Деструктивная дилемма

Разрушительная дилемма ^{[1] [2]} является именем действительного правила вывода из логики . Вывод заключается в том, что если P влечет Q, а R влечет S и либо Q ложно, либо S ложно, то либо P, либо R должны быть ложными. В итоге, если два условных оператора истинны, но одно из их следствий ложно, то одно из их предшественников должно быть ложным. Деструктивная дилемма - дизъюнктивнаяверсия модуля толленс . Дизъюнктивная версия modus ponens - это конструктивная дилемма . Правило деструктивной дилеммы можно сформулировать:

${\ displaystyle {\ frac {P \ to Q, R \ to S, \ neg Q \ lor \ neg S} {\ поэтому \ neg P \ lor \ neg R}}}$

где правило таково, что везде, где экземпляры " ", " " и " " появляются в строках доказательства, " " могут быть помещены в следующую строку.${\ displaystyle P \ to Q}$${\ displaystyle R \ to S}$${\ displaystyle \ neg Q \ lor \ neg S}$${\ displaystyle \ neg P \ lor \ neg R}$

Формальные обозначения [ править ]

Разрушительная дилемма правило может быть записано в секвенции записи:

${\displaystyle (P\to Q),(R\to S),(\neg Q\lor \neg S)\vdash (\neg P\lor \neg R)}$

где представляет собой металогическое символ , означающее , что является синтаксическим следствием из , и в какой - то логической системе ;${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle \neg P\lor \neg R}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle R\to S}$${\displaystyle \neg Q\lor \neg S}$

и выражается как функциональная тавтология истинности или теорема логики высказываний:

${\displaystyle (((P\to Q)\land (R\to S))\land (\neg Q\lor \neg S))\to (\neg P\lor \neg R)}$

где , , и являются предложения , выраженные в какой - то формальной системе .${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$

Пример естественного языка [ править ]

Если пойдет дождь, мы останемся внутри.

Если будет солнечно, пойдем гулять.

Либо мы не останемся внутри, либо не пойдем гулять, либо и то, и другое.

Поэтому либо дождя не будет, либо не будет солнечно, либо и то, и другое.

Доказательство [ править ]

Шаг	Предложение	Вывод
1	${\displaystyle P\to Q}$	Данный
2	${\displaystyle R\to S}$	Данный
3	${\displaystyle \neg Q\lor \neg S}$	Данный
4	${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$	Транспозиция (1)
5	${\displaystyle \neg S\to \neg R}$	Транспозиция (2)
6	${\displaystyle (\neg Q\to \neg P)\land (\neg S\to \neg R)}$	Введение конъюнкции (4,5)
6	${\displaystyle \neg P\lor \neg R}$	Конструктивная дилемма (6,3)

Пример доказательства [ править ]

Справедливость этой структуры аргументов может быть продемонстрирована с помощью как условного доказательства (CP), так и сокращения до абсурда (RAA) следующим образом:

1.	${\displaystyle ((P\rightarrow Q)\And (R\rightarrow S))\And (\neg Q\vee \neg S)}$	(Предположение CP)
2.	${\displaystyle (P\rightarrow Q)\And (R\rightarrow S)}$	(1: упрощение)
3.	${\displaystyle (P\rightarrow Q)}$	(2: упрощение)
4.	${\displaystyle (R\rightarrow S)}$	(2: упрощение)
5.	${\displaystyle (\neg Q\vee \neg S)}$	(1: упрощение)
6.	${\displaystyle \neg (\neg P\vee \neg R)}$	(Предположение RAA)
7.	${\displaystyle \neg \neg P\And \neg \neg R}$	(6: Закон Де Моргана )
8.	${\displaystyle \neg \neg P}$	(7: упрощение)
9.	${\displaystyle \neg \neg R}$	(7: упрощение)
10.	${\displaystyle P}$	(8: двойное отрицание )
11.	${\displaystyle R}$	(9: двойное отрицание)
12.	${\displaystyle Q}$	(3,10: модус поненс)
13.	${\displaystyle S}$	(4,11: modus ponens)
14.	${\displaystyle \neg \neg Q}$	(12: двойное отрицание)
15.	${\displaystyle \neg S}$	(5, 14: дизъюнктивный силлогизм )
16.	${\displaystyle S\And \neg S}$	(13,15: соединение )
17.	${\displaystyle \neg P\vee \neg R}$	(6–16: RAA)
18.	${\displaystyle (((P\rightarrow Q)\And (R\rightarrow S))\And (\neg Q\vee \neg S)))\rightarrow \neg P\vee \neg R}$	(1-17: CP)

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Ховард-Снайдер, Фрэнсис; Ховард-Снайдер, Дэниел; Вассерман, Райан. Сила логики (4-е изд.). Макгроу-Хилл, 2009 г., ISBN  978-0-07-340737-1 , стр. 414.

Внешние ссылки [ править ]

• http://mathworld.wolfram.com/DestructiveDilemma.html