Из Википедии, свободной энциклопедии
  (Перенаправлен из Spin (3) )
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике спина группа Spin ( п ) [1] [2] является двойная крышка из специальной ортогональной группы SO ( п ) = SO ( п , Р ) , таким образом, что существует короткая точная последовательность из групп Ли (при п ≠ 2 )

В группе Ли Spin ( п ) , следовательно , разделяет его размерность , п ( п - 1) / 2 , а ее алгебра Ли со специальной ортогональной группы.

Для п > 2 , Spin ( п ) является односвязной и поэтому совпадает с универсальной накрывающей на SO ( п ) .

Нетривиальный элемент ядра обозначается -1, что не следует путать с ортогональным преобразованием отражения через начало координат , обычно обозначаемым -I .

Spin ( n ) можно построить как подгруппу обратимых элементов в алгебре Клиффорда Cl ( n ). Отдельная статья обсуждает представления спина .

Мотивация и физическая интерпретация [ править ]

Спиновая группа используется в физике для описания симметрии (электрически нейтральных, незаряженных) фермионов . Его комплексификация, Spinc, используется для описания электрически заряженных фермионов, в первую очередь электрона . Строго говоря, спиновая группа описывает фермион в нульмерном пространстве; но, конечно, пространство не нульмерно, и поэтому спин группы используется для определения спиновых структур на (псевдо-) римановых многообразиях : спин группы является структура группы из спинорного расслоения . Аффинная связность на спинорному расслоении является связью спины; спиновая связь полезна, поскольку она может упростить и придать элегантность многим сложным вычислениям в общей теории относительности . Спиновая связь, в свою очередь, позволяет записать уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени (эффективно в тетрадных координатах), что, в свою очередь, обеспечивает основу для квантовой гравитации , а также формализацию излучения Хокинга (где одна из пары запутанных, виртуальные фермионы падают за горизонт событий, а другие нет). Короче говоря, спиновая группа является жизненно важным краеугольным камнем, имеющим центральное значение для понимания передовых концепций современной теоретической физики. В математике спиновая группа интересна сама по себе: не только по этим причинам, но и по многим другим.

Строительство [ править ]

Построение группы Spin часто начинается с построения алгебры Клиффорда над вещественным векторным пространством V с определенной квадратичной формой q . [3] Клиффорда алгебра является частным от тензора алгебры T V из V с помощью двустороннего идеала. Тензорную алгебру (над вещественными числами) можно записать как

Алгебра Клиффорда Cl ( V ) тогда является фактор-алгеброй

где - квадратичная форма, примененная к вектору . Результирующее пространство естественно градуируется (как векторное пространство) и может быть записано как

где и . Спиновый алгебра определяется как

где последнее является сокращением для V, являющегося вещественным векторным пространством действительной размерности n . Это алгебра Ли ; она имеет естественное действие на V , и таким образом можно показать , изоморфной алгебре Ли из специальной ортогональной группы .

Группа контактов - это подгруппа группы Клиффорда, состоящая из всех элементов формы

где каждый имеет единицу длины:

Тогда спиновая группа определяется как

где - подпространство, порожденное элементами, которые являются произведением четного числа векторов. То есть Spin ( V ) состоит из всех элементов Pin ( V ), указанных выше, с ограничением на то, чтобы k было четным числом. Ограничение на четное подпространство является ключом к образованию двухкомпонентных (вейлевских) спиноров, построенных ниже.

Если набор является ортонормированным базисом (действительного) векторного пространства V , то приведенное выше частное наделяет пространство естественной антикоммутирующей структурой:

для

что следует из рассмотрения для . Эта антикоммутация имеет важное значение для физики, поскольку отражает дух принципа исключения Паули для фермионов . Точная формулировка здесь выходит за рамки, но она включает создание спинорного пучка в пространстве-времени Минковского ; полученные спинорные поля можно рассматривать как антикоммутирующие как побочный продукт конструкции алгебры Клиффорда. Это свойство антикоммутации также является ключом к формулировке суперсимметрии . Алгебра Клиффорда и спиновая группа обладают множеством интересных и любопытных свойств, некоторые из которых перечислены ниже.

Двойное покрытие [ править ]

Для квадратичного пространства V двойное накрытие SO ( V ) пространством Spin ( V ) может быть задано явно следующим образом. Пусть быть ортонормированный базис для V . Определим антиавтоморфизм как

Это можно распространить на все элементы за счет линейности. Это антигомоморфизм, поскольку

Обратите внимание, что Pin ( V ) может быть определен как все элементы, для которых

Теперь определим автоморфизм, который на элементах степени 1 задается формулой

и обозначим , что является антиавтоморфизмом Cl ( V ). В этих обозначениях явное двойное покрытие - это гомоморфизм, задаваемый формулой

где . Когда a имеет степень 1 (т.е. ), соответствует отражению от гиперплоскости, ортогональной a ; это следует из антикоммутирующего свойства алгебры Клиффорда.

Это дает двойное покрытие как O ( V ) с помощью Pin ( V ), так и SO ( V ) с помощью Spin ( V ), поскольку дает то же преобразование, что и .

Спинорное пространство [ править ]

Стоит рассмотреть вопрос о том, как строятся спинорные пространства и спиноры Вейля с учетом этого формализма. Для вещественного векторного пространства V размерности n = 2 m и четного числа его комплексификация равна . Его можно записать как прямую сумму подпространства спиноров и подпространства антиспиноров:

Пространство натянуто спинорами для и комплексно сопряженными спинорами . Несложно увидеть, что спиноры антикоммутируют и что произведение спинора и антиспинора является скаляром.

Спинорная пространство определяется как внешней алгебры . (Комплексифицированная) алгебра Клиффорда естественным образом действует на этом пространстве; (комплексифицированная) спиновая группа соответствует сохраняющим длину эндоморфизмам . Существует естественная градуировка внешней алгебры: произведение нечетного числа копий соответствует физическому понятию фермионов; четное подпространство соответствует бозонам. Представления о действии спинорной группы на спинорном пространстве могут быть построены относительно просто. [3]

Сложный случай [ править ]

Группа Spin C определяется точной последовательностью

Это мультипликативная подгруппа усложнению алгебры Клиффорда, и , в частности, это подгруппа , порожденная Spin ( V ) и единичной окружности в С . В качестве альтернативы это частное

где эквивалентность отождествляет ( a , u ) с (- a , - u ) .

Это имеет важные приложения в теории 4-многообразий и теории Зайберга – Виттена . В физике группа Spin подходит для описания незаряженных фермионов, а группа Spin C используется для описания электрически заряженных фермионов. В этом случае (1) симметрии U является конкретно калибровочной группой из электромагнетизма .

Исключительные изоморфизмы [ править ]

В малых размерностях среди классических групп Ли есть изоморфизмы, называемые исключительными изоморфизмами . Например, существуют изоморфизмы между низкоразмерными спиновыми группами и некоторыми классическими группами Ли из-за низкоразмерных изоморфизмов между корневыми системами (и соответствующими изоморфизмами диаграмм Дынкина ) различных семейств простых алгебр Ли . Написание R для действительных чисел, C для комплексных чисел, H для кватернионов и общее понимание того, что Cl ( n ) является сокращением для Cl ( R n ) и что Spin ( n) является сокращением для Spin ( R n ) и т.д., тогда [3]

Cl четное (1) = R действительные числа
Пин (1) = {+ i, −i, +1, −1}
Spin (1) = O (1) = {+1, −1} ортогональная группа нулевой размерности.

-

Cl even (2) = C комплексные числа
Спин (2) = U (1) = SO (2) , который действует на г в R 2 , дважды фазового вращения г¯u 2 г . dim = 1

-

Cl даже (3) = H с кватернионов
Spin (3) = Sp (1) = SU (2) , что соответствует . dim = 3

-

Cl даже (4) = HH
Spin (4) = SU (2) × SU (2), что соответствует . dim = 6

-

Cl even (5) = M (2, H ) матрицы размера два на два с кватернионными коэффициентами
Spin (5) = Sp (2) , что соответствует . dim = 10

-

Cl even (6) = M (4, C ) - матрицы размером четыре на четыре с комплексными коэффициентами
Spin (6) = SU (4) , что соответствует . dim = 15

Некоторые остатки этих изоморфизмов остались для n = 7, 8 (подробности см. В Spin (8) ). При более высоких n эти изоморфизмы полностью исчезают.

Бесконечная подпись [ править ]

В неопределенной сигнатуре спиновая группа Spin ( p , q ) строится с помощью алгебр Клиффорда аналогично стандартным спиновым группам. Это двойная крышка из SO 0 ( р , д ) , в связной компоненте единицы на неопределенный ортогональной группы SO ( р , д ) . Для р + д > 2 , Spin ( р , д ) связана; для ( p, q ) = (1, 1) есть две компоненты связности. [4] : 193 Как и в случае с определенной сигнатурой, в малых размерностях есть несколько случайных изоморфизмов:

Спин (1, 1) = GL (1, R )
Спин (2, 1) = SL (2, R )
Спин (3, 1) = SL (2, C )
Спин (2, 2) = SL (2, R ) × SL (2, R )
Spin (4, 1) = Sp (1, 1)
Spin (3, 2) = Sp (4, R )
Спин (5, 1) = SL (2, H )
Спин (4, 2) = SU (2, 2)
Вращение (3, 3) = SL (4, R )
Спин (6, 2) = SU (2, 2, H )

Обратите внимание, что Spin ( p , q ) = Spin ( q , p ) .

Топологические соображения [ править ]

Связные и односвязные группы Ли классифицируются по своей алгебре Ли. Итак, если G - связная группа Ли с простой алгеброй Ли, где G ′ - универсальное покрытие группы G , существует включение

с Z ( G ') центр из G '. Это включение и алгебра Ли группы G полностью определяют G (заметим, что это не тот случай, когда и π 1 ( G ) полностью определяют G ; например, SL (2, R ) и PSL (2, R ) имеют одну и ту же алгебру Ли и той же фундаментальной группы Z , но не изоморфны).

Определенная сигнатура Spin ( n ) все односвязны для n  > 2, поэтому они являются универсальными покрытиями SO ( n ).

В неопределенной сигнатуре Spin ( p , q ) не обязательно связан, и, в общем, компонент тождества , Spin 0 ( p , q ), не односвязен, поэтому он не является универсальным покрытием. Фундаментальную группу легче всего понять, рассматривая максимальную компактную подгруппу в SO ( p , q ), которая есть SO ( p ) × SO ( q ), и отмечая, что это не произведение 2-кратных покрытий (следовательно, a 4-кратная обложка), Отжим ( p , q) является «диагональным» 2-кратным покрытием - это 2-кратное частное от 4-кратного покрытия. Явно максимальная компактная связная подгруппа в Spin ( p , q ) есть

Spin ( p ) × Spin ( q ) / {(1, 1), (−1, −1)}.

Это позволяет нам вычислить фундаментальные группы Spin ( p , q ), взяв pq :

Таким образом, если p , q > 2, фундаментальная группа - это Z 2 , поскольку она является двукратным фактором произведения двух универсальных покрытий.

Отображения на фундаментальных группах даются следующим образом. Для p , q > 2 это означает, что отображение π 1 (Spin ( p , q )) → π 1 (SO ( p , q )) задается 1 ∈ Z 2, идущим в (1, 1) ∈ Z 2 × Z 2 . При p = 2, q > 2 это отображение задается как 1 ∈ Z → (1,1) ∈ Z × Z 2 . И наконец, при p = q = 2 ,(1, 0) ∈ Z × Z отправляется на (1,1) ∈ Z × Z, а (0, 1) отправляется на (1, −1) .

Центр [ править ]

Центры спиновых групп для n ≥ 3 (комплексные и действительные) задаются следующим образом: [4] : 208

Факторные группы [ править ]

Факторгруппы могут быть получены из спиновой группы путем факторизации по подгруппе центра, при этом спиновая группа тогда будет покрывающей группой результирующего фактора, и обе группы имеют одну и ту же алгебру Ли.

Факторизация по всему центру дает минимальную такую ​​группу, проективную специальную ортогональную группу , которая не имеет центра , а факторизация по {± 1} дает специальную ортогональную группу - если центр равен {± 1} (а именно в нечетной размерности) , эти две фактор-группы согласны. Если спиновая группа односвязна (как Spin ( n ) для n > 2 ), то Spin является максимальной группой в последовательности, и одна имеет последовательность из трех групп,

Спин ( n ) → SO ( n ) → PSO ( n ),

разделение по четности дает:

Спин (2 n ) → SO (2 n ) → PSO (2 n ),
Спин (2 n +1) → SO (2 n +1) = PSO (2 n +1),

которые являются тремя компактными вещественными формами (или двумя, если SO = PSO ) компактной алгебры Ли

В гомотопические группы покрова и фактор связаны длинной точной последовательности расслоения с дискретным слоем (волокно является ядро) - Таким образом , все гомотопических групп для к > 1 равны, но тг 0 и π 1 может отличаться .

Для n > 2 Spin ( n ) односвязен ( π 0 = π 1 = Z 1 тривиально), поэтому SO ( n ) связен и имеет фундаментальную группу Z 2, в то время как PSO ( n ) связан и имеет фундаментальную группу, равную в центр Spin ( n ).

В неопределенной сигнатуре покрытия и гомотопические группы более сложны - Spin ( p , q ) не является односвязным, и факторизация также влияет на компоненты связности. Анализ является более простым , если учесть , максимальный (подключен) компактный SO ( р ) × SO ( д ) ⊂ SO ( р , д ) , и группа компонентов из Spin ( р , д ) .

Башня Уайтхед [ править ]

Группа спинов появляется в башне Уайтхеда, закрепленной ортогональной группой :

Башня получается последовательным удалением (уничтожением) гомотопических групп возрастающего порядка. Это делается путем построения коротких точных последовательностей, начиная с пространства Эйленберга – Маклейна, для удаления гомотопической группы. Убивая π 3 гомотопическую группу в Spin ( n ), мы получаем бесконечномерную группу струн String ( n ).

Дискретные подгруппы [ править ]

Дискретные подгруппы спиновой группы можно понять, связав их с дискретными подгруппами специальной ортогональной группы (группы точек вращения ).

Учитывая двойное покрытие Spin ( n ) → SO ( n ) , по теореме о решетке существует связь Галуа между подгруппами Spin ( n ) и подгруппами SO ( n ) (группы точек вращения): образ подгруппы группы Spin ( n ) - это точечная группа вращения, а прообраз точечной группы - это подгруппа Spin ( n ), а оператор замыкания на подгруппах Spin ( n ) - это умножение на {± 1}. Их можно назвать «бинарными точечными группами»; наиболее известен трехмерный случай, известный как бинарные полиэдральные группы .

Конкретно, каждая бинарная точечная группа является либо прообразом точечной группы (отсюда обозначается 2 G для точечной группы G ), либо подгруппой индекса 2 прообраза точечной группы, которая отображается (изоморфно) на точечную группу; в последнем случае полная бинарная группа абстрактно (поскольку {± 1} центральная). В качестве примера последних, дана циклическая группа нечетного порядка в SO ( n ), ее прообраз является циклической группой удвоенного порядка, а подгруппа Z 2 k +1 <Spin ( n ) изоморфно отображается в Z 2 k +1 <SO ( п ) .

Особо следует отметить две серии:

  • высшие бинарные тетраэдрические группы , соответствующие 2-кратному покрытию симметрий n -симплекса; эта группа также может рассматриваться в качестве двойной крышки симметрической группы , 2⋅A п → A , п , с знакопеременной группой является (вращательной) группой симметрии п -симплекс.
  • высшие бинарные октаэдрические группы , соответствующие двумерным покрытиям гипероктаэдрической группы (симметрии гиперкуба или, что эквивалентно, двойственного ему кросс-многогранника ).

Для точечных групп с обратной ориентацией ситуация более сложная, так как имеется две группы контактов , поэтому есть две возможные бинарные группы, соответствующие данной группе точек.

См. Также [ править ]

  • Алгебра Клиффорда
  • Клиффорд анализ
  • Спинор
  • Набор спиноров
  • Спиновая структура
  • Таблица групп Ли
  • Аньон
  • Запутанность ориентации

Связанные группы [ править ]

  • Группа выводов Pin ( n ) - двукратное покрытие ортогональной группы , O ( n )
  • Метаплектическая группа Mp (2 n ) - двукратное покрытие симплектической группы Sp (2 n )
  • String group String (n) - следующая группа в башне Уайтхеда

Ссылки [ править ]

  1. ^ Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08542-5. стр.14
  2. ^ Фридрих, Томас (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2055-1 стр.15
  3. ^ a b c Юрген Йост, Риманова геометрия и геометрический анализ , (2002) Springer Verlag ISBN 3-540-42627-2 (см. главу 1.) 
  4. ^ а б Варадараджан, VS (2004). Суперсимметрия для математиков: введение . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0821835742. OCLC  55487352 .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Каруби, Макс (2008). К-Теория . Springer. С. 210–214. ISBN 978-3-540-79889-7.