В абстрактной алгебре , A нормальная подгруппа (также известная как инвариантная подгруппа или самосопряженной подгруппа ) [1] является подгруппой , инвариантный относительно сопряжения членов группы которой она является частью. Другими словами, подгруппа Н группы G нормальна в G тогда и только тогда , когда GNG -1 ∈ N для всех г ∈ G и п ∈ N . Обычное обозначение этого отношения:.
Нормальные подгруппы важны, потому что они (и только они) могут использоваться для построения фактор-групп данной группы. Кроме того, нормальные подгруппы G в точности ядро из группы гомоморфизмов с областью G , что означает , что они могут быть использованы для внутренне классифицировать эти гомоморфизмы.
Эварист Галуа был первым, кто осознал важность существования нормальных подгрупп. [2]
Определения
Подгруппа Н группы G называется нормальной подгруппой в G , если она инвариантна относительно сопряжения ; то есть сопряжение элемента N элемент из G всегда в N . [3] Обычное обозначение этого отношения:.
Эквивалентные условия
Для любой подгруппы N из G , выполняются следующие условия эквивалентны для N является нормальной подгруппой группы G . Следовательно, любой из них можно принять за определение:
- Образ сопряжения N на любой элемент из G представляет собой подмножество N . [4]
- Образ сопряжения N на любой элемент из G равен N . [4]
- Для всех g в G левый и правый смежные классы gN и Ng равны. [4]
- Множества левых и правых смежных классов из N в G совпадают. [4]
- Произведение элемента левого смежного класса N по g и элемента левого смежного класса N по h является элементом левого смежного класса N по gh : ∀ x , y , g , h ∈ G , если х ∈ гНы и у ∈ Hn , то х ∈ ( GH ) Н .
- N является объединением из классов сопряженных с G . [2]
- Н сохраняетсяпомощью внутренних автоморфизмов из G . [5]
- Существует некоторая группа гомоморфизм G → H , чьи ядра является N . [2]
- Для всех а также , коммутатор в N . [ необходима цитата ]
- Любые два элемента коммутирует относительно нормального членства подгруппы отношения: ∀ г , ч ∈ G , GH ∈ N ⇔ рт.ст. ∈ N . [ необходима цитата ]
Примеры
Для любой группы G , единичная подгруппа { х } , состоящая только из единичного элемента G всегда является нормальной подгруппа группы G . Кроме того, G сам всегда нормальная подгруппа группы G . (Если это единственные нормальные подгруппы, то G называется простой .) [6] Другие названные нормальные подгруппы произвольной группы включают центр группы (набор элементов, которые коммутируют со всеми другими элементами) и коммутатор подгруппа . [7] [8] В более общем смысле, поскольку сопряжение является изоморфизмом, любая характеристическая подгруппа является нормальной подгруппой. [9]
Если G является абелевой группой , то каждая подгруппа Н из G является нормальным, потомуГруппа, которая не является абелевой, но для которой каждая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой группой . [10]
Конкретным примером нормальной подгруппы является подгруппа из симметрической группы , состоящий из тождества и обоих трехциклов. В частности, можно проверить, что каждый смежный класс либо равно сам или равен . С другой стороны, подгруппа это не нормально в поскольку . [11]
В группе кубика Рубика подгруппы, состоящие из операций, которые влияют только на ориентацию угловых или краевых частей, являются нормальными. [12]
Группа трансляций - нормальная подгруппа евклидовой группы в любом измерении. [13] Это означает: применение жесткого преобразования, за которым следует перенос, а затем обратное жесткое преобразование, имеет тот же эффект, что и одиночный перенос. Напротив, подгруппа всех вращений вокруг начала координат не является нормальной подгруппой евклидовой группы, пока размерность не меньше 2: сначала перенос, затем вращение вокруг начала координат, а затем перенос назад обычно не фиксирует начало координат. и поэтому не будет иметь такого же эффекта, как одиночный поворот вокруг начала координат.
Характеристики
- Если Н является нормальной подгруппой группы G , и К является подгруппой группы G , содержащей H , то Н является нормальной подгруппой K . [14]
- Нормальная подгруппа нормальной подгруппы группы не обязательно должна быть нормальной в группе. То есть нормальность - это не переходное отношение . Наименьшей группой, демонстрирующей это явление, является группа диэдра порядка 8. [15] Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы является нормальной. [16] Группа, в которой нормальность транзитивна, называется T-группой . [17]
- Эти две группы G и H являются нормальными подгруппами их прямое произведение G × H .
- Если группа G является полупрямым произведением Затем N нормальна в G , хотя Н не должен быть нормальным в G .
- Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах, [18] т.е. если G → H является сюръективным гомоморфизмом групп и Н нормальна в G , то изображение F ( N ) является нормальным в H .
- Нормальность сохраняется, принимая прообразы , [18] т.е. если G → H гомоморфизм групп и Н является нормальным в H , то прообраз F -1 ( Н ) нормальна в G .
- Нормальность сохраняется при взятии прямых произведений , [19] т. Е. Если а также , тогда .
- Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. В более общем смысле, подгруппа H конечного индекса n в G содержит нормальную в G подгруппу K с индексом, делящим n ! называется нормальным ядром . В частности, если p - наименьшее простое число, делящее порядок группы G , то каждая подгруппа индекса p нормальна. [20]
- Тот факт, что нормальные подгруппы группы G являются в точности ядрами гомоморфизмов групп, определенных на G, объясняет некоторую важность нормальных подгрупп; они являются способом внутренней классификации всех гомоморфизмов, определенных на группе. Например, нетождественная конечная группа проста тогда и только тогда, когда она изоморфна всем своим нетождественным гомоморфным образам [21], конечная группа совершенна тогда и только тогда, когда у нее нет нормальных подгрупп простого индекса , и группа несовершенная тогда и только тогда, когда производная подгруппа не дополняется какой-либо собственной нормальной подгруппой.
Решетка нормальных подгрупп
Для двух нормальных подгрупп N и M группы G их пересечениеи их продукт также нормальные подгруппы G .
Нормальные подгруппы G образуют решетку под включения подмножества с наименьшим элементом , { е } , и наибольший элемент , G . Встречается два нормальных подгрупп, N и M , в этой решетке является их пересечением и присоединиться к их продукт.
Решетка бывает комплектной и модульной . [19]
Нормальные подгруппы, фактор-группы и гомоморфизмы
Если N - нормальная подгруппа, мы можем определить умножение на смежных классах следующим образом:
С помощью этой операции множество смежности сама группа, называется фактор - группа и обозначается G / N . Существует естественный гомоморфизм , F : G → G / N , задается F ( ) = . Этот гомоморфизм отображаетв единичный элемент G / N , который является смежным классом eN = N , [22], то есть.
В общем, гомоморфизм групп, F : G → H посылает подгруппу G на подгруппы H . Кроме того , прообраз любой подгруппы H является подгруппой группы G . Мы называем прообраз тривиальной группы { е } в Н в ядро гомоморфизма и обозначим его через кег ( ф ) . Как выясняется, ядро всегда нормально и образ G , F ( G ) , всегда изоморфны к G / кег ( ф ) ( первая теорема изоморфизмом ). [23] Фактически, это соответствие является биекцией между множеством всех фактор-групп G , G / N и множеством всех гомоморфных образов G (с точностью до изоморфизма). [24] Кроме того , легко видеть , что ядро отображения факторизации, ф : G → G / N , является N само по себе, так что нормальные подгруппы в точности ядра гомоморфизмов с домена G . [25]
Смотрите также
Операции, переводящие подгруппы в подгруппы
- Нормализатор
- Закрытие конъюгата
- Нормальное ядро
Свойства подгруппы, дополняющие (или противоположные) нормальности
- Аномальная подгруппа
- Противоположная подгруппа
- Аномальная подгруппа
- Самонормализующаяся подгруппа
Свойства подгруппы сильнее нормальности
- Характеристическая подгруппа
- Полностью характеристическая подгруппа
Свойства подгруппы слабее нормальности
- Субнормальная подгруппа
- Восходящая подгруппа
- Подгруппа потомков
- Квазинормальная подгруппа
- Полунормальная подгруппа
- Сопряженная перестановочная подгруппа
- Модульная подгруппа
- Пронормальная подгруппа
- Паранормальная подгруппа
- Полинормальная подгруппа
- C-нормальная подгруппа
Связанные понятия в алгебре
- Идеал (теория колец)
Заметки
- Перейти ↑ Bradley 2010 , p. 12.
- ^ a b c Cantrell 2000 , стр. 160.
- ^ Dummit & Фут 2004 .
- ^ а б в г Хангерфорд 2003 , стр. 41.
- ^ Fraleigh 2003 , стр. 141.
- Перейти ↑ Robinson 1996 , p. 16.
- Перейти ↑ Hungerford 2003 , p. 45.
- Перейти ↑ Hall 1999 , p. 138.
- Перейти ↑ Hall 1999 , p. 32.
- Перейти ↑ Hall 1999 , p. 190.
- ^ Джадсон 2020 , раздел 10.1.
- ^ Бергвалл и др. 2010 , стр. 96.
- Перейти ↑ Thurston 1997 , p. 218.
- Перейти ↑ Hungerford 2003 , p. 42.
- Перейти ↑ Robinson 1996 , p. 17.
- Перейти ↑ Robinson 1996 , p. 28.
- Перейти ↑ Robinson 1996 , p. 402.
- ^ a b Холл 1999 , стр. 29.
- ^ а б Хангерфорд 2003 , стр. 46.
- Перейти ↑ Robinson 1996 , p. 36.
- ^ Dõmõsi & Nehaniv 2004 , стр. 7.
- Перейти ↑ Hungerford 2003 , pp. 42–43.
- Перейти ↑ Hungerford 2003 , p. 44.
- Перейти ↑ Robinson 1996 , p. 20.
- Перейти ↑ Hall 1999 , p. 27.
Рекомендации
- Бергвалль, Олоф; Хайннинг, Элин; Хедберг, Микаэль; Микелин, Джоэл; Масаве, Патрик (16 мая 2010 г.). «На кубике Рубика» (PDF) . KTH . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - Кантрелл, CD (2000). Современные математические методы для физиков и инженеров . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-59180-5.
- Дымоси, Пал; Неханив, Кристофер Л. (2004). Алгебраическая теория сетей автоматов . Монографии SIAM по дискретной математике и приложениям. СИАМ.
- Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-43334-9.
- Фрали, Джон Б. (2003). Первый курс абстрактной алгебры (7-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-15608-2.
- Холл, Маршалл (1999). Теория групп . Провиденс: Издательство Челси. ISBN 978-0-8218-1967-8.
- Хангерфорд, Томас (2003). Алгебра . Тексты для выпускников по математике. Springer.
- Джадсон, Томас В. (2020). Абстрактная алгебра: теория и приложения .
- Робинсон, Дерек JS (1996). Курс теории групп . Тексты для выпускников по математике. 80 (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 978-1-4612-6443-9. Zbl 0836.20001 .
- Терстон, Уильям (1997). Леви, Сильвио (ред.). Трехмерная геометрия и топология, Vol. 1 . Принстонский математический ряд. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-08304-9.
- Брэдли, CJ (2010). Математическая теория симметрии в твердых телах: теория представлений точечных и пространственных групп . Оксфорд, Нью-Йорк: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC 859155300 .
дальнейшее чтение
- И. Н. Герштейн , Разделы алгебры. Второе издание. Издательство Xerox College Publishing, Лексингтон, Массачусетс - Торонто, Онтарио, 1975. xi + 388 с.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик У. «нормальная подгруппа» . MathWorld .
- Нормальная подгруппа в энциклопедии математики Спрингера
- Роберт Эш: Основы групп в абстрактной алгебре. Базовый выпускной год
- Тимоти Гауэрс, Нормальные подгруппы и фактор-группы
- Джон Баэз, Что такое нормальная подгруппа?