Логическая эквивалентность

В логике и математике утверждения и считаются логически эквивалентными, если они доказуемы друг из друга с помощью набора аксиом ^[1] или имеют одинаковое значение истинности в каждой модели . ^[2] Логическая эквивалентность и иногда выражается как , , ^[3] , или , в зависимости от используемого обозначения. Однако эти символы также используются для обозначения эквивалентности материалов.${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ Displaystyle р \ экв q}$${\ displaystyle p :: q}$ ${\ displaystyle {\textf {E}} pq}$${\ displaystyle p \ iff q}$, поэтому правильная интерпретация будет зависеть от контекста. Логическая эквивалентность отличается от материальной эквивалентности, хотя эти два понятия неразрывно связаны.

Логические эквивалентности [ править ]

В логике существует много общих логических эквивалентностей, которые часто указываются как законы или свойства. В следующих таблицах показаны некоторые из них.

Общие логические эквивалентности ^[3] [ править ]

Эквивалентность	Имя
${\ Displaystyle р \ клин \ верх \ эквив р}$ ${\ Displaystyle п \ ви \ бот \ эквив р}$	Законы идентичности
${\ Displaystyle п \ ви \ верх \ эквив \ верх}$ ${\ Displaystyle п \ клин \ бот \ эквив \ бот}$	Законы господства
${\ Displaystyle р \ ви р \ эквив р}$ ${\ Displaystyle р \ клин р \ эквив р}$	Законы идемпотентности или тавтологии
${\ Displaystyle \ neg (\ neg p) \ Equiv p}$	Закон двойного отрицания
${\ Displaystyle п \ ви д \ эквив д \ ви р}$ ${\ Displaystyle р \ клин д \ эквив д \ клин р}$	Коммутативные законы
${\ Displaystyle (п \ Ви д) \ Ви р \ экв р \ Ви (д \ Ви г)}$ ${\ Displaystyle (п \ клин д) \ клин г \ эквив р \ клин (д \ клин г)}$	Ассоциативные законы
${\displaystyle p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)}$ ${\displaystyle p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)}$	Распределительные законы
${\displaystyle \neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q}$ ${\displaystyle \neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q}$	Законы де Моргана
${\displaystyle p\vee (p\wedge q)\equiv p}$ ${\displaystyle p\wedge (p\vee q)\equiv p}$	Законы поглощения
${\displaystyle p\vee \neg p\equiv \top }$ ${\displaystyle p\wedge \neg p\equiv \bot }$	Законы отрицания

Логические эквивалентности с использованием условных операторов [ править ]

1. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg p\vee q}$
2. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p}$
3. ${\displaystyle p\vee q\equiv \neg p\implies q}$
4. ${\displaystyle p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)}$
5. ${\displaystyle \neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q}$
6. ${\displaystyle (p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)}$
7. ${\displaystyle (p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)}$
8. ${\displaystyle (p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r}$
9. ${\displaystyle (p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r}$

Логические эквивалентности с участием двусловных [ править ]

1. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)}$
2. ${\displaystyle p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q}$
3. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)}$
4. ${\displaystyle \neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q}$

Примеры [ править ]

В логике [ править ]

Следующие утверждения логически эквивалентны:

1. Если Лиза находится в Дании , значит, она находится в Европе (заявление формы ).${\displaystyle d\implies e}$
2. Если Лиза не в Европе, значит, она не в Дании (указание формы ).${\displaystyle \neg e\implies \neg d}$

Синтаксически (1) и (2) выводятся друг из друга с помощью правил противопоставления и двойного отрицания . Семантически (1) и (2) верны в одних и тех же моделях (интерпретациях, оценках); а именно, те, в которых либо Лиза находится в Дании , ложны, либо Лиза находится в Европе , истинны.

(Обратите внимание, что в этом примере предполагается классическая логика . Некоторые неклассические логики не считают (1) и (2) логически эквивалентными.)

По математике [ править ]

В математике два утверждения и часто считаются логически эквивалентными, если они доказуемы друг из друга с учетом набора аксиом и предположений. Например, утверждение « делится на 6» может рассматриваться как эквивалентное утверждению « делится на 2 и 3», поскольку можно доказать первое из последнего (и наоборот), используя некоторые знания из базовой теории чисел . ^[1]${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Отношение к материальной эквивалентности [ править ]

Логическая эквивалентность отличается от материальной эквивалентности. Формулы и логически эквивалентны тогда и только тогда, когда утверждение об их материальной эквивалентности ( ) является тавтологией. ^[4]${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p\iff q}$

Материальная эквивалентность и (часто пишется как ) сама по себе является другим утверждением на том же объектном языке, что и и . Это утверждение выражает идею « тогда и только тогда, когда ». В частности, значение истинности может меняться от одной модели к другой.${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p\iff q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p\iff q}$

С другой стороны, утверждение о том, что две формулы логически эквивалентны, является утверждением на метаязыке , которое выражает связь между двумя утверждениями и . Утверждения логически эквивалентны, если в каждой модели они имеют одинаковое значение истинности.${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

См. Также [ править ]

• Логическое следствие
• Равная удовлетворенность
• Если и только если
• Логическая двусмысленность
• Логическое равенство
• ≡ символ iff (U + 2261 IDENTICAL TO )
• ∷ является б , как с этим й символом (U + 2237 ДОЛЯ )
• ⇔ двойной ударил biconditional (U + 21D4 ЛЕВЫЙ ПРАВЫЙ DOUBLE ARROW )
• ↔ двунаправленная стрелка (U + 2194 СТРЕЛКА ВЛЕВО ВПРАВО )

Ссылки [ править ]