Двойное отрицание

В логике высказываний , двойное отрицание является теорема , которая гласит , что «Если утверждение верно, то это не так , что это утверждение не соответствует действительности.» Это выражается тем, что суждение является логически эквивалентно , чтобы не (не-А ), или с помощью формулы А ≡ ~ (~ А) , где знак ≡ выражает логическую эквивалентность и знак ~ выражает отрицание . ^[1]

Как и закон исключенного третьего , этот принцип считается законом мышления в классической логике , ^[2] , но он запрещен в интуиционистской логике . ^[3] Этот принцип был сформулирован как теорема логики высказываний по Рассел и Уайтхед в Principia Mathematica как:

${\ Displaystyle \ mathbf {* 4 \ cdot 13}. \ \ \ vdash. \ п \ \ эквив \ толстый (\ толстый п)}$^[4]

«Это принцип двойного отрицания, т.е. предложение эквивалентно ложности своего отрицания».

Устранение и введение [ править ]

Двойное устранение отрицания и двойное введение отрицания две действительные правила замены . Они являются умозаключения , что если верно, то не не-А истинно и его обратное , что, если не не-А истинно, то верно. Правило позволяет вводить или исключать отрицание из формального доказательства . Правило основано на эквивалентности, например, ложно, что не идет дождь. и идет дождь.

Двойное введение отрицания правило:

P P${\ displaystyle \ Rightarrow}$ ${\ displaystyle \ neg}$${\ displaystyle \ neg}$

и правило исключения двойного отрицания :

${\ displaystyle \ neg}$${\ displaystyle \ neg}$P P${\ displaystyle \ Rightarrow}$

Где " " - металогический символ, представляющий "можно заменить в доказательстве на".${\ displaystyle \ Rightarrow}$

В логике, имеющей оба правила, отрицание - это инволюция .

Формальные обозначения [ править ]

Введение двойного отрицания правило может быть записано в секвенции записи:

${\ Displaystyle P \ vdash \ neg \ neg P}$

Устранение двойного отрицания правило можно записать в виде:

${\ displaystyle \ neg \ neg P \ vdash P}$

В форме правила :

${\ displaystyle {\ frac {P} {\ neg \ neg P}}}$

и

${\ displaystyle {\ frac {\ neg \ neg P} {P}}}$

или как тавтология (простое предложение исчисления высказываний):

${\ displaystyle P \ to \ neg \ neg P}$

и

${\ displaystyle \ neg \ neg P \ to P}$

Их можно объединить в одну двусмысленную формулу:

${\ displaystyle \ neg \ neg P \ leftrightarrow P}$.

Поскольку бикондиционность - это отношение эквивалентности , любой экземпля𠬬 A в правильно сформированной формуле может быть заменен на A , оставляя неизменным истинностное значение правильно сформированной формулы.

Двойное отрицательное исключение - это теорема классической логики , но не более слабых логик, таких как интуиционистская логика и минимальная логика . Введение двойного отрицания - это теорема как интуиционистской логики, так и минимальной логики как есть .${\ displaystyle \ neg \ neg \ neg A \ vdash \ neg A}$

Из-за их конструктивного характера утверждение типа « Дело не в том, что дождь» слабее, чем «Идет дождь». Последнее требует доказательства дождя, тогда как первое требует просто доказательства того, что дождь не будет противоречивым. Это различие также возникает в естественном языке в виде литот .

Доказательства [ править ]

В классической системе исчисления высказываний [ править ]

В дедуктивных системах гильбертовского типа для логики высказываний двойное отрицание не всегда принимается как аксиома (см. Список систем Гильберта ), а скорее является теоремой. Опишем доказательство этой теоремы в системе трех аксиом, предложенной Яном Лукасевичем :

А1. ${\ displaystyle \ phi \ to \ left (\ psi \ to \ phi \ right)}$

A2. ${\ displaystyle \ left (\ phi \ to \ left (\ psi \ rightarrow \ xi \ right) \ right) \ to \ left (\ left (\ phi \ to \ psi \ right) \ to \ left (\ phi \ в \ xi \ right) \ right)}$

A3. ${\displaystyle \left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)}$

Мы используем доказанную здесь лемму , которую мы называем (L1), и используем следующую дополнительную лемму, доказанную здесь :${\displaystyle p\to p}$

(L2) ${\displaystyle p\to ((p\to q)\to q)}$

Сначала докажем . Для краткости обозначим φ ₀ . Мы также неоднократно используем метод гипотетической метатеоремы силлогизма как сокращение для нескольких шагов доказательства.${\displaystyle \neg \neg p\to p}$${\displaystyle q\to (r\to q)}$

(1)       (пример (A1))${\displaystyle \varphi _{0}}$

(2)       (пример (A3))${\displaystyle (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)\to (\neg p\to \neg \varphi _{0})}$

(3)       (пример (A3))${\displaystyle (\neg p\to \neg \varphi _{0})\to (\varphi _{0}\to p)}$

(4)       (из (2) и (3) по гипотетической метатеореме силлогизма)${\displaystyle (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)\to (\varphi _{0}\to p)}$

(5)       (пример (A1))${\displaystyle \neg \neg p\to (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)}$

(6)       (из (4) и (5) с помощью гипотетической метатеоремы силлогизма)${\displaystyle \neg \neg p\to (\varphi _{0}\to p)}$

(7)       (экземпляр (L2))${\displaystyle \varphi _{0}\to ((\varphi _{0}\to p)\to p)}$

(8)       (из (1) и (7) по modus ponens)${\displaystyle (\varphi _{0}\to p)\to p}$

(9)       (из (6) и (8) с помощью гипотетической метатеоремы силлогизма)${\displaystyle \neg \neg p\to p}$

Теперь докажем .${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

(1)       (пример первой части только что доказанной теоремы)${\displaystyle \neg \neg \neg p\to \neg p}$

(2)       (пример (A3))${\displaystyle (\neg \neg \neg p\to \neg p)\to (p\to \neg \neg p)}$

(3)       (из (1) и (2) по modus ponens)${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

И доказательство закончено.

См. Также [ править ]

• Негативный перевод Гёделя – Гентцена

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Уильям Гамильтон , 1860, Лекции по метафизике и логике, Vol. II. Логика; Под редакцией Генри Мансела и Джона Вейтча , Бостон, Гулд и Линкольн.
• Кристоф Сигварт , 1895, Логика: суждение, концепция и вывод; Второе издание, переведенное Хелен Денди , Macmillan & Co., Нью-Йорк.
• Стивен К. Клини , 1952 г., Введение в метаматематику , 6-е переиздание с исправлениями 1971 г., издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, штат Нью-Йорк, ISBN  0-7204-2103-9 .
• Стивен К. Клини , 1967, математическая логика , издание Dover 2002, Dover Publications, Inc, Mineola NY ISBN 0-486-42533-9 
• Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел , Principia Mathematica to * 56 , 2-е издание 1927 г., перепечатка 1962 г., Кембридж, издательство University Press.