Геометрическая алгебра - это книга, написанная Эмилем Артином и опубликованная издательством Interscience Publishers , Нью-Йорк, в 1957 году. Она была переиздана в 1988 году в серии Wiley Classics ( ISBN 0-471-60839-4 ).
В 1962 году Algèbre Géométrique , перевод на французский язык М. Лазара, была опубликована Готье-Виллар и переиздана в 1996 году ( ISBN 2-87647-089-6 ) В 1968 году перевод на итальянский язык был опубликован в Милане Фельтринелли. [1] В 1969 г. перевод на русский язык был издан в Москве издательством «Наука» [2]
Долгожданное продолжение книги «Современная алгебра» (1930), которую Бартель ван дер Варден опубликовал в качестве своей версии заметок, сделанных в курсе с Артином, « Геометрическая алгебра» представляет собой исследовательскую монографию, подходящую для аспирантов, изучающих математику. Из предисловия:
- Линейная алгебра, топология, дифференциальная и алгебраическая геометрия - незаменимые инструменты математика нашего времени. Часто бывает желательно разработать курс геометрической природы, который отличается от этих великих направлений мысли и который может быть представлен начинающим аспирантам или даже студентам продвинутого уровня. Настоящая книга выросла из конспектов лекций к курсу подобного рода, прочитанному в Нью-Йоркском университете в 1955 году. Этот курс сосредоточен вокруг основ аффинной геометрии, геометрии квадратичных форм и структуры общей линейной группы. Я счел необходимым расширить содержание этих заметок, включив проективную и симплектическую геометрию, а также структуру симплектических и ортогональных групп .
Книга проиллюстрирована шестью геометрическими конфигурациями в главе 2, в которой прослеживается путь от геометрических к полевым аксиомам, ранее исследованный Карлом фон Штаудтом и Давидом Гильбертом .
Содержание [ править ]
Глава первая называется «Предварительные соображения». Десять разделов экспликации понятия теории множеств , векторных пространств , гомоморфизмам , двойственности , линейных уравнений , теории групп , теории поля , упорядоченных полей и оценок . На странице vii Артин говорит: «Главу I следует использовать в основном как справочную главу для доказательства некоторых отдельных теорем».
Вторая глава называется «Аффинная и проективная геометрия». Артин ставит задачу создать алгебру (поле k ) из геометрических аксиом:
- Дана плоская геометрия, объекты которой являются элементами двух наборов, набора точек и набора линий; Предположим, что некоторые аксиомы геометрической природы верны. Можно ли найти поле k такое, что точки нашей геометрии могут быть описаны координатами из k, а линии - линейными уравнениями?
Применяется рефлексивный вариант параллелизма : параллельные прямые имеют либо все, либо никакие общие точки. Таким образом, линия параллельна самой себе.
Аксиома 1 требует уникальной линии для каждой пары различных точек и уникальной точки пересечения непараллельных прямых. Аксиома 2 зависит от линии и точки; для этого требуется уникальная параллель к линии и проходящая через точку. Аксиома 3 требует трех неколлинеарных точек. Аксиома 4a требует перевода для перемещения любой точки в любую другую. Аксиома 4b требует расширения в точке P, чтобы переместить Q в точку R, когда три точки лежат на одной прямой .
Артины записывают линию через P и Q , как P + Q . Чтобы определить растяжение, он пишет: «Пусть даны две различные точки P и Q и их изображения P ′ и Q ′». Чтобы предположить роль падения в геометрии, расширение определяется этим свойством: «Если l ′ - прямая, параллельная P + Q, которая проходит через P ′, то Q ′ лежит на l ′». Конечно, если P ′ ≠ Q ′, то из этого условия следуетP + Q параллельно P ′ + Q ′, так что расширение является аффинным преобразованием .
Растяжения без неподвижных точек являются трансляциями , и показано , что группа трансляций T является инвариантной подгруппой группы растяжений. Для дилатации сг и точкой Р , то след является Р + σP . Отображения T → T , сохраняющие след гомоморфизмами, являются элементами k . Сначала показано, что k - ассоциативное кольцо с 1 , затем - тело .
И наоборот, существует аффинная геометрия, основанная на любом заданном теле k . Аксиомы 4a и 4b эквивалентны теореме Дезарга . Когда Теорема Паппа имеет место в аффинной геометрии, к является коммутативным и , следовательно , поле.
Третья глава называется «Симплектическая и ортогональная геометрия». Он начинается с метрических структур в векторных пространствах до определения симплектической и ортогональной геометрии и описания их общих и особых свойств. Есть разделы по геометрии над конечными полями и над упорядоченными полями.
Четвертая глава посвящена общим линейным группам . Во-первых, это теория определителей Жана Дьедонна над «некоммутативными полями» ( телами ). Артин описывает структуру группы GL ( n, k ). Более подробная информация приводится о векторных пространствах над конечными полями.
Глава пятая - «Строение симплетических и ортогональных групп». Он включает разделы по эллиптическим пространствам , алгебре Клиффорда и спинориальной норме.
Обзоры [ править ]
Алиса Т. Шафер писала: «Математики найдут на многих страницах достаточно доказательств способности автора проникнуть в предмет и представить материал особенно элегантно». Она отмечает совпадение текста Артина с линейной алгеброй и проективной геометрией Бэра или « Геометрией классических групп» Дьедонне . [3]
Жан Дьедонне рецензировал книгу для Mathematical Reviews и поставил ее на один уровень с Grundlagen der Geometrie Гильберта . [4]
Ссылки [ править ]
- ^ MR 0256245
- ^ MR 0242847
- ^ Шафер, Алиса Т. (1958). "Обзор геометрической алгебры Эмиля Артина" . Бюллетень Американского математического общества . 64 : 35–37. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1958-10142-1 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ MR 0082463
- Геометрическая алгебра в Интернет-архиве
