Существенное значение (правило вывода)

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Декабрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В логике высказываний , материальная импликация ^{[1] [2]} является действительным правилом замены , что позволяет для условного оператора , чтобы заменить дизъюнкции , в которой антецедент является отрицаются . Правило гласит , что P подразумевает Q является логическим эквивалентом для не-P или Q и любой формы может заменить другие в логических доказательствах .

${\ displaystyle P \ to Q \ Leftrightarrow \ neg P \ lor Q}$

Где " " - металогический символ, представляющий "может быть заменен в доказательстве на", а P и Q - любые заданные утверждения .${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$

Формальные обозначения [ править ]

Материал Подразумевается правило может быть записано в секвенции обозначения:

${\ Displaystyle (п \ к Q) \ vdash (\ neg P \ lor Q)}$

где представляет собой металогическое символ , означающее , что является синтаксическим следствием из в какой - то логической системе;${\ displaystyle \ vdash}$${\ displaystyle (\ neg P \ lor Q)}$${\ displaystyle (P \ to Q)}$

или в форме правила :

${\ displaystyle {\ frac {P \ to Q} {\ neg P \ lor Q}}}$

где правило гласит, что всякий раз, когда в строке доказательства появляется " ", его можно заменить на " ";${\ displaystyle P \ to Q}$${\ displaystyle \ neg P \ lor Q}$

или как утверждение функциональной тавтологии истинности или теоремы логики высказываний:

${\ Displaystyle (п \ к Q) \ к (\ отр P \ лор Q)}$

где и суждения, выраженные в некоторой формальной системе .${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$

Частичное доказательство [ править ]

Предположим, нам дано это . Тогда, поскольку мы имеем по закону исключенного третьего , отсюда следует (рассуждая по делам), что .${\ displaystyle P \ to Q}$${\ displaystyle \ neg P \ lor P}$${\ displaystyle \ neg P \ lor Q}$

Допустим, нам наоборот дано . Тогда, если это правда, это исключает первое дизъюнктирование, так что мы имеем . Короче говоря, . ^[3] Однако, если ложно, то это следствие не выполняется, потому что первый дизъюнкт истинен, что не накладывает ограничений на второй дизъюнкт . Значит, ничего нельзя сказать . В общем, эквивалентность в случае ложного только условна, и, следовательно, формальное доказательство эквивалентности является лишь частичным. ${\ displaystyle \ neg P \ lor Q}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle P \ to Q}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ neg P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle P \ to Q}$${\ displaystyle P}$

Это также можно выразить с помощью таблицы истинности :

Пример [ править ]

Пример:

Нам дан условный факт, что если это медведь, то он умеет плавать. Затем все 4 возможности в таблице истинности сравниваются с этим фактом.

1-й: Если это медведь, то он умеет плавать - T

2-й: Если это медведь, то он не умеет плавать - F

3-й: Если это не медведь, то он умеет плавать - Т, потому что это не противоречит нашему изначальному факту.

4-й: Если это не медведь, то он не умеет плавать - Т (как выше)

Таким образом, условный факт может быть преобразован в «это не медведь» или «он умеет плавать», где есть утверждение «это медведь» и утверждение «он может плавать».${\ displaystyle \ neg P \ vee Q}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$

Ссылки [ править ]