В этой статье приводится таблица некоторых общих групп Ли и связанных с ними алгебр Ли .
Отмечаются следующие: топологические свойства группы ( размерность ; связность ; компактность ; природа фундаментальной группы ; односвязны они или нет ), а также их алгебраические свойства ( абелева ; простая ; полупростая ).
Дополнительные примеры групп Ли и другие связанные темы см. В списке простых групп Ли ; Bianchi классификация групп до трех размеров; см. классификацию низкоразмерных вещественных алгебр Ли до четырех измерений; и список тем группы Ли .
Действительные группы Ли и их алгебры
Легенда столбца
- Компт : Эта группа G компактна ? (Да или нет)
- : Дает группу компонентов из G . Порядок группы компонентов указывает количество связанных компонентов . Группа связна тогда и только тогда, когда составляющая группа тривиальна (обозначается 0).
- : Дает фундаментальную группу группы G всякий раз, когда группа G связна. Группа односвязна тогда и только тогда, когда фундаментальная группа тривиальна (обозначается 0).
- UC : Если G не является односвязной, дает универсальное покрытие из G .
Группа Ли | Описание | Cpt | UC | Замечания | Алгебра Ли | тусклый / R | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
R n | Евклидово пространство с добавлением | N | 0 | 0 | абелевский | R n | п | |
R × | ненулевые действительные числа с умножением | N | Z 2 | - | абелевский | р | 1 | |
R + | положительные действительные числа с умножением | N | 0 | 0 | абелевский | р | 1 | |
S 1 = U (1) | круг группа : комплексные числа по абсолютной величине 1 с умножением; | Y | 0 | Z | р | абелева, изоморфна SO (2), Spin (2) и R / Z | р | 1 |
Афф (1) | обратимые аффинные преобразования из R в R . | N | Z 2 | 0 | разрешимы , полупрямое произведение из R + и R × | 2 | ||
H × | ненулевые кватернионы с умножением | N | 0 | 0 | ЧАС | 4 | ||
S 3 = Sp (1) | кватернионы по абсолютной величине 1 с умножением; топологически 3-сфера | Y | 0 | 0 | изоморфен SU (2) и Spin (3) ; двойная крышка из SO (3) | Im ( H ) | 3 | |
GL ( n , R ) | общая линейная группа : обратимые вещественные матрицы n × n | N | Z 2 | - | М ( п , р ) | п 2 | ||
GL + ( n , R ) | n × n вещественных матриц с положительным определителем | N | 0 | Z n = 2 Z 2 n > 2 | GL + (1, R ) изоморфен R + и односвязен | М ( п , р ) | п 2 | |
SL ( n , R ) | специальная линейная группа : вещественные матрицы с определителем 1 | N | 0 | Z n = 2 Z 2 n > 2 | SL (1, R ) - единственная точка, поэтому компактный и односвязный | sl ( n , R ) | п 2 -1 | |
SL (2, R ) | Сохраняющие ориентацию изометрии полуплоскости Пуанкаре , изоморфные SU (1,1), изоморфные Sp (2, R ). | N | 0 | Z | Универсальная крышка не имеет конечномерных точные представления. | sl (2, R ) | 3 | |
О ( п ) | ортогональная группа : вещественные ортогональные матрицы | Y | Z 2 | - | Группа симметрии сферы (n = 3) или гиперсферы . | так ( п ) | п ( п - 1) / 2 | |
SO ( n ) | специальная ортогональная группа : вещественные ортогональные матрицы с определителем 1 | Y | 0 | Z n = 2 Z 2 n > 2 | Спин ( n ) n > 2 | SO (1) - это одна точка, а SO (2) изоморфна группе окружностей , SO (3) - группа вращений сферы. | так ( п ) | п ( п - 1) / 2 |
Спин ( п ) | спиновая группа : двойное покрытие SO ( n ) | Y | 0 п > 1 | 0 п > 2 | Спин (1) изоморфен Z 2 и несвязен; Spin (2) изоморфен группе окружностей, а не односвязен | так ( п ) | п ( п - 1) / 2 | |
Sp (2 н , R ) | симплектическая группа : вещественные симплектические матрицы | N | 0 | Z | зр (2 н , R ) | п (2 п +1) | ||
Sp ( п ) | компактная симплектическая группа : кватернионные унитарные матрицы размера n × n | Y | 0 | 0 | sp ( n ) | п (2 п +1) | ||
Мп ( 2n , R ) | метаплектическая группа : двойное накрытие вещественной симплектической группы Sp ( 2n , R ) | Y | 0 | Z | Mp (2, R ) - группа Ли, не являющаяся алгебраической. | sp ( 2n , R ) | п (2 п +1) | |
U ( n ) | унитарная группа : комплексные унитарные матрицы n × n | Y | 0 | Z | R × SU ( п ) | Для n = 1: изоморфен S 1 . Примечание: это не комплексная группа / алгебра Ли. | u ( n ) | п 2 |
СУ ( п ) | специальная унитарная группа : комплексные унитарные матрицы n × n с определителем 1 | Y | 0 | 0 | Примечание: это не комплексная группа / алгебра Ли. | вс ( п ) | п 2 -1 |
Вещественные алгебры Ли
Легенда таблицы:
- СУБЪЕКТ : Эта алгебра проста? (Да или нет)
- СШ : Эта алгебра полупроста ? (Да или нет)
Алгебра Ли | Описание | S | SS | Замечания | тусклый / R |
---|---|---|---|---|---|
р | что действительные числа , скобка равна нулю | 1 | |||
R n | скобка Ли равна нулю | п | |||
R 3 | скобка Ли - это кросс-произведение | Y | Y | 3 | |
ЧАС | кватернионы , со скобкой Ли коммутатор | 4 | |||
Im ( H ) | кватернионы с нулевой действительной частью, коммутатор со скобкой Ли; изоморфен действительным 3-векторам, с кронштейном Лжи крестовое произведение ; также изоморфен su (2) и so (3, R ) | Y | Y | 3 | |
М ( п , р ) | n × n матриц, со скобкой Ли коммутатор | п 2 | |||
sl ( n , R ) | квадратные матрицы со следом 0, со скобкой Ли коммутатор | Y | Y | п 2 -1 | |
так ( п ) | кососимметричные квадратные вещественные матрицы со скобкой Ли в качестве коммутатора. | Y | Y | Исключение: так (4) пол-простой, но не просто. | п ( п - 1) / 2 |
зр (2 н , R ) | вещественные матрицы, удовлетворяющие JA + A T J = 0, где J - стандартная кососимметричная матрица | Y | Y | п (2 п +1) | |
sp ( n ) | квадратные кватернионные матрицы A, удовлетворяющие A = - A ∗ , со скобкой Ли коммутатор | Y | Y | п (2 п +1) | |
u ( n ) | квадратные комплексные матрицы A, для которых A = - A ∗ , со скобкой Ли коммутатор | п 2 | |||
su ( n ) n ≥2 | квадратные комплексные матрицы A со следом 0, удовлетворяющим A = - A ∗ , со скобкой Ли коммутатор | Y | Y | п 2 -1 |
Комплексные группы Ли и их алгебры
Размеры даны размеры над C . Обратите внимание, что любую комплексную группу / алгебру Ли можно также рассматривать как реальную группу / алгебру Ли удвоенной размерности.
Группа Ли | Описание | Cpt | UC | Замечания | Алгебра Ли | тусклый / C | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
C n | групповая операция сложение | N | 0 | 0 | абелевский | C n | п | |
C × | ненулевые комплексные числа с умножением | N | 0 | Z | абелевский | C | 1 | |
GL ( n , C ) | общая линейная группа : обратимые комплексные матрицы размера n × n | N | 0 | Z | Для n = 1: изоморфен C × | М ( п , С ) | п 2 | |
SL ( n , C ) | специальная линейная группа : комплексные матрицы с определителем 1 | N | 0 | 0 | при n = 1 это единственная точка и, следовательно, компактная. | sl ( n , C ) | п 2 -1 | |
SL (2, С ) | Частный случай SL ( n , C ) при n = 2 | N | 0 | 0 | Изоморфен Spin (3, C ), изоморфен Sp (2, C ) | sl (2, С ) | 3 | |
PSL (2; С ) | Проективная специальная линейная группа | N | 0 | Z 2 | SL (2, С ) | Изоморфна группе Мёбиуса , изоморфна ограниченной группе Лоренца SO + (3,1, R ), изоморфна SO (3, C ). | sl (2, С ) | 3 |
О ( п , С ) | ортогональная группа : комплексные ортогональные матрицы | N | Z 2 | - | компактный для n = 1 | так ( n , C ) | п ( п - 1) / 2 | |
SO ( n , C ) | специальная ортогональная группа : комплексные ортогональные матрицы с определителем 1 | N | 0 | Z n = 2 Z 2 n > 2 | SO (2, C ) абелева и изоморфна C × ; неабелев при n > 2. SO (1, C ) - это единственная точка и, следовательно, компактный и односвязный | так ( n , C ) | п ( п - 1) / 2 | |
Сп (2 п , С ) | симплектическая группа : комплексные симплектические матрицы | N | 0 | 0 | зр (2 н , С ) | п (2 п +1) |
Комплексные алгебры Ли
Размеры даны размеры над C . Обратите внимание, что любую комплексную алгебру Ли также можно рассматривать как реальную алгебру Ли удвоенной размерности.
Алгебра Ли | Описание | S | SS | Замечания | тусклый / C |
---|---|---|---|---|---|
C | что комплексные числа | 1 | |||
C n | скобка Ли равна нулю | п | |||
М ( п , С ) | n × n матриц со скобкой Ли коммутатор | п 2 | |||
sl ( n , C ) | квадратные матрицы со следом 0 со скобкой Ли коммутатор | Y | Y | п 2 -1 | |
sl (2, С ) | Частный случай sl ( n , C ) с n = 2 | Y | Y | изоморфен su (2) C | 3 |
так ( n , C ) | кососимметричные квадратные комплексные матрицы со скобкой Ли коммутатор | Y | Y | Исключение: so (4, C ) полупростой, но не простой. | п ( п - 1) / 2 |
зр (2 н , С ) | комплексные матрицы, удовлетворяющие JA + A T J = 0 где J - стандартная кососимметричная матрица | Y | Y | п (2 п +1) |
Алгебра Ли аффинных преобразований размерности два, по сути, существует для любого поля. Пример уже указан в первой таблице для реальных алгебр Ли.
Рекомендации
- Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту 1153249 . OCLC 246650103 .