Конструктивная дилемма

Конструктивная дилемма ^{[1] [2] [3]} является действительным правилом вывода из логики . Вывод заключается в том, что если P влечет Q, а R влечет S и либо P, либо R истинны, то либо Q, либо S должны быть истинными. В итоге, если два условных оператора истинны и хотя бы одно из их предшественников истинно, то, по крайней мере, одно из их следствий должно быть таким же. Конструктивная дилемма - это дизъюнктивная версия modus ponens , тогда как Деструктивная дилемма - это дизъюнктивная версия modus tollens . Правило конструктивной дилеммы можно сформулировать:

${\ displaystyle {\ frac {(P \ to Q), (R \ to S), P \ lor R} {\, следовательно, Q \ lor S}}}$

где правило состоит в том, что всякий раз, когда экземпляры « », « » и « » появляются в строках доказательства, « » могут быть помещены в следующую строку.${\ displaystyle P \ to Q}$${\ displaystyle R \ to S}$${\ Displaystyle P \ lor R}$${\ Displaystyle Q \ lor S}$

Формальные обозначения [ править ]

Конструктивная дилемма правило может быть записано в секвенции записи:

${\ Displaystyle (п \ к Q), (р \ к S), (п \ лор р) \ vdash (Q \ лор S)}$

где представляет собой металогическое символ , означающее , что является синтаксическим следствием из , и в какой - то логической системе ;${\ displaystyle \ vdash}$${\ Displaystyle Q \ lor S}$${\ displaystyle P \ to Q}$${\ displaystyle R \ to S}$${\ Displaystyle P \ lor R}$

и выражается как функциональная тавтология истинности или теорема логики высказываний:

${\ Displaystyle (((P \ к Q) \ земля (R \ к S)) \ земля (P \ lor R)) \ к (Q \ lor S)}$

где , , и являются предложения , выраженные в какой - то формальной системе .${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$

Доказательство ^[4] [ править ]

Шаг	Предложение	Вывод
1	${\ displaystyle P \ to Q}$	Данный
2	${\ displaystyle R \ to S}$	Данный
3	${\ Displaystyle P \ lor R}$	Данный
4	${\ Displaystyle \ neg \ neg P \ lor R}$	Двойное отрицание (3)
5	${\ displaystyle \ neg P \ to R}$	Материальное значение (4)
6	${\ displaystyle \ neg Q \ to \ neg P}$	Транспозиция (1)
7	${\ displaystyle \ neg Q \ to R}$	Гипотетический силлогизм (6,5)
8	${\ displaystyle \ neg Q \ to S}$	Гипотетический силлогизм (7,2)
9	${\ Displaystyle \ neg \ neg Q \ lor S}$	Материальное значение (8)
10	${\ Displaystyle Q \ lor S}$	Двойное отрицание (9)

Пример естественного языка [ править ]

Если я выиграю миллион долларов, я пожертвую его детскому дому.

Если мой друг выиграет миллион долларов, он пожертвует его в фонд дикой природы.

Либо я выиграю миллион долларов, либо мой друг выиграет миллион долларов.

Таким образом, либо приют получит миллион долларов, либо фонд дикой природы получит миллион долларов.

Дилемма получила свое название из-за передачи дизъюнктивного оператора.

Ссылки [ править ]