В геометрии , аффинная плоскость является двумерный аффинным пространством .
Примеры
Типичные примеры аффинных плоскостей:
- Евклидовы плоскости , которые являются аффинными плоскостями над вещественными числами , снабжены метрикой - евклидовым расстоянием . Другими словами, аффинная плоскость над вещественными числами - это евклидова плоскость, в которой «забыли» метрику (то есть не говорят ни о длинах, ни о мерах углов).
- Векторные пространства размерности два, в которых нулевой вектор не считается отличным от других элементов
- Для каждого поля или деление кольца F , множество F 2 из пар элементов F
- Результат удаления любой отдельной линии (и всех точек на этой прямой) из любой проективной плоскости
Координаты и изоморфизм
Все аффинные плоскости, определенные над полем, изоморфны . Точнее, выбор аффинной системы координат (или, в реальном случае, декартовой системы координат ) для аффинной плоскости P над полем F индуцирует изоморфизм аффинных плоскостей между P и F 2 .
В более общей ситуации, когда аффинные плоскости не определены над полем, они, вообще говоря, не будут изоморфными. Две аффинные плоскости, возникающие из одной недезарговской проективной плоскости удалением разных прямых, могут не быть изоморфными.
Определения
Есть два способа формально определить аффинные плоскости, которые эквивалентны аффинным плоскостям над полем. Первый состоит в определении аффинной плоскости как множества, на котором векторное пространство размерности два действует просто транзитивно . Интуитивно это означает, что аффинная плоскость - это векторное пространство размерности два, в котором «забыли», где находится начало координат. В инцидентности геометрии , аффинная плоскость определяется как абстрактной системы точек и линий , удовлетворяющих системе аксиом.
Приложения
В приложениях математики часто встречаются ситуации, когда вместо евклидовой плоскости используется аффинная плоскость без евклидовой метрики. Например, в графике , который можно нарисовать на бумаге и на котором положение частицы отложено во времени, евклидова метрика не подходит для ее интерпретации, поскольку расстояния между ее точками или меры углов между его линии, как правило, не имеют физического значения (в аффинной плоскости оси могут использовать разные единицы, которые не сопоставимы, и меры также различаются в зависимости от единиц и масштабов [1] ). [2] [3]
Источники
- Артин, Эмиль (1987), «II. Аффинная и проективная геометрия», Геометрическая алгебра , Interscience Publishers, ISBN 0-470-03432-7
- Блюменталь, Леонард М. (1980) [1961], «IV. Координаты на аффинной плоскости», современный взгляд на геометрию , Дувр, ISBN 0-486-63962-2
- Грюнберг, KW; Weir, AJ (1977), «II. Аффинная и проективная геометрия», Linear Geometry (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90227-9
- Снаппер, Эрнст; Тройер, Роберт Дж. (1989) [1971], Метрическая аффинная геометрия , Довер, ISBN 0-486-66108-3
- Йель, Пол Б. (1968), "Глава 5 Аффинные пространства", Геометрия и симметрия , Холден-Дей
Рекомендации
- ↑ См. Также книги Мандельброта «Самоаффинность по Гауссу и фракталы», Леви «Основы геометрии и тригонометрии» и Яглома «Простая неевклидова геометрия и ее физические основы».
- ^ Пол Бамберг; Шломо Штернберг (1991). Курс математики для студентов-физиков . 1 . Издательство Кембриджского университета . С. 1–2. ISBN 978-0-521-40649-9.
- ^ Говард Леви (1975). Темы по геометрии . RE Krieger Publishing Company. п. 75. ISBN 978-0-88275-280-8.