Противопоставление

В логике и математике , противопоставление относится к умозаключению о переходе от условного оператора в его логически эквивалентные контрапозиции и ассоциированное доказательство метод , известный как доказательство по противопоставлению. ^[1] Противоположное высказывание имеет свои антецедент и следствие перевернутыми и перевернутыми . Например, противоположностью условного утверждения « Если идет дождь, то я ношу пальто», является утверждение « Если я не ношу пальто, значит, дождя не будет». В формулах: контрапозитив есть . ^[2] Закон противопоставления гласит, что условное утверждение истинно тогда и только тогда, когда истинно его противоположное утверждение. ^[3]${\displaystyle P\rightarrow Q}$${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$

Контрапозитив можно сравнить с тремя другими условными утверждениями, относящимися к :${\displaystyle P\rightarrow Q}$

Инверсия ( обратная ), ${\displaystyle \neg P\rightarrow \neg Q}$

« Если не идет дождь, я не ношу пальто ». В отличие от контрапозитива, истинность инверсии совсем не зависит от того, было ли истинным исходное предложение, как показано здесь.

Преобразование ( обратное ),${\displaystyle Q\rightarrow P}$

« Если я ношу пальто, значит, идет дождь ». Обратное на самом деле является противоположностью обратного, и поэтому всегда имеет то же значение истинности, что и обратное (которое, как было сказано ранее, не всегда имеет то же значение истинности, что и исходное суждение).

Отрицание ,${\displaystyle \neg (P\rightarrow Q)}$

« Это не тот случай, когда идет дождь, я ношу свое пальто », или, что то же самое, « Иногда, когда идет дождь, я не ношу свое пальто» . Если отрицание верно, то первоначальное утверждение ( и, в более широком смысле, контрапозитив) ложен.

Обратите внимание, что если истинно и дано одно ложное (т. Е. ), То логически можно сделать вывод, что оно также должно быть ложным (т. Е. ). Это часто называют законом контрапозитива или правилом вывода modus tollens . ^[4]${\displaystyle P\rightarrow Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \neg Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \neg P}$

Интуитивное объяснение [ править ]

На показанной диаграмме Эйлера , если что-то находится в A, это также должно быть в B. Таким образом, мы можем интерпретировать «все A находится в B» как:

${\displaystyle A\to B}$

Также ясно , что все , что не в B (синяя область) не может быть в пределах, либо. Это утверждение, которое можно выразить как:

${\displaystyle \neg B\to \neg A}$

является противоположностью вышеприведенного утверждения. Поэтому можно сказать, что

${\displaystyle (A\to B)\leftrightarrow (\neg B\to \neg A)}$.

На практике эту эквивалентность можно использовать, чтобы упростить доказательство утверждения. Например, если кто-то хочет доказать, что каждая девушка в Соединенных Штатах (A) имеет каштановые волосы (B), можно либо попытаться напрямую доказать , проверив, что все девушки в Соединенных Штатах действительно имеют каштановые волосы, либо попытаться докажите , проверив, что все девушки без каштановых волос действительно находятся за пределами США. В частности, если бы можно было найти хотя бы одну девушку без каштановых волос в США, то это было бы опровергнуто , и то же самое .${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle \neg B\to \neg A}$${\displaystyle \neg B\to \neg A}$${\displaystyle A\to B}$

В общем, для любого оператора , где подразумевает B , не B всегда подразумевает не является . В результате доказательство или опровержение одного из этих утверждений автоматически доказывает или опровергает другое, поскольку они логически эквивалентны друг другу.

Формальное определение [ править ]

Предложение Q подразумевается предложением P, когда выполняется следующее соотношение:

${\displaystyle (P\to Q)}$

Здесь говорится, что «если тогда » или «если Сократ - человек , то Сократ - человек ». В условной , такие как это, является предшествующая , и это следствие . Одно утверждение противоположно другому только тогда, когда его антецедент является отрицательным следствием другого, и наоборот. Таким образом, противозачаточные средства обычно имеют форму:${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle (\neg Q\to \neg P)}$.

То есть: «Если не- , то не- », или, более ясно, «Если нет, то P не так». В нашем примере это передается так: «Если Сократ не человек , то Сократ не человек ». Говорят, что это утверждение противоречит оригиналу и логически эквивалентно ему. Из-за их логической эквивалентности одно утверждение фактически утверждает другое; когда одно истинно , другое также истинно, а когда одно ложно, другое также ложно.${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

Строго говоря, противопоставление может существовать только в двух простых условных выражениях. Однако противопоставление может существовать и в двух сложных универсальных условных выражениях, если они похожи. Таким образом, или «Все s есть s» противопоставляется , или «All non- s are non- s». ^[5]${\displaystyle \forall {x}(P{x}\to Q{x})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \forall {x}(\neg Q{x}\to \neg P{x})}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

Простое доказательство по определению условного [ править ]

В логике первого порядка условное выражение определяется как:

${\displaystyle A\to B\,\leftrightarrow \,\neg A\lor B}$

что можно сделать эквивалентным его противоположному положению, следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg A\lor B\,&\,\leftrightarrow B\lor \neg A\\\,&\,\leftrightarrow \neg B\to \neg A\end{aligned}}}$

Простое доказательство от противного [ править ]

Позволять:

${\displaystyle (A\to B)\land \neg B}$

Принято, что, если A истинно, то B истинно, и также дано, что B не истинно. Затем мы можем показать, что A не может быть истинным от противного. Ведь если бы А было правдой, то Б тоже должно было бы быть правдой (по Modus Ponens ). Однако утверждается, что B неверно, поэтому мы приходим к противоречию. Следовательно, A неверно (при условии, что мы имеем дело с бивалентными утверждениями , которые либо истинны, либо ложны):

${\displaystyle (A\to B)\to (\neg B\to \neg A)}$

Мы можем применить тот же процесс в обратном порядке, исходя из предположений, что:

${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\land A}$

Здесь мы также знаем, что B либо верно, либо нет. Если B неверно, то A также неверно. Однако предполагается, что A истинно, поэтому предположение, что B не истинно, приводит к противоречию, что означает, что это не тот случай, когда B неверно. Следовательно, B должно быть истинным:

${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\to (A\to B)}$

Комбинируя два доказанных утверждения вместе, мы получаем искомую логическую эквивалентность между условным условием и его контрпозитивом:

${\displaystyle (A\to B)\equiv (\neg B\to \neg A)}$

Более строгое доказательство эквивалентности контрапозитивов [ править ]

Логическая эквивалентность между двумя предложениями означает, что они истинны вместе или ложны вместе. Чтобы доказать, что контрапозитивы логически эквивалентны , нам нужно понять, когда материальный подтекст верен или ложен.

${\displaystyle P\to Q}$

Это ложно только тогда, когда истинно и ложно. Следовательно, мы можем свести это предложение к утверждению «Ложно, когда и не- » (т.е. «Верно, когда это не так, и не- »):${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \neg (P\land \neg Q)}$

Элементы конъюнкции можно поменять местами без эффекта (по коммутативности ):

${\displaystyle \neg (\neg Q\land P)}$

Мы определяем как равное " " и как равное (отсюда равно , что равно справедливому ):${\displaystyle R}$${\displaystyle \neg Q}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \neg P}$${\displaystyle \neg S}$${\displaystyle \neg \neg P}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle \neg (R\land \neg S)}$

Он гласит: «Это не тот случай, когда ( R истинно, а S ложно)», что является определением материального условного условия. Затем мы можем сделать эту замену:

${\displaystyle R\to S}$

По возвращаясь R и S обратно в и мы получим желаемую контрапозицию:${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$

Сравнения [ править ]

Примеры [ править ]

Возьмите утверждение « Все красные объекты имеют цвет». Это можно эквивалентно выразить как « Если объект красный, то он имеет цвет ».

• Контрапозициями являются « Если объект не имеет цвета, то это не красное. » Это логически вытекает из нашего первоначального заявления и, как он, это, очевидно , верно.
• Обратный является « Если объект не красный, то он не имеет цвета. » Объект , который является синим цветом не красным, и до сих пор имеет цвета. Следовательно, в этом случае обратное неверно.
• Обратным является « Если объект имеет цвета, то красный. » Объекты могут иметь другие цвета, так и обратные наше утверждение неверно.
• Отрицание является « Там существует красный объект , который не имеет цвета. » Это утверждение неверно , так как первоначальное заявление , которое он отрицает это правда.

Другими словами, контрапозитив логически эквивалентен данному условному утверждению, но недостаточен для двусмысленного .

Точно так же возьмите утверждение « Все четырехугольники имеют четыре стороны » или эквивалентное выражение « Если многоугольник является четырехугольником, то у него четыре стороны ».

• Контрапозициями являются « Если полигон не имеет четыре стороны, то это не четырехугольник. » Это логически вытекает, и , как правило, contrapositives разделяют значение истинности в их условно.
• Обратное является « Если многоугольник не четырехугольник, то он не имеет четыре стороны. » В этом случае, в отличие от предыдущего примера, обратное утверждение верно.
• Обратное является « Если многоугольник имеет четыре стороны, то это четырехугольник. » Опять же , в этом случае, в отличие от предыдущего примера, обратное утверждение верно.
• Отрицание является « Существует , по крайней мере один четырехугольник , который не имеет четыре стороны. » Это утверждение явно ложно.

Поскольку и утверждение, и обратное верны, он называется биконусным и может быть выражен как « Многоугольник является четырехугольником тогда и только тогда, когда он имеет четыре стороны » (фраза тогда и только тогда иногда сокращается как iff .) То есть наличие четырех сторон необходимо для того, чтобы быть четырехугольником, и одного достаточно, чтобы считать его четырехугольником.

Правда [ править ]

• Если утверждение верно, то его противоположность истинна (и наоборот).
• Если утверждение ложно, то его противоположность ложна (и наоборот).
• Если обратное утверждение верно, то верно и обратное (и наоборот).
• Если обратное утверждение ложно, то его обратное неверно (и наоборот).
• Если отрицание утверждения ложно, то утверждение истинно (и наоборот).
• Если утверждение (или его противоположное) и обратное (или обратное) оба истинны или оба ложны, то это известно как логическая двусмысленность .

Заявление [ править ]

Поскольку контрапозитив утверждения всегда имеет то же значение истинности (истинность или ложность), что и само утверждение, он может быть мощным инструментом для доказательства математических теорем (особенно если истинность контрапозитива установить легче, чем истинность утверждения. сам). ^[1] Противопозитивное доказательство является прямым доказательством контрапозитива утверждения. ^[6] Однако косвенные методы, такие как доказательство от противного, также могут использоваться с противопоставлением, как, например, в доказательстве иррациональности квадратного корня из 2 . По определению рационального числа, можно сказать, что « Если рационально, то оно может быть выражено в виде несократимой дроби${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ». Это утверждение верно, потому что это повторение определения. Противоположным этому утверждению является « Если не может быть выражено в виде несократимой дроби, то это не рационально${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ». Этот контрапозитив, как и исходное утверждение, также верен. Следовательно, если можно доказать, что нельзя выразить в виде несократимой дроби, то это должен быть случай, когда число не является рациональным. Последнее можно доказать от противного.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

В предыдущем примере для доказательства теоремы использовалось противоположное определение. Можно также доказать теорему, доказав противоположность утверждения теоремы. Чтобы доказать, что если натуральное число N является неквадратным числом , его квадратный корень иррационален , мы можем эквивалентным образом доказать его противоположность: если натуральное число N имеет рациональный квадратный корень, то N является квадратным числом. Это можно показать, установив √ N равным рациональному выражению a / b, где a и b - положительные целые числа без общего простого множителя, и возведя в квадрат, чтобы получитьN = a ² / b ² и отмечая, что, поскольку N является положительным целым числом, b = 1, так что N = a ² , квадратное число.

Соответствие другим математическим системам [ править ]

Исчисление вероятностей [ править ]

Противопоставление представляет собой пример теоремы Байеса, которая в определенной форме может быть выражена как:

${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}{\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)+\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}}}$.

В приведенном выше уравнении условная вероятность обобщает логическое утверждение , т. Е. В дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ мы также можем присвоить утверждению любую вероятность. Этот термин обозначает базовую ставку (также известную как априорная вероятность ) . Предположим, что это эквивалентно ИСТИННО, и это эквивалентно ЛОЖЬ. Тогда легко увидеть, что когда, то есть когда ИСТИНА. Это потому, что дробь в правой части приведенного выше уравнения равна 1 и, следовательно, эквивалентна ИСТИННОМУ. Следовательно, теорема Байеса${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)}$${\displaystyle P\to \lnot Q}$${\displaystyle a(P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1}$${\displaystyle P\to \lnot Q}$${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=0}$${\displaystyle P\to \lnot Q}$${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1}$${\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0}$${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$представляет собой обобщение противопоставления . ^[7]

Субъективная логика [ править ]

Противопоставление представляет собой пример субъективной теоремы Байеса в субъективной логике, выраженной как:

${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\,{\widetilde {\phi \,}}\,a_{P}\,}$,

где обозначает пару биномиальных условных мнений, предоставленных источником . Параметр обозначает базовую ставку (также известную как априорная вероятность ) . Обозначается пара перевернутых условных мнений . Условное мнение обобщает логическое утверждение , т. Е. В дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ источник может присвоить утверждению любое субъективное мнение. Случай, когда является абсолютно ИСТИННЫМ мнением, эквивалентен тому, что источник говорит, что это ВЕРНО, а случай, когда это абсолютно ЛОЖНОЕ мнение, эквивалентно источнику, говорящему, что оно ЛОЖНО. В случае, когда условное мнение${\displaystyle (\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{P}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})}$${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \omega _{Q\mid P}^{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \omega _{Q\mid P}^{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$абсолютная ИСТИНА теорема субъективного Байеса оператор из субъективной логики производит абсолютное FALSE условное мнение и тем самым абсолютное ИСТИНА условное мнение , которое эквивалентно быть ИСТИНА. Следовательно, субъективная теорема Байеса представляет собой обобщение как противопоставления, так и теоремы Байеса . ^[8]${\displaystyle {\widetilde {\phi \,}}}$${\displaystyle \omega _{P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$${\displaystyle \omega _{\lnot P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

См. Также [ править ]

• Reductio ad absurdum

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Аудун Йосанг, 2016, Субъективная логика; Формализм для рассуждений в условиях неопределенности Спрингер, Чам, ISBN 978-3-319-42337-1 

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с противопоставлением на Викискладе?