Аффинная группа

В математике , то аффинная группа или вообще аффинная группа любого аффинного пространства над полем $K$ является группой всех обратимых аффинных преобразований из пространства в себя.

Это группа Ли, если $K$ - действительное или комплексное поле или кватернионы .

Отношение к общей линейной группе [ править ]

Построение из общей линейной группы [ править ]

В частности, дано векторное пространство $V$ , то есть , лежащее в основе аффинного пространства $A$ , полученное «забывает» происхождение, с $V$ действует сдвиги, и аффинная группа $A$ может быть описана конкретно как полупрямому продукт из $V$ с помощью $GL (V)$ , то линейная группа из $V$ :

{\ Displaystyle \ OperatorName {Aff} (V) = V \ rtimes \ OperatorName {GL} (V)}

Действие $GL (V)$ на $V$ является естественным (линейные преобразования являются автоморфизмами), поэтому это определяет полупрямое произведение .

В терминах матриц пишут:

{\ displaystyle \ operatorname {Aff} (n, K) = K ^ {n} \ rtimes \ operatorname {GL} (n, K)}

где здесь естественным действием $GL (n, K)$ на $K n$ является матричное умножение вектора.

Стабилизатор точки [ править ]

Принимая во внимание аффинной группы аффинного пространства $А$ , то стабилизатор некоторой точки $р$ изоморфна общей линейной группы тех же размерности (поэтому стабилизатор точки в $Aff (2, R)$ изоморфен $GL (2, R)$ ); формально это общая линейная группа векторного пространства $(A, p)$ : напомним, что если зафиксировать точку, аффинное пространство становится векторным пространством.

Все эти подгруппы сопряжены, где сопряжение задается переводом из $p$ в $q$ (что однозначно определено), однако никакая конкретная подгруппа не является естественным выбором, поскольку нет особой точки - это соответствует множественному выбору поперечной подгруппы, или разбиение короткой точной последовательности

{\ displaystyle 1 \ к V \ к V \ rtimes \ operatorname {GL} (V) \ to \ operatorname {GL} (V) \ to 1 \ ,.}

В случае, если аффинная группа была построена, начиная с векторного пространства, подгруппа, которая стабилизирует начало координат (векторного пространства), является исходной $GL (V)$ .

Матричное представление [ править ]

Представляя аффинную группу как полупрямое произведение $V$ на $GL (V)$ , то по построению полупрямого произведения элементы представляют собой пары $(M, v)$ , где $v$ - вектор в $V,$ а $M$ - линейное преобразование в $GL (V)$ , а умножение определяется по формуле:

{\ Displaystyle (M, v) \ cdot (N, w) = (MN, v + Mw) \ ,.}

Это можно представить в виде блочной матрицы $(n + 1) \times (n + 1)$ :

\left({\begin{array}{c|c}M&v\\\hline 0&1\end{array}}\right)

где $M$ - матрица размера $n \times n$ над $K$ , $v$ - вектор-столбец $n \times 1$ , 0 - строка нулей размером $1 \times n$ , а 1 - единичная блочная матрица 1 × 1 .

Формально $Aff (V)$ естественно изоморфна подгруппе в $GL (V \oplus K)$ , причем $V$ вложена как аффинная плоскость ${(v, 1) | v \in V}$ , а именно стабилизатор этой аффинной плоскости; выше формулировка матрица является (транспонированная) реализация этого, с $п \times п$ и $1 \times 1$ ) блоки , соответствующие разложению прямой суммы $V \oplus K$ .

Похоже представление любая $(п + 1) \times (п + 1)$ , матрица , в которой запись в каждой колонке сумме до 1. ^[1] подобия $Р$ для перехода от вышеуказанного типа , чтобы такого рода является $(п + 1) \times (n + 1)$ единичная матрица, в которой нижняя строка заменена строкой из всех единиц.

Каждый из этих двух классов матриц замкнут относительно умножения матриц.

Простейшей парадигмой может быть случай $n = 1$ , то есть верхнетреугольные матрицы 2 × 2, представляющие аффинную группу в одном измерении. Это двухпараметрическая неабелева группа Ли , поэтому всего с двумя образующими (элементами алгебры Ли), $A$ и $B$ , такими, что $[A, B] = B$ , где

A=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad B=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right)\,,

чтобы

e^{aA+bB}=\left({\begin{array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\\0&1\end{array}}\right)\,.

Таблица символов $Aff (F p)$ [ править ]

$Aff (F p)$ имеет порядок $p (p - 1)$ . С

{\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}a&(1-a)d+bc\\0&1\end{pmatrix}}\,,

мы знаем, что $Aff (F p)$ имеет $p$ классов сопряженности, а именно

{\begin{aligned}C_{id}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}\,,\\[6pt]C_{1}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}^{*}\right\}\,,\\[6pt]{\Bigg \{}C_{a}&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}\right\}{\Bigg |}a\in \mathbf {F} _{p}\setminus \{0,1\}{\Bigg \}}\,.\end{aligned}}

Тогда мы знаем, что $Aff (F p)$ имеет $p$ неприводимых представлений. Согласно вышеприведенному абзацу ( § Матричное представление ) существует $p - 1$ одномерное представление, определяемое гомоморфизмом

\rho _{k}:\operatorname {Aff} (\mathbf {F} _{p})\to \mathbb {C} ^{*}

для $k = 1, 2,\dots p - 1$ , где

\rho _{k}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}=\exp \left({\frac {2ikj\pi }{p-1}}\right)

и $i 2 = -1$ , $a = g j$ , $g$ - образующая группы $F * p$ . Затем сравните с порядком $F p$ , мы имеем

p(p-1)=p-1+\chi _{p}^{2}\,,

следовательно, $χ p = p - 1$ - размерность последнего неприводимого представления. Наконец, используя ортогональность неприводимых представлений, мы можем дополнить таблицу символов $Aff (F p)$ :

{\begin{array}{c|cccccc}&{\color {Blue}C_{id}}&{\color {Blue}C_{1}}&{\color {Blue}C_{g}}&{\color {Blue}C_{g^{2}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}C_{g^{p-2}}}\\\hline {\color {Blue}\chi _{1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{2}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {8\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{3}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {12\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }\\{\color {Blue}\chi _{p-1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}1}\\{\color {Blue}\chi _{p}}&{\color {Gray}p-1}&{\color {Gray}-1}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}0}\end{array}}

Планарная аффинная группа над вещественными [ править ]

Элементы могут иметь простой вид в хорошо выбранной аффинной системе координат . Точнее, если задано аффинное преобразование аффинной плоскости над вещественными числами , существует аффинная система координат, в которой она имеет одну из следующих форм, где $a$ , $b$ и $t$ - действительные числа (данные условия гарантируют, что преобразования обратимы, но не для разделения классов; например, идентичность принадлежит всем классам). $\operatorname {Aff} (2,\mathbb {R} )$

{\begin{aligned}{\text{1.}}&&(x,y)&\mapsto (x+a,y+b),\\[3pt]{\text{2.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,by),&\qquad {\text{where }}ab\neq 0,\\[3pt]{\text{3.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,y+b),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{4.}}&&(x,y)&\mapsto (ax+y,ay),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{5.}}&&(x,y)&\mapsto (x+y,y+a)\\[3pt]{\text{6.}}&&(x,y)&\mapsto (a(x\cos t+y\sin t),a(-x\sin t+y\cos t)),&\qquad {\text{where }}a\neq 0.\end{aligned}}

Случай 1 соответствует переводам .

Случай 2 соответствует масштабированию, которое может различаться в двух разных направлениях. При работе с евклидовой плоскостью эти направления не обязательно должны быть перпендикулярными , поскольку оси координат не должны быть перпендикулярными.

Случай 3 соответствует масштабированию в одном направлении и перемещению в другом.

Случай 4 соответствует отображению сдвига в сочетании с растяжением.

Случай 5 соответствует отображению сдвига в сочетании с растяжением.

Случай 6 соответствует подобию , когда оси координат перпендикулярны.

Аффинные преобразования без фиксированной точки относятся к случаям 1, 3 и 5. Преобразования, не сохраняющие ориентацию плоскости, относятся к случаям 2 (с $ab <0$ ) или 3 (с $a <0$ ).

Доказательство может быть выполнено, сначала отметив, что если аффинное преобразование не имеет фиксированной точки, то матрица соответствующего линейного отображения имеет собственное значение, равное единице, а затем используя теорему Жордана о нормальной форме для вещественных матриц .

Другие аффинные группы [ править ]

Общий случай [ править ]

Принимая во внимание любой подгруппы $G <GL (V)$ от общей линейной группы , можно произвести аффинную группу, иногда обозначаемый $Aff (G)$ аналогично тому, как $Aff (G): = V ⋊ G$ .

В более общем и абстрактно, учитывая любая группа $G$ и представление из $G$ на векторном пространстве $V$ ,

\rho :G\to \operatorname {GL} (V)

получается ^{[примечание 1]} ассоциированная аффинная группа $V ⋊ ρ G$ : можно сказать, что полученная аффинная группа является « расширением группы с помощью векторного представления», и, как и выше, имеется короткая точная последовательность:

1\to V\to V\rtimes _{\rho }G\to G\to 1\,.

Специальная аффинная группа [ править ]

Подмножество всех обратимых аффинных преобразований, сохраняющих фиксированную форму объема, или в терминах полупрямого произведения, множество всех элементов $(M, v)$ с $M$ детерминанта 1, является подгруппой, известной как специальная аффинная группа .

Проективная подгруппа [ править ]

Предполагая знание проективности и проективной группы проективной геометрии , аффинная группа может быть легко определена. Например, Гюнтер Эвальд писал: ^[2]

Множество всех проективных коллинеаций

Р

п

представляет собой группу , которую мы можем назвать проективную группу из

Р

н

. Если исходить из

Р

н

к аффинному пространству

А

п

путем объявления гиперплоскости

Q

, чтобы быть гиперплоскостью на бесконечности , получает аффинную группу из

А

п

в качестве подгруппы в состоящих из всех элементов , которые оставляют

со

фиксированным.

{\mathfrak {P}}

{\mathfrak {A}}

{\mathfrak {P}}

{\mathfrak {P}}

{\mathfrak {A}}\subset {\mathfrak {P}}

Группа Пуанкаре [ править ]

Группа Пуанкаре - это аффинная группа группы Лоренца $O (1,3)$ :

\mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)

Этот пример очень важен для теории относительности .

См. Также [ править ]

Голоморф

Заметки [ править ]

^ Поскольку $GL (V) <Aut (V)$ . Обратите вниманиечто эта защитная оболочка в целом правильной, такпо «автоморфизмам» один означает группу автоморфизмы, то есть, они сохраняют структуру группы $V$ (сложение и происхождение), но не обязательно скалярное умножение, и эти группы различаются при работе над $R$ .

Ссылки [ править ]

↑ Пул, Дэвид Г. (ноябрь 1995 г.). «Стохастическая группа». Американский математический ежемесячник . 102 (9): 798–801.
^ Эвальд, Гюнтер (1971). Геометрия: Введение . Бельмонт: Уодсворт. п. 241. ISBN. 9780534000349.

Линдон, Роджер (1985). «Раздел VI.1». Группы и геометрия . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-31694-4. CS1 maint: discouraged parameter (link)

[2] Поскольку $GL (V) <Aut (V)$ . Обратите вниманиечто эта защитная оболочка в целом правильной, такпо «автоморфизмам» один означает группу автоморфизмы, то есть, они сохраняют структуру группы $V$ (сложение и происхождение), но не обязательно скалярное умножение, и эти группы различаются при работе над $R$ .

[1] Пул, Дэвид Г. (ноябрь 1995 г.). «Стохастическая группа». Американский математический ежемесячник . 102 (9): 798–801.

[3] Эвальд, Гюнтер (1971). Геометрия: Введение . Бельмонт: Уодсворт. п. 241. ISBN. 9780534000349.

[1]