Гипотетический силлогизм

В классической логике , гипотетический силлогизм является действительным форма аргумент , который является силлогизм , имеющий условное выражение для одного или обоих из его помещений .

Пример на английском :

Если я не просыпаюсь, то не могу пойти на работу.

Если я не могу пойти на работу, мне не будут платить.

Следовательно, если я не проснусь, то мне не заплатят.

Термин произошел от Теофраста . ^[1]

Логика высказываний [ править ]

В логике высказываний , гипотетический силлогизм это имя действительного правила вывода (часто сокращенно HS , а иногда также называют цепь аргументов , цепное правило , или принцип транзитивности импликации ). Правило может быть сформулировано:

${\ displaystyle {\ frac {P \ to Q, Q \ to R} {\, следовательно, P \ to R}}}$

где правило состоит в том, что всякий раз, когда экземпляры " " и " " появляются в строках доказательства , " " могут быть помещены в следующую строку.${\ displaystyle P \ to Q}$${\ displaystyle Q \ to R}$${\ displaystyle P \ to R}$

Гипотетический силлогизм тесно связан с дизъюнктивным силлогизмом и похож на него в том смысле , что это тоже тип силлогизма, а также название правила вывода.

Применимость [ править ]

Правило гипотетического силлогизма сохраняется в классической логике , интуиционистской логике , большинстве систем релевантной логики и многих других системах логики. Однако это справедливо не для всех логик, включая, например, немонотонную логику , вероятностную логику и логику по умолчанию . Причина этого в том, что эти логики описывают выполнимые рассуждения , а условные выражения , которые появляются в реальных контекстах, обычно допускают исключения, допущения по умолчанию, условия при прочих равных или просто неопределенность.

Пример, полученный от Адамса , ^[2]

(1) Если Джонс победит на выборах, Смит уйдет в отставку после выборов.

(2) Если Смит умрет до выборов, Джонс победит на выборах.

(3) Если Смит умрет до выборов, Смит уйдет в отставку после выборов.

Ясно, что (3) не следует из (1) и (2). (1) верно по умолчанию, но не выполняется в исключительных обстоятельствах смерти Смита. На практике условные выражения реального мира всегда имеют тенденцию включать допущения или контексты по умолчанию, и может оказаться невозможным или даже невозможным указать все исключительные обстоятельства, в которых они могут оказаться неверными. По тем же причинам правило гипотетического силлогизма не выполняется для контрфактических условных выражений .

Формальные обозначения [ править ]

Гипотетическое умозаключение правило вывода может быть записано в секвенции записи, которая составляет специализацию правила сечения:

${\ displaystyle {\ frac {P \ vdash Q \ quad Q \ vdash R} {P \ vdash R}}}$

где это металогический символ и значение , которое является синтаксическим следствием из в какой - то логической системе ;${\ displaystyle \ vdash}$${\ Displaystyle A \ vdash B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$

и выражается в истинности функциональной тавтологии или теоремы о логике высказываний :

${\ Displaystyle ((п \ к Q) \ земля (Q \ к R)) \ к (P \ к R)}$

где , и суждения, выраженные в некоторой формальной системе .${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle R}$

Доказательство ^[3] [ править ]

Шаг	Предложение	Вывод
1	${\ displaystyle P \ to Q}$	Данный
2	${\ displaystyle Q \ to R}$	Данный
3	${\ displaystyle P}$	Условное доказательство предположения
4	${\ displaystyle Q}$	Модус поненс (1,3)
5	${\ displaystyle R}$	Modus ponens (2,4)
6	${\ displaystyle P \ to R}$	Условное доказательство (3-5)

Альтернативные формы [ править ]

Альтернативная форма гипотетического силлогизма, более полезная для классических систем исчисления высказываний с импликацией и отрицанием (то есть без символа конъюнкции), следующая:

(HS1) ${\displaystyle (Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R))}$

Еще одна форма:

(HS2) ${\displaystyle (P\to Q)\to ((Q\to R)\to (P\to R))}$

Доказательство [ править ]

Ниже приводится пример доказательства этих теорем в таких системах. Мы используем две из трех аксиом, используемых в одной из популярных систем, описанных Яном Лукасевичем . Доказательства опираются на две из трех аксиом этой системы:

(A1) ${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

(A2) ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

Доказательство (HS1) выглядит следующим образом:

(1)       (пример (A1))${\displaystyle ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))}$

(2)       (пример (A2))${\displaystyle (p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

(3)       (из (1) и (2) по modus ponens )${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))}$

(4)       (пример (A2))${\displaystyle ((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))\to (((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))))}$

(5)       (из (3) и (4) по modus ponens )${\displaystyle ((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r)))}$

(6)       (пример (A1))${\displaystyle (q\to r)\to (p\to (q\to r))}$

(7) (из (5) и (6) по modus ponens )${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

Доказательство (HS2) приводится здесь .

Как метатеорема [ править ]

Всякий раз, когда у нас есть две теоремы вида и , мы можем доказать , выполнив следующие шаги:${\displaystyle T_{1}=(Q\to R)}$${\displaystyle T_{2}=(P\to Q)}$${\displaystyle (P\to R)}$

(1)       (пример доказанной теоремы)${\displaystyle (Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R)))}$

(2)       (пример (T1))${\displaystyle Q\to R}$

(3)       (из (1) и (2) по modus ponens)${\displaystyle (P\to Q)\to (P\to R)}$

(4)       (пример (T2))${\displaystyle P\to Q}$

(5)       (из (3) и (4) по modus ponens)${\displaystyle P\to R}$

См. Также [ править ]

• Modus ponens
• Modus tollens
• Утверждая следствие
• Отрицание антецедента
• Переходное отношение

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Индекс философии: гипотетический силлогизм