Modus tollens

В логике высказываний , модус Толленс ( / м oʊ д ə с т ɒ л ɛ п г / ) ( МТ ), также известный как модус tollendo Толленс ( латинский для «режима , что путем отказа отрицает») ^[1] и отрицать консеквент , ^[2] - это дедуктивная форма аргументации и правило вывода . Modus tollensпринимает форму «Если P, то Q. Не Q. Следовательно, не P.» Это приложение общей истины о том, что если утверждение истинно, то также и его противоположность . Форм - показывает , что вывод из P подразумевает Q к отрицанию Q означает отрицание Р является действительным аргументом.

История правила вывода modus tollens восходит к глубокой древности. ^[3] Первым, кто явно описал аргумент формы modus tollens, был Теофраст . ^[4]

Modus tollens тесно связан с modus ponens . Есть две похожие, но недействительные формы аргументации : подтверждение следствия и отрицание антецедента . См. Также противопоставление и доказательство контрапозитивом .

Объяснение [ править ]

Форма аргумента modus tollens напоминает силлогизм с двумя предпосылками и выводом:

Если Р , то Q .

Не Q .

Поэтому, не P .

Первая посылка является условным ( «если-то») претензии, такие как P влечет Q . Вторая посылка - это утверждение, что Q , следствие условного утверждения, не так. Из этих двух посылок можно логически заключить, что P , антецедент условного требования, также не соответствует действительности.

Например:

Если собака обнаруживает злоумышленника, она лает.

Собака не лаяла.

Таким образом, злоумышленник не был обнаружен собакой.

Если предположить, что обе предпосылки верны (собака будет лаять, если обнаружит злоумышленника, и действительно не лает), то отсюда следует, что злоумышленник не был обнаружен. Это верный аргумент, поскольку заключение не может быть ложным, если посылки верны. (Вполне возможно, что здесь мог быть злоумышленник, которого собака не обнаружила, но это не отменяет аргументацию; первая предпосылка - «если собака обнаруживает злоумышленника». Важно то, что собака обнаруживает или делает не обнаруживать злоумышленника, а не то, есть ли он.)

Другой пример:

Если я убийца с топором, то я могу использовать топор.

Я не могу использовать топор.

Следовательно, я не убийца с топором.

Другой пример:

Если Рекс - курица, значит, он птица.

Рекс не птица.

Следовательно, Рекс не курица

Отношение к modus ponens [ править ]

Любое использование modus tollens может быть преобразовано в использование modus ponens и одно использование транспонирования в предпосылку, что является материальным подтекстом. Например:

Если Р , то Q . (посылка - материальный подтекст)

Если нет Q , то не P . (получено транспонированием)

Не Q . (предпосылка)

Поэтому, не P . (получено от modus ponens )

Точно так же любое использование modus ponens может быть преобразовано в использование modus tollens и транспонирования.

Формальные обозначения [ править ]

В Modus Толленс правило можно сформулировать формально как:

${\ displaystyle {\ frac {P \ to Q, \ neg Q} {\, следовательно, \ neg P}}}$

где означает утверждение "P влечет Q". означает «это не тот случай, когда Q» (или, вкратце, «не Q»). Затем, всякий раз, когда " " и " " появляются сами по себе как строка доказательства , тогда " " может быть действительно помещен в следующую строку.${\ displaystyle P \ to Q}$${\ displaystyle \ neg Q}$${\ displaystyle P \ to Q}$${\ displaystyle \ neg Q}$${\ displaystyle \ neg P}$

В Modus Толленс правило может быть записано в секвенции записи:

${\ displaystyle P \ to Q, \ neg Q \ vdash \ neg P}$

где представляет собой металогическое символ , означающее , что является синтаксическим следствием из и в какой - то логической системе ;${\ displaystyle \ vdash}$${\ displaystyle \ neg P}$${\ displaystyle P \ to Q}$${\ displaystyle \ neg Q}$

или как утверждение функциональной тавтологии или теоремы логики высказываний:

${\ Displaystyle ((P \ к Q) \ земля \ neg Q) \ к \ neg P}$

где и суждения, выраженные в некоторой формальной системе ;${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$

или включая предположения:

${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma \ vdash P \ to Q ~~~ \ Gamma \ vdash \ neg Q} {\ Gamma \ vdash \ neg P}}}$

хотя, поскольку правило не меняет набор предположений, в этом нет строгой необходимости.

Часто можно увидеть более сложные переписывания, включающие modus tollens , например, в теории множеств :

${\displaystyle P\subseteq Q}$

${\displaystyle x\notin Q}$

${\displaystyle \therefore x\notin P}$

(«P является подмножеством Q. x не находится в Q. Следовательно, x не находится в P.»)

Также в логике предикатов первого порядка :

${\displaystyle \forall x:~P(x)\to Q(x)}$

${\displaystyle \neg Q(y)}$

${\displaystyle \therefore ~\neg P(y)}$

(«Для всех x, если x является P, то x является Q. y не является Q. Следовательно, y не является P.»)

Строго говоря, это не примеры modus tollens , но они могут быть получены из modus tollens, используя несколько дополнительных шагов.

Обоснование с помощью таблицы истинности [ править ]

Обоснованность modus tollens может быть ясно продемонстрирована с помощью таблицы истинности .

В случаях modus tollens мы предполагаем в качестве посылки, что p → q истинно, а q ложно. Только одна строка таблицы истинности - четвертая строка - удовлетворяет этим двум условиям. В этой строке p ложно. Следовательно, в каждом случае, когда p → q истинно, а q ложно, p также должно быть ложным.

Формальное доказательство [ править ]

Через дизъюнктивный силлогизм [ править ]

Шаг	Предложение	Вывод
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Данный
2	${\displaystyle \neg Q}$	Данный
3	${\displaystyle \neg P\lor Q}$	Материальное значение (1)
4	${\displaystyle \neg P}$	Дизъюнктивный силлогизм (3,2)

Via reductio ad absurdum [ править ]

Шаг	Предложение	Вывод
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Данный
2	${\displaystyle \neg Q}$	Данный
3	${\displaystyle P}$	Предположение
4	${\displaystyle Q}$	Модус поненс (1,3)
5	${\displaystyle Q\land \neg Q}$	Введение конъюнкции (2,4)
6	${\displaystyle \neg P}$	Reductio ad absurdum (3,5)
7	${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$	Условное введение (2,6)

Через противопоставление [ править ]

Шаг	Предложение	Вывод
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Данный
2	${\displaystyle \neg Q}$	Данный
3	${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$	Противопоставление (1)
4	${\displaystyle \neg P}$	Modus ponens (2,3)

Соответствие другим математическим системам [ править ]

Исчисление вероятностей [ править ]

Modus tollens представляет собой пример закона полной вероятности в сочетании с теоремой Байеса, выраженный как:

${\displaystyle \Pr(P)=\Pr(P\mid Q)\Pr(Q)+\Pr(P\mid \lnot Q)\Pr(\lnot Q)\,}$,

где условные выражения и получены с помощью (расширенной формы) теоремы Байеса, выраженной как:${\displaystyle \Pr(P\mid Q)}$${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)}$

${\displaystyle \Pr(P\mid Q)={\frac {\Pr(Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(Q\mid P)\,a(P)+\Pr(Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}}\;\;\;}$и .${\displaystyle \;\;\;\Pr(P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)+\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}}}$

В приведенных выше уравнениях обозначает вероятность и обозначает базовую ставку (также известную как априорная вероятность ) . Условная вероятность того, обобщает логическое утверждение , то есть в дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ мы можем также назначить любую вероятность заявления. Предположим, что это эквивалентно ИСТИННО, и это эквивалентно ЛОЖЬ. Тогда легко увидеть, что когда и . Это потому, что в последнем уравнении. Следовательно, члены продукта в первом уравнении всегда имеют нулевой множитель, так что коэффициент, эквивалентный${\displaystyle \Pr(Q)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle a(P)}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pr(Q\mid P)}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \Pr(Q)=1}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \Pr(Q)=0}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \Pr(P)=0}$${\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}$${\displaystyle \Pr(Q)=0}$${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0}$${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)=0}$${\displaystyle \Pr(P)=0}$${\displaystyle P}$ЛОЖЬ. Следовательно, закон полной вероятности в сочетании с теоремой Байеса представляет собой обобщение modus tollens . ^[5]

Субъективная логика [ править ]

Modus tollens представляет собой пример оператора абдукции в субъективной логике, выраженный как:

${\displaystyle \omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A}){\widetilde {\circledcirc }}(a_{P},\,\omega _{Q}^{A})\,}$,

где обозначает субъективное мнение о и обозначает пару биномиальных условных мнений, выраженных источником . Параметр обозначает базовую ставку (также известную как априорная вероятность ) . Abduced маргинальное мнение о обозначается . Условное мнение обобщает логическое утверждение , т. Е. В дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ источник может присвоить утверждению любое субъективное мнение. Случай, когда является абсолютно ИСТИННЫМ мнением, эквивалентен сообщению источника , которое является ИСТИННЫМ, а случай, когда является абсолютно ЛОЖНЫМ мнением, эквивалентен источнику${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{P}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}}$${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$${\displaystyle A}$говоря, что это ЛОЖЬ. Похищение оператор из субъективной логики дает абсолютную ЛОЖЬ abduced мнение , когда условное мнение является абсолютной истиной , и , как следствие , мнение является абсолютной ЛОЖЬЮ. Следовательно, абдукция субъективной логики представляет собой обобщение как modus tollens, так и закона полной вероятности в сочетании с теоремой Байеса . ^[6]${\displaystyle Q}$${\displaystyle {\widetilde {\circledcirc }}}$${\displaystyle \omega _{P{\widetilde {\|}}Q}^{A}}$${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$

См. Также [ править ]

• Доказательства отсутствия
• Латинские фразы
• Modus operandi  - Привычки работы
• Modus ponens  - Правило логического вывода
• Modus vivendi  - договоренность, позволяющая конфликтующим сторонам мирно сосуществовать
• Non sequitur
• Доказательство от противоречия  - форма косвенного доказательства, устанавливающего истинность или действительность предложения.
• Доказательство контрапозитивным
• Стоическая логика  - система логики высказываний, разработанная философами-стоиками.

Заметки [ править ]

Источники [ править ]

• Аудун Йосанг, 2016, Субъективная логика; Формализм для рассуждений в условиях неопределенности Спрингер, Чам, ISBN 978-3-319-42337-1 

Внешние ссылки [ править ]

• Модус Толленс в Wolfram MathWorld