Транспонирование (логика)

В логике высказываний , транспозиция ^{[1] [2] [3]} является действительным правилом замены , что позволяет одному переключить антецедент с следствием о наличии условного оператора в логическом доказательстве , если они также являются и сведены на нет . Это вывод из истинности утверждения « А влечет Б » истина «Не- Б влечет не- А », и наоборот. ^{[4] [5]} Это очень тесно связано с правилом вывода modus tollens. Это правило:

${\displaystyle (P\to Q)\Leftrightarrow (\neg Q\to \neg P)}$

Где " " - металогический символ, представляющий "может быть заменен в доказательстве на".${\displaystyle \Leftrightarrow }$

Формальные обозначения [ править ]

Транспозиции правило может быть выражено в виде секвенции :

${\displaystyle (P\to Q)\vdash (\neg Q\to \neg P)}$

где представляет собой металогическое символ , означающее , что является синтаксическим следствием из в какой - то логической системе;${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle (\neg Q\to \neg P)}$${\displaystyle (P\to Q)}$

или как правило вывода:

${\displaystyle {\frac {P\to Q}{\therefore \neg Q\to \neg P}}}$

где правило гласит, что всякий раз, когда в строке доказательства появляется " ", его можно заменить на " ";${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$

или как утверждение функциональной тавтологии истинности или теоремы логики высказываний. Этот принцип был сформулирован как теорема логики высказываний Расселом и Уайтхедом в Principia Mathematica как:

${\displaystyle (P\to Q)\to (\neg Q\to \neg P)}$

где и суждения, выраженные в некоторой формальной системе .${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

Традиционная логика [ править ]

Форма транспонирования [ править ]

В предполагаемом предложении консеквент является противоречием антецеденту исходного предложения, а антецедент предполагаемого предложения противоречит консеквенту исходного предложения. Символ материальной импликации обозначает предложение как гипотетическое, или форму «если-то», например, «если P, то Q».

Двуусловное утверждение правила транспозиции (↔) относится к отношениям между гипотетическими (→) предложениями , причем каждое предложение включает предшествующий и последующий термин. С точки зрения логического вывода, для транспонирования или преобразования терминов одного предложения требуется преобразование терминов в предложениях по обе стороны двухусловного отношения. Это означает, что для транспонирования или преобразования (P → Q) в (Q → P) требуется, чтобы другое предложение (~ Q → ~ P) было транспонировано или преобразовано в (~ P → ~ Q). В противном случае преобразование условий одного предложения, а не другого, делает правило недействительным, нарушая достаточное условие и необходимое условие.условий предложений, где нарушение состоит в том, что измененное предложение совершает ошибку, отрицая предшествующее или подтверждая следствие посредством незаконного преобразования .

Истинность правила транспонирования зависит от логических соотношений достаточного и необходимого условий.

Достаточное условие [ править ]

В предложении «Если P, то Q» наличие «P» является достаточной причиной появления «Q». «P», как индивидуум или класс, материально подразумевает «Q», но отношение «Q» к «P» таково, что обратное утверждение «Если Q, то P» не обязательно имеет достаточное условие. Правило вывода для достаточного условия - это modus ponens , который является аргументом в пользу условной импликации:

Предпосылка (1): Если P, то Q

Предпосылка (2): P

Вывод: Следовательно, Q

Необходимое условие [ править ]

Поскольку обратная посылка (1) неверна, все, что можно сказать о взаимосвязи «P» и «Q», - это то, что в отсутствие «Q» «P» не встречается, что означает, что «Q» является необходимым условием для «P». Правило вывода для необходимого условия - это modus tollens :

Предпосылка (1): Если P, то Q

Предпосылка (2): не Q

Вывод: Следовательно, не P

Пример необходимости и достаточности [ править ]

Примером, традиционно используемым логиками для противопоставления достаточных и необходимых условий, является утверждение «Если есть огонь, значит, кислород». Насыщенная кислородом среда необходима для пожара или горения, но просто потому, что она насыщена кислородом, не обязательно означает, что происходит пожар или возгорание. Хотя можно сделать вывод, что огонь обусловливает присутствие кислорода, из присутствия кислорода нельзя сделать вывод обратного утверждения: «Если есть кислород, значит, есть огонь». Все, что можно вывести из первоначального предположения, - это то, что «Если нет кислорода, то не может быть огня».

Связь предложений [ править ]

Символ биконусного («↔») означает, что отношения между предложениями являются необходимыми и достаточными, и озвучивается как « тогда и только тогда », или, согласно примеру «Если P, то Q 'тогда и только тогда, когда» если не Q, то не P ».

Необходимые и достаточные условия можно объяснить по аналогии с точки зрения понятий и правил непосредственного вывода традиционной логики. В категориальном предложении «Все S есть P» субъектный термин «S» называется распределенным, то есть все члены его класса исчерпаны в своем выражении. И наоборот, предикатный термин «P» нельзя сказать, что он распределен или исчерпан в своем выражении, потому что не определено, является ли каждый экземпляр члена «P» как класса также членом «S» как класса. Все, что можно обоснованно вывести, - это то, что «Некоторые P суть S». Таким образом, предложение типа «A» «Все P есть S» не может быть выведено путем преобразования из исходного предложения типа «A» «Все S есть P». Все, что можно сделать, это тип "А".предложение «Все не-P не-S» (обратите внимание, что (P → Q) и (~ Q → ~ P) оба суждения типа «A»). Грамматически нельзя вывести «все смертные люди» из «Все люди смертны». Утверждение типа «А» может быть немедленно выведено путем преобразования, когда и подлежащее, и сказуемое распределены, как в выводе «Все холостяки - неженатые мужчины» из «Все неженатые мужчины - холостяки».Все холостяки - неженатые мужчины »из« Все неженатые мужчины - холостяки ».Все холостяки - неженатые мужчины »из« Все неженатые мужчины - холостяки ».

Транспозиция и метод противопоставления [ править ]

В традиционной логике процесс рассуждения транспозиции , как правило умозаключения применяется к категорическим суждениям через противопоставление и obversion , ^[6]серия немедленных выводов, в которых правило возражения сначала применяется к исходному категориальному утверждению «Все S есть P»; что дает лицевую сторону "Нет S не P". При превращении исходного предложения в предложение типа «Е» оба термина становятся распределенными. Затем лицевую сторону конвертируют, в результате получается «Нет, кроме P, S», с сохранением распределения обоих терминов. «Нет не-Р есть S» снова отменяется, что приводит к [контрапозитиву] «Все не-Р есть не-S». Поскольку в определении противопоставления ничего не сказано относительно предиката предполагаемого предложения, это допустимо, чтобы это мог быть исходный субъект или его противоречие, и предикатный член результирующего предложения типа «A» снова нераспределен. Это приводит к двум противоположным ответам:один, где предикатный термин распределен, а другой, где предикатный термин нераспределен.^[7]

Различия между транспонированием и противопоставлением [ править ]

Учтите, что не следует путать метод транспозиции и противопоставления. Противопоставление - это тип немедленного вывода, при котором из данного категориального предложения выводится другое категориальное предложение, имеющее в качестве своего предмета противоречие исходному предикату. Поскольку в определении противопоставления ничего не говорится о предикате выведенного предложения, допустимо, чтобы оно могло быть исходным субъектом или его противоречием. Это противоречит форме предложений транспонирования, которые могут быть материальным подтекстом или гипотетическим утверждением. Разница в том, что в применении к категориальным суждениям результатом противопоставления являются два контрапозитива, каждый из которых является лицевой стороной другого ^[8].т.е. «Никакое не-P не является S» и «Все не-P не-S». Различие между двумя противопоставлениями поглощается и устраняется в принципе транспозиции, который предполагает «опосредованные выводы» ^[9] противопоставления и также упоминается как «закон противопоставления». ^[10]

Транспонирование в математической логике [ править ]

См. Транспонирование (математика) , Теория множеств.

Доказательства [ править ]

Предложение	Вывод
${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Данный
${\displaystyle \neg P\lor Q}$	Материальное значение
${\displaystyle Q\lor \neg P}$	Коммутативность
${\displaystyle \neg \neg Q\lor \neg P}$	Двойное отрицание
${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$	Материальное значение

В классической системе исчисления высказываний [ править ]

В дедуктивных системах гильбертовского стиля для логики высказываний только одна сторона транспонирования считается аксиомой, а другая - теоремой. Опишем доказательство этой теоремы в системе трех аксиом, предложенной Яном Лукасевичем :

А1. ${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

A2. ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

A3. ${\displaystyle \left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)}$

(A3) уже дает одно из направлений перестановки. Другая сторона, если она будет доказана ниже, используя следующие доказанные здесь леммы :${\displaystyle (\psi \to \phi )\to (\neg \phi \to \neg \psi )}$

(DN1) - двойное отрицание (одно направление)${\displaystyle \neg \neg p\to p}$

(DN2) - Двойное отрицание (другое направление)${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

(HS1) - одна из форм гипотетического силлогизма${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

(HS2) - еще одна форма гипотетического силлогизма.${\displaystyle (p\to q)\to ((q\to r)\to (p\to r))}$

Мы также используем метод гипотетической метатеоремы силлогизма как сокращение для нескольких шагов доказательства.

Доказательство таково:

(1)       (экземпляр (DN2))${\displaystyle q\to \neg \neg q}$

(2)       (экземпляр (HS1)${\displaystyle (q\to \neg \neg q)\to ((p\to q)\to (p\to \neg \neg q))}$

(3)       (из (1) и (2) по modus ponens)${\displaystyle (p\to q)\to (p\to \neg \neg q)}$

(4)       (экземпляр (DN1))${\displaystyle \neg \neg p\to p}$

(5)       (пример (HS2))${\displaystyle (\neg \neg p\to p)\to ((p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q))}$

(6)       (из (4) и (5) по modus ponens)${\displaystyle (p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)}$

(7)       (из (3) и (6) с использованием гипотетической метатеоремы силлогизма)${\displaystyle (p\to q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)}$

(8)       (пример (A3))${\displaystyle (\neg \neg p\to \neg \neg q)\to (\neg q\to \neg p)}$

(9)       (из (7) и (8) с использованием гипотетической метатеоремы силлогизма)${\displaystyle (p\to q)\to (\neg q\to \neg p)}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Броды, Бобух А. «Глоссарий логических терминов». Энциклопедия философии. Vol. 5-6, стр. 61. Macmillan, 1973.
• Ирвинг М. Копи; Карл Коэн; Виктор Родыч (9 сентября 2016 г.). Введение в логику . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-315-51087-3.
• Копи, Ирвинг. Символическая логика . MacMillan, 1979, пятое издание.
• Приор А.Н. «Логика, традиционность». Энциклопедия философии , Vol. 5, Macmillan, 1973.
• Стеббинг, Сьюзен . Современное введение в логику . Харпер, 1961, седьмое издание

Внешние ссылки [ править ]

• Неправильная транспозиция (файлы ошибок)