое, что f ∘ π = E ∘ Φ . Пусть K - пересечение ядер гомоморфизмов E при изменении f по всем возможностям. Тогда K - замкнутая нормальная комплексная подгруппа Ли группы G _C, а фактор-группа - универсальная комплексификация. В частности , если G односвязен, его универсальная комплексификация только G _C . ^[1]

Для несвязных групп Ли G с компонентом единицы G ^o и группой компонент Γ = G / G ^o расширение

${\ Displaystyle \ {1 \} \ rightarrow G ^ {o} \ rightarrow G \ rightarrow \ Gamma \ rightarrow \ {1 \}}$

вызывает расширение

${\ displaystyle \ {1 \} \ rightarrow (G ^ {o}) _ {\ mathbf {C}} \ rightarrow G _ {\ mathbf {C}} \ rightarrow \ Gamma \ rightarrow \ {1 \}}$

и комплексная группа Ли G _C является комплексификацией G . ^[2]

Уникальность [ править ]

Универсальное свойство означает, что универсальная комплексификация единственна с точностью до комплексного аналитического изоморфизма.

Приемлемость [ править ]

Если исходная группа линейна, то также и универсальная комплексификация, и гомоморфизм между ними является включением. ^[3] Онищик & Винберг (1994) приведен пример связной группы Ли , для которых гомоморфизм не инъективны даже на уровне алгебры Ли: они принимают продукт T с помощью универсальной накрывающей группы из SL (2, R ) и факторизация по дискретной циклической подгруппе, порожденной иррациональным вращением в первом множителе и образующей центра во втором.

Комплексификация Шевалле [ править ]

Алгебра Хопфа матричных коэффициентов [ править ]

Если G является компактной группой Ли, * -алгебра матричных коэффициентов конечномерных унитарных представлений является равномерно плотной * -подалгеброй C ( G ) , * -алгебра комплекснозначных непрерывных функций на G . Это, естественно, алгебра Хопфа с коумножением, заданным формулой

${\displaystyle \displaystyle {\Delta f(g,h)=f(gh).}}$

Характеры А являются * -гомоморфизмы А в С . Они могут быть идентифицированы с точкой оценок F ↦ е ( г ) для г в G и коумножение позволяет структура группы на G должна быть восстановлена. Гомоморфизмы A в C также образуют группу. Это комплексная группа Ли и может быть идентифицирован с комплексификацией G _C из G . * -Алгебра порождается матричными коэффициентами любого точного представления сг изG . Отсюда следуетчто σ определяет точное комплексное аналитическое представление G _C . ^[4]

Теория инвариантов [ править ]

Оригинальный подход Шевалле (1946) к комплексификации компактной группы Ли может быть кратко изложен на языке классической теории инвариантов , описанной Вейлем (1946) . Пусть G - замкнутая подгруппа унитарной группы U ( V ), где V - конечномерное комплексное пространство скалярного произведения. Его алгебра Ли состоит из всех кососопряженных операторов X таких, что exp tX лежит в G для всех вещественных t . Положим W = V ⊕ C с тривиальным действиемG на втором слагаемом. Группа G действует на W ^{⊗ N} , с элементом U , действующейкачестве ¯u ^{⊗ N} . Коммутант (или централизатор алгебра) обозначается через A _N = End _G W ^{⊗ N} . Оно генерируется как * -алгебра по ее унитарным операторам и его Коммутант является * -алгебройпорожденными операторами U ^{⊗ N} . Комплексификация G _C группы G состоит из всех операторов g в GL ( V ) таких, чтог ^{⊗ N} коммутирует с A _N и г действует тривиально на второе слагаемое в C . По определению это замкнутая подгруппа в GL ( V ) . Определяющие соотношения (как коммутант) показывают, что G - алгебраическая подгруппа. Ее пересечение с U ( V ) совпадает с G , так как априори большая компактная группадля которой неприводимые представления остаться неприводимы и неэквивалентны при ограничении на G . Поскольку A _N порождается унитарами, обратимый оператор gлежит в G _C , если унитарный оператор U и положительный оператор р в полярном разложении г = U ⋅ р и лежат в G _C . Таким образом, u лежит в G, и оператор p однозначно записывается как p = exp T, где T - самосопряженный оператор. Из функционального исчисления для полиномиальных функций следует, что h ^{⊗ N} лежит в коммутанте A _N, если h= Ехр г Т с г в С . В частности , с г чисто мнимого, T должна иметь вид Ix с X в алгебре Ли группы G . Так как каждое конечномерное представление G возникает как прямое слагаемое W ^{⊗ N} , то левый инвариантом G _C и , таким образом , каждое конечно-мерное представление G однозначно продолжается до G _C . Расширение совместимо с полярным разложением. Наконец, из полярного разложения следует, что Gявляется максимальной компактной подгруппой в G _C , так как строго большая компактная подгруппа содержала бы все целые степени положительного оператора p , замкнутой бесконечной дискретной подгруппы. ^[5]

Разложения в комплексификации Шевалле [ править ]

Разложение Картана [ править ]

Разложение, полученное из полярного разложения

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot P=G\cdot \exp i{\mathfrak {g}},}}$

где 𝖌 алгебра Ли G , называется разложением Картана из G _C . Экспоненциальный множитель P инвариантен относительно сопряжения G, но не является подгруппой. Комплексификация инвариантна относительно присоединения, так как G состоит из унитарных операторов, а P - из положительных операторов.

Разложение Гаусса [ править ]

Разложение Гаусса является обобщением разложения LU для общей линейной группы и специализации разложения Брюо . Для GL ( V ) он утверждает, что относительно данного ортонормированного базиса e ₁ , ..., e _n элемент g из GL ( V ) может быть факторизован в виде

${\displaystyle \displaystyle {g=XDY}}$

с X понизить унитреугольный , Y верхнего унитреугольный и D диагонального , если и только если все главные миноры из г отлично от нуля. В этом случае X , Y и D определяются однозначно.

Фактически метод исключения Гаусса показывает, что существует единственный X такой, что X ⁻¹ g является верхнетреугольным. ^[6]

Верхняя и нижняя унитреугольные матрицы N ₊ и N _- являются замкнутыми унипотентными подгруппами в GL ( V ). Их алгебры Ли состоят из строго треугольных верхних и нижних матриц. Экспоненциальное отображение - это полиномиальное отображение алгебры Ли в соответствующую подгруппу по нильпотентности. Обратное дается логарифмическим отображением, которое по унипотентности также является полиномиальным отображением. В частности, существует соответствие между замкнутыми связными подгруппами в N _± и подалгебрами их алгебр Ли. Экспоненциальное отображение включено в каждом случае, поскольку полиномиальная функция log ( e ^A e ^B )лежит в данной подалгебре Ли, если A и B лежат и достаточно малы. ^[7]

Разложение Гаусса может быть расширено до комплексификации других замкнутых связных подгрупп G группы U ( V ) с помощью корневого разложения для записи комплексифицированной алгебры Ли в виде ^[8]

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }={\mathfrak {n}}_{-}\oplus {\mathfrak {t}}_{\mathbf {C} }\oplus {\mathfrak {n}}_{+},}}$

где 𝖙 алгебра Ли максимального тора T из G и 𝖓 & _plusmn ; являются прямой суммой соответствующих положительных и отрицательных корней пространства. В разложении весового пространства V как собственных подпространств T , 𝖙 действует по диагонали, 𝖓 ₊ действует как понижающие операторы, а 𝖓 _- как повышающие операторы. 𝖓 _± - нильпотентные алгебры Ли, действующие как нильпотентные операторы; они сопряженные друг друг на V . В частности , Т действует путем конъюгации 𝖓 ₊ , так что 𝖙_C ⊕ 𝖓 ₊ является полупрямым произведением нильпотентной алгебры Ли на абелеву алгебру Ли.

По теореме Энгеля , если 𝖆 ⊕ 𝖓 является полупрямым произведением, с 𝖆 абелевой и 𝖓 нильпогентных, действующий на конечномерном векторном пространстве W с операторами в 𝖆 диагонализируемы и операторов в 𝖓 нильпогентных, существует вектор W , который является собственным вектором для 𝖆 и уничтожается 𝖓 . На самом деле это достаточно , чтобы показать , есть вектор аннулируется 𝖓 , который следует индукция по тусклому 𝖓 , так как производная алгебре 𝖓 « аннулирует ненулевое подпространство векторов , на которых 𝖓 / 𝖓» и𝖆 действовать с теми же гипотезами.

Применяя этот аргумент несколько раз , чтобы 𝖙 _C ⊕ 𝖓 ₊ показывает , что существует ортонормированный базис е ₁ , ..., е _п из V , состоящий из собственных векторов 𝖙 _C с 𝖓 ₊ действуя в качестве верхних треугольных матриц с нулями на диагонали.

Если N _± и T _C - комплексные группы Ли, соответствующие 𝖓 ₊ и 𝖙 _C , то разложение Гаусса утверждает, что подмножество

${\displaystyle \displaystyle {N_{-}T_{\mathbf {C} }N_{+}}}$

является прямым произведением и состоит из элементов в G _C, для которых главные миноры не равны нулю. Он открытый и плотный. Более того, если T обозначает максимальный тор в U ( V ) ,

${\displaystyle \displaystyle {N_{\pm }=\mathbf {N} _{\pm }\cap G_{\mathbf {C} },\,\,\,T_{\mathbf {C} }=\mathbf {T} _{\mathbf {C} }\cap G_{\mathbf {C} }.}}$

Эти результаты являются непосредственным следствием соответствующих результатов для GL ( V ) . ^[9]

Разложение Брюа [ править ]

Если W = N _G ( Т ) / Т обозначает группу Вейля из Т и В обозначает борелевскую подгруппу T _C N ₊ , разложение Гаусса также является следствием более точного разложения Брюа

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=\bigcup _{\sigma \in W}B\sigma B,}}$

разлагая G _C в несвязное объединение двойных смежных классов из B . Комплексная размерность двойного смежного класса BσB определяется длиной сг как элемент W . Размерность максимизируется в элементе Кокстера и дает уникальный открытый плотный двойной смежный класс. Ее обратные конъюгаты Б в борелевской подгруппу нижних треугольных матриц в G _C . ^[10]

Разложение Брюа легко доказывается для SL ( n , C ) . ^[11] Пусть B - подгруппа Бореля верхнетреугольных матриц, а T _C - подгруппа диагональных матриц. Итак, N ( T _C ) / T _C = S _n . Для g в SL ( n , C ) возьмем b в B так, чтобы bgмаксимизирует количество нулей в начале строк. Поскольку одна строка может быть добавлена ​​к другой, каждая строка имеет разное количество нулей. Умножение на матрицу ш в N ( Т _С ) , то отсюда следует , что ГОВБ лежит в B . Для единственности, если w ₁ b w ₂ = b ₀ , то элементы w ₁ w ₂ исчезают ниже диагонали. Таким образом, продукт лежит в T _C , что доказывает его уникальность.

Шевалье (1955) показал , что экспрессия элемента г в виде г = Ь ₁ σb ₂ становится уникальной , если б ₁ ограничен лежит в верхней унитреугольной подгруппе Н _сг = N ₊ ∩ сг N _- сг ^-1 . На самом деле, если M _σ = N ₊ ∩ σ N ₊ σ ⁻¹ , это следует из тождества

${\displaystyle \displaystyle {N_{+}=N_{\sigma }\cdot M_{\sigma }.}}$

Группа N ₊ имеет естественную фильтрацию нормальными подгруппами N ₊ ( k ) с нулями в первых k - 1 супердиагоналях, а последующие факторы абелевы. Определяя N _σ ( k ) и M _σ ( k ) как пересечения с N ₊ ( k ) , убывающей индукцией по k следует, что N ₊ ( k ) = N _σ ( k ) ⋅ M_σ ( k ). Действительно, N _σ ( k ) N ₊ ( k + 1)и M _σ ( k ) N ₊ ( k + 1)задаются в N ₊ ( k )обращением в нуль дополнительных элементов( i , j )на k- м супердиагонали в зависимости от того,сохраняетлиσпорядок i < j или нет. ^[12]

Разложение Брюа для других классических простых групп может быть выведено из приведенного выше разложения, используя тот факт, что они являются подгруппами с неподвижной точкой складывающихся автоморфизмов SL ( n , C ) . ^[13] Для Sp ( п , С ) , пусть J будет п × п матрица с 1 «S на антидиагонали и 0 » ы в другом месте и множество

${\displaystyle \displaystyle {A={\begin{pmatrix}0&J\\-J&0\end{pmatrix}}.}}$

Тогда Sp ( n , C ) - подгруппа неподвижных точек инволюции θ ( g ) = A ( g ^t ) ⁻¹ A ⁻¹ группы SL (2 n , C ) . Он оставляет инвариантными подгруппы N _± , T _C и B. Если базисные элементы пронумерованы n , n −1, ..., 1, −1, ..., - n , то группа Вейля группы Sp ( n , C ) состоит из σтакое, что σ ( j ) = - j , то есть коммутирующий с θ . Аналоги B , T _C и N _± определяются пересечением с Sp ( n , C ) , т.е. как неподвижные точки θ . Из единственности разложения g = nσb = θ ( n ) θ ( σ ) θ ( b ) следует разложение Брюа для Sp ( n , C ).

Тот же аргумент работает для SO ( n , C ) . Он может быть реализован в виде фиксированных точек ф ( г ) = В ( г ^т ) ^-1 B ^-1 в SL ( п , С ) , где В = J .

Разложение Ивасавы [ править ]

Разложение Ивасавов

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot A\cdot N}}$

дает разложение для G _C , для которого, в отличие от разложения Картана, является фактором прямой ⋅ Н является замкнутой подгруппой, но оно больше не инвариантна относительно сопряжения G . Это полупрямое произведение из нильпотентной подгруппы N на абелевой подгруппе A .

Для U ( V ) и его комплексификации GL ( V ) это разложение может быть получено как переформулировка процесса ортонормировки Грама – Шмидта . ^[14]

Фактически, пусть e ₁ , ..., e _n - ортонормированный базис в V, а g - элемент в GL ( V ) . Применяя процесс Грама – Шмидта к ge ₁ , ..., ge _n , существует единственный ортонормированный базис f ₁ , ..., f _n и положительные константы a _i такие, что

${\displaystyle \displaystyle {f_{i}=a_{i}ge_{i}+\sum _{j<i}n_{ji}ge_{j}.}}$

Если k - унитарное преобразование ( e _i ) в ( f _i ) , то g ⁻¹ k лежит в подгруппе AN , где A - подгруппа положительных диагональных матриц относительно ( e _i ), а N - подгруппа верхних унитреугольных матриц . ^[15]

Используя обозначения для разложения Гаусса, подгруппы в разложении Ивасавы для G _C определяются формулой ^[16]

${\displaystyle \displaystyle {A=\exp i{\mathfrak {t}}=\mathbf {A} \cap G_{\mathbf {C} },\,\,\,N=\exp {\mathfrak {n}}_{+}=\mathbf {N} \cap G_{\mathbf {C} }.}}$

Поскольку разложение является прямым для GL ( V ) , достаточно проверить, что G _C = GAN . Из свойств разложения Ивасавы для GL ( V ) отображение G × A × N является диффеоморфизмом на свой образ в G _C , который является замкнутым. С другой стороны, размер изображения такой же, как размер G _C , поэтому оно также является открытым. Итак, G _C = GAN, потому что G _C подключен. ^[17]

Желобенко (1973) дает метод явного вычисления элементов разложения. ^[18] Для g в G _C положим h = g * g . Это положительный самосопряженный оператор, поэтому его главные миноры не обращаются в нуль. Следовательно, с помощью разложения Гаусса его можно однозначно записать в виде h = XDY с X в N _- , D в T _C и Y в N ₊ . Поскольку h самосопряженный, единственность вынуждает Y= Х * . Так как это также положительно D должна лежать в А и имеет вид D = ехр его в течение некоторого уникального Т в 𝖙 . Пусть а = ехр Это / 2 будет своим уникальным квадратным корнем А . Положим n = Y и k = g n ⁻¹ a ⁻¹ . Тогда k унитарен, так же как и в G , и g = kan .

Сложные конструкции на однородных пространствах [ править ]

Разложение Ивасавы может быть использовано для описания сложных структур на G - орбита с в комплексном проективном пространстве из самых высоких весовых векторов конечномерных неприводимых представлений о G . В частности, отождествление между G / T и G _C / B может быть использовано для формулировки теоремы Бореля – Вейля . Он утверждает, что каждое неприводимое представление группы G может быть получено голоморфной индукцией по характеру группы T или, что то же самое, реализуется в пространствеучастки из более голоморфного линейного расслоения на G / T .

Замкнутые связные подгруппы группы G, содержащие T , описываются теорией Бореля – де Зибенталя . Они в точности центраторы торов S ⊆ T . Так как каждый тор генерируется топологически одним элементом х , они такие же , как центраторов С _G ( X ) элементов Х в 𝖙 . По результату Хопфа C _G ( x ) всегда связан: действительно, любой элемент y находится вместе с Sсодержится в некотором максимальном торе, обязательно содержащемся в C _G ( x ) .

Учитывая неприводимое конечномерное представление V _λ со старшим весом вектора V веса Х , стабилизатор C V в G является замкнутой подгруппой Н . Так как V является собственным вектором Т , Н содержит Т . Комплексификация G _С также действует на V и стабилизатор представляет собой замкнутый комплексную подгруппу Р , содержащей T _C . Поскольку v аннулируется каждым повышающим оператором, соответствующим положительному корню α, Р содержит борелевскую подгруппу B . Вектор v также является вектором старшего веса для копии sl _2, соответствующей α , поэтому он аннулируется понижающим оператором, порождающим 𝖌 _{- α,} если ( λ , α ) = 0 . Алгебра Ли р из Р есть прямая сумма 𝖙 _C и корень пространства векторов уничтожения V , так что

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {p}}={\mathfrak {b}}\oplus \bigoplus _{(\alpha ,\lambda )=0}{\mathfrak {g}}_{-\alpha }.}}$

Алгебра Ли H = P ∩ G задается формулой p ∩ 𝖌 . По разложению Ивасавы G _C = GAN . Поскольку AN фиксирует C v , G -орбита v в комплексном проективном пространстве V _λ совпадает с орбитой G _C и

${\displaystyle \displaystyle {G/H=G_{\mathbf {C} }/P.}}$

Особенно

${\displaystyle \displaystyle {G/T=G_{\mathbf {C} }/B.}}$

Используя отождествление алгебры Ли T с двойственной ей, H равен централизатору λ в G и, следовательно, связен. Группа P также связна. На самом деле пространство G / H односвязно, так как она может быть записана как частное от (компактной) универсальной накрывающей группы компактной полупростой группы G / Z связной подгруппы, где Z является центром G . ^[19] Если P ^o является тождественным компонентом P , G _C /P имеет G _C / P ^o как накрывающее пространство, так что P = P ^o . Однородное пространство G _C / P имеет сложную структуру, поскольку P - комплексная подгруппа. Орбита в комплексном проективном пространстве замкнута в топологии Зарисского по теореме Чоу , как и гладкое проективное многообразие. Теорема Бореля – Вейля и ее обобщения обсуждаются в этом контексте у Серра (1954) , Helgason (1994) , Duistermaat & Kolk (2000) и Sepanski (2007) .

Параболическая подгруппа P также может быть записана как объединение двойных смежных классов группы B

${\displaystyle \displaystyle {P=\bigcup _{\sigma \in W_{\lambda }}B\sigma B,}}$

где W _λ является стабилизатором Х в группе Вейля W . Он порождается отражениями, соответствующими простым корням, ортогональным λ . ^[20]

Некомпактные реальные формы [ править ]

Существуют и другие замкнутые подгруппы комплексификации компактной связной группы Ли G, которые имеют ту же комплексифицированную алгебру Ли. Это другие реальные формы из G _C . ^[21]

Инволюции односвязных компактных групп Ли [ править ]

Если G -односвязная компактная группа Ли , а σ является автоморфизмом периода 2, то фиксированная точка подгруппа K = G ^σ является автоматически подключается . (Фактически это верно для любого автоморфизма группы G , как показано для внутренних автоморфизмов Стейнбергом и в целом Борелем .) ^[22]

Наиболее прямо это видно, когда инволюция σ соответствует эрмитову симметрическому пространству . В этом случае σ является внутренним и реализуется элементом однопараметрической подгруппы exp tT, содержащимся в центре G ^σ . Из внутренности σ следует, что K содержит максимальный тор группы G , поэтому имеет максимальный ранг. С другой стороны, централизатор подгруппы, порожденной тором S элементов exp tT , связен, так как если x - любой элемент из K, то существует максимальный тор, содержащий x и S, который лежит в централизаторе. С другой стороны, она содержит K , так как S занимает центральное место в K и содержится в K , поскольку г лежит в S . Итак, K является централизатором S и, следовательно, связным. В частности , K содержит центр G . ^[23]

Для общей инволюции σ связность G ^σ видна следующим образом. ^[24]

Отправной точкой является абелева версия результата: если T - максимальный тор односвязной группы G и σ - инволюция, оставляющая инвариант T и выбор положительных корней (или, что эквивалентно, камера Вейля ), то подгруппа неподвижных точек T ^σ связно. Фактически ядро ​​экспоненциального отображения из на T является решеткой Λ с Z -базисом, индексированным простыми корнями, которые σ переставляет. Разбиваясь по орбитам, T можно записать как произведение термов T, на которых σ действует тривиально, или термов T ²${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$где σ меняет местами множители. Подгруппа с неподвижной точкой просто соответствует взятию диагональных подгрупп во втором случае, поэтому она связана.

Пусть теперь x - любой элемент, фиксированный σ, пусть S - максимальный тор в C _G ( x ) ^σ, и пусть T - единица компонента C _G ( x , S ). Тогда Т является максимальным тором в G , содержащей х и S . Она инвариантна относительно а и компонента идентичности T ^σ является S . Фактически, поскольку x и S коммутируют, они содержатся в максимальном торе, который в силу своей связности должен лежать в T. По построению T инвариантно относительно σ. Компонента единицы Т ^сг содержит S , лежит в C _G ( х ) ^σ и централизует S , поэтому она равна S . Но S центральна в T , поэтому T должен быть абелевым и, следовательно, максимальным тором. Ведь σ действует как умножение на −1 на алгебре Ли , поэтому она и, следовательно, также абелева.${\displaystyle {\mathfrak {t}}\ominus {\mathfrak {s}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Доказательство завершается, показывая , что а сохраняет камеру Вейль , связанную с Т . Ибо тогда Т ^σ связано с тем должна быть равна S . Следовательно , х лежит в S . Так как x было произвольным, G ^σ должен быть связным.

Для изготовления камеры Вейля инвариант относительно а, заметим , что не существует корневое пространство , на котором , как х и S действовали тривиально, ибо это противоречит тому , что С _С ( х , S ) имеет ту же алгебру Ли, Т . Следовательно, в S должен быть элемент s такой, что t = xs действует нетривиально на каждом корневом пространстве. В этом случае т является регулярным элементом из T -The компонента единицы ее централизатором в G равен T . Уникальный альков Вейля.${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ В таким образом, что т лежит в ехр А и 0 лежит в замыкании А . Поскольку t фиксируется с помощью σ, альков остается инвариантным по σ, а значит, и камера Вейля C, содержащая его.${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Спряжение на комплексификации [ править ]

Пусть G односвязная компактная группа Ли с комплексификацией G _C . Отображение c ( g ) = ( g *) ⁻¹ определяет автоморфизм G _C как вещественной группы Ли с G как подгруппу неподвижных точек. Он сопряженно-линейен на и удовлетворяет c ² = id. Такие автоморфизмы либо G _C, либо называются сопряжениями . Поскольку группа G _C также односвязна, любое сопряжение c ₁ на соответствует единственному автоморфизму${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$с ₁ по G _C .

Классификация сопряжений c ₀ сводится к классификации инволюций σ группы G, поскольку для данного c ₁ существует автоморфизм φ комплексной группы G _C такой, что

${\displaystyle \displaystyle {c_{0}=\varphi \circ c_{1}\circ \varphi ^{-1}}}$

ездит с с . Тогда сопряжение c ₀ оставляет G инвариантным и ограничивается инволютивным автоморфизмом σ. В силу простой связности то же самое верно и на уровне алгебр Ли. На уровне алгебры Ли c ₀ восстанавливается по σ по формуле

${\displaystyle \displaystyle {c_{0}(X+iY)=\sigma (X)-i\sigma (Y)}}$

для X , Y в .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Для того, чтобы доказать существование φ пусть ψ = C ₁ гр автоморфизм комплексной группы G _C . На уровне алгебры Ли он определяет самосопряженный оператор для комплексного скалярного произведения

${\displaystyle \displaystyle {(X,Y)=-B(X,c(Y)),}}$

где B является формой Киллинга на . Таким образом, ψ ² - положительный оператор и автоморфизм со всеми его действительными степенями. В частности, возьмите${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$

${\displaystyle \displaystyle {\varphi =(\psi ^{2})^{1/4}}}$

Это удовлетворяет

${\displaystyle \displaystyle {c_{0}c=\varphi c_{1}\varphi ^{-1}c=\varphi cc_{1}\varphi =(\psi ^{2})^{1/2}\psi ^{-1}=\varphi ^{-1}cc_{1}\varphi ^{-1}=c\varphi c_{1}\varphi ^{-1}=cc_{0}.}}$

Разложение Картана в реальной форме [ править ]

Для комплексификацией G _C , то разложение Картана описано выше. Полученный из полярного разложения в комплексной полной линейной группе , он дает диффеоморфизм

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot \exp i{\mathfrak {g}}=G\cdot P=P\cdot G.}}$

На G _C есть оператор сопряжения c, соответствующий G, а также инволюция σ, коммутирующая с c . Пусть c ₀ = c σ и G ₀ - подгруппа неподвижных точек группы c . Она замкнута в группе матриц G _C и, следовательно, является группой Ли. Инволюция σ действует как на G, так и на G ₀ . Для алгебры Ли группы G существует разложение

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}}$

в собственные подпространства +1 и -1 матрицы σ. Подгруппа неподвижных точек K группы σ в G связна, поскольку G односвязна. Его алгебра Ли - это собственное подпространство +1 . Алгебра Ли группы G ₀ задается формулой${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}}$

и фиксированной точкой подгруппа сг снова К , так что G ∩ G ₀ = К . В G ₀ существует разложение Картана

${\displaystyle \displaystyle {G_{0}=K\cdot \exp i{\mathfrak {p}}=K\cdot P_{0}=P_{0}\cdot K}}$

что снова является диффеоморфизмом на прямое и соответствует полярному разложению матриц. Это ограничение разложения на G _C . Произведение дает диффеоморфизм на замкнутое подмножество G ₀ . Для того, чтобы проверить , что это сюръективна, для г в G ₀ записи г = U ⋅ р с U в G и р в Р . Поскольку c ₀ g = g , из единственности следует, что σ u = u и σ p =p ⁻¹ . Следовательно, u лежит в K, а p - в P ₀ .

Разложение Картана в G ₀ показывает, что G ₀ связен, односвязен и некомпактен из-за прямого множителя P ₀ . Таким образом, G ₀ - некомпактная вещественная полупростая группа Ли. ^[25]

Кроме того, учитывая максимальная абелева подалгебра в , = ехр является торическим подгруппа такая , что σ ( ) = ^-1 на А ; и любые два таких «ы сопряжены с помощью элемента из K . Свойства A можно показать напрямую. A замкнута, потому что замыкание A является торической подгруппой, для которой σ ( a ) = a ⁻¹ , поэтому ее алгебра Ли лежит в и, следовательно, равна по максимальности. A может быть сгенерировано топологически одним элементом exp X , поэтому ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$является централизатором X в . На K -орбите любого элемента из существует элемент Y такой, что (X, Ad k Y) минимизируется при k = 1. Положив k = exp tT с T in , следует, что ( X , [ T , Y ] ) = 0 и, следовательно, [ X , Y ] = 0, так что Y должен лежать в . Таким образом происходит объединение конъюгатов . В частности, некоторая сопряженная с X содержится в любом другом выборе${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, который централизует это сопряжение; так что по максимальности единственные возможности являются конъюгатами . ^[26]${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

Аналогичные утверждения справедливы и для действия K на in . Моревоэр, из разложения Картана для G ₀ , если A ₀ = exp , то${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=i{\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$

${\displaystyle \displaystyle {G_{0}=KA_{0}K.}}$

Разложение Ивасавы в реальной форме [ править ]

См. Также [ править ]

• Реальная форма (теория Ли)

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]