Modus ponens

В логике высказываний , модус поненс ( / м oʊ д ə с р oʊ п ɛ п г / ; МР ), также известный как модус ponendo поненс ( латинский для «режима , который, подтвердив утверждает») ^[1] или устранение Подразумевается или подтверждая антецедент , ^[2] является дедуктивной формой аргумента и правилом вывода . ^[3] Его можно резюмировать как " Pозначает Q. P истинно. Следовательно, Q также должно быть истинным ".

Modus ponens тесно связан с другой допустимой формой аргументации - modus tollens . Оба имеют явно похожие, но недействительные формы, такие как подтверждение следствия , отрицание антецедента и свидетельство отсутствия . Конструктивная дилемма - это дизъюнктивная версия modus ponens . Гипотетический силлогизм тесно связан с modus ponens и иногда рассматривается как «двойной modus ponens ».

История modus ponens восходит к глубокой древности . ^[4] Первым, кто явно описал modus ponens формы аргументов, был Теофраст . ^[5] Это, наряду с modus tollens , является одним из стандартных шаблонов вывода, который можно применять для получения цепочек выводов, ведущих к желаемой цели.

Объяснение [ править ]

Форма аргумента modus ponens напоминает силлогизм с двумя предпосылками и выводом:

Если Р , то Q .

P .

Таким образом, Q .

Первая посылка является условным ( «если-то») утверждают, а именно , что Р влечет Q . Вторая посылка - это утверждение, что P , предшествующий условному требованию, имеет место. Из этих двух посылок можно логически заключить, что Q , следствие условного требования, также должно иметь место.

Пример аргумента, который соответствует форме modus ponens :

Если сегодня вторник, то Джон пойдет на работу.

Сегодня вторник.

Следовательно, Джон пойдет на работу.

Этот аргумент действителен , но он не имеет отношения к тому, истинны ли какие-либо утверждения в аргументе ; для модуса поненс будет звук аргументом, помещение должно быть верно для любых истинных случаев заключения. Аргумент может быть действительным , но тем не менее несостоятельной , если одно или несколько помещений являются ложными; если аргумент действителен и все предпосылки верны, тогда аргумент верен. Например, в среду Джон может пойти на работу. В этом случае доводы в пользу того, что Джон собирается работать (потому что сейчас среда), необоснованны. Аргумент звучит только по вторникам (когда Джон идет на работу), но действителен каждый день недели. пропозициональнаяаргумент, использующий modus ponens , называется дедуктивным .

В одной вывод секвенции исчислений , модус поненс является правилом Cut. Устранимость сечений для исчисления говорит , что каждое доказательство с участием Cut может быть преобразованы ( как правило, с помощью конструктивного метода) в доказательство без Cut, и , следовательно, Cut является допустимым .

Карри-Говарда соответствие между доказательствами и программами относится модус поненс к применению функции : если F является функцией типа P → Q и х имеет тип Р , то FX имеет тип Q .

В области искусственного интеллекта , модус поненс часто называют вперед цепочки .

Формальные обозначения [ править ]

Модус поненс правило может быть записано в секвенции обозначениях

${\displaystyle P\to Q,\;P\;\;\vdash \;\;Q}$

где Р , Q и P → Q являются утверждение (или предложения) в формальном языке и ⊢ является металогическим символ означает , что Q является синтаксическим следствием из P и P → Q в некоторой логической системе .

Обоснование с помощью таблицы истинности [ править ]

Справедливость modus ponens в классической двузначной логике может быть ясно продемонстрирована с помощью таблицы истинности .

В случаях modus ponens мы предполагаем в качестве посылки, что p → q истинно, а p истинно. Только одна строка таблицы истинности - первая - удовлетворяет этим двум условиям ( p и p → q ). В этой строке q также верно. Следовательно, всякий раз, когда p → q истинно и p истинно, q также должно быть истинным.

Статус [ править ]

Хотя modus ponens является одной из наиболее часто используемых форм аргументации в логике, его не следует принимать за логический закон; скорее, это один из принятых механизмов построения дедуктивных доказательств, который включает «правило определения» и «правило подстановки». ^[6] Modus ponens позволяет исключить условное утверждение из логического доказательства или аргумента (антецедентов) и тем самым не переносить эти антецеденты вперед в постоянно удлиняющейся цепочке символов; по этой причине modus ponens иногда называют правилом непривязанности ^[7] или законом непривязанности . ^[8]Эндертон, например, отмечает, что «modus ponens может производить более короткие формулы из более длинных» ^[9], а Рассел замечает, что «процесс вывода не может быть сведен к символам. Его единственной записью является появление occurrenceq [последующее ] ... умозаключение - это отказ от истинной посылки; это растворение импликации ». ^[10]

Обоснованием «доверия к умозаключениям» является вера в то, что если два предыдущих утверждения [антецеденты] не ошибочны, то окончательное утверждение [следствие] не ошибочно ». ^[10] Другими словами: если одно утверждение или предложение подразумевает второе, и первое утверждение или предложение истинно, то второе также верно. Если P влечет Q и P истинно, то Q истинно. ^[11]

Соответствие другим математическим системам [ править ]

Исчисление вероятностей [ править ]

Modus ponens представляет собой пример Закона полной вероятности, который для двоичной переменной выражается как:

${\displaystyle \Pr(Q)=\Pr(Q\mid P)\Pr(P)+\Pr(Q\mid \lnot P)\Pr(\lnot P)\,}$,

где eg обозначает вероятность, а условная вероятность обобщает логическое следствие . Предположим, что это эквивалентно ИСТИННО, и это эквивалентно ЛОЖЬ. Тогда легко увидеть, что когда и . Следовательно, закон полной вероятности представляет собой обобщение modus ponens . ^[12]${\displaystyle \Pr(Q)}$${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \Pr(Q\mid P)}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \Pr(Q)=1}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \Pr(Q)=0}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \Pr(Q)=1}$${\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}$${\displaystyle \Pr(P)=1}$

Субъективная логика [ править ]

Modus ponens представляет собой пример оператора биномиальной дедукции в субъективной логике, выраженный как:

${\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\circledcirc \omega _{P}^{A}\,}$,

где обозначает субъективное мнение о том, что выражено источником , а условное мнение обобщает логический смысл . Выведенное маргинальное мнение о обозначается . Случай, когда является абсолютно ИСТИННЫМ мнением относительно , эквивалентен тому, что источник говорит, что это ИСТИНА, а случай, когда это абсолютно ЛОЖНОЕ мнение относительно , эквивалентно источнику, говорящему, что это ЛОЖНО. Вывод оператор из субъективной логики производит абсолютную истину выведенного мнения , когда условное мнение является абсолютной истиной и предшествующего мнения${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}}$${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \circledcirc }$${\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}}$${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$Абсолютно ИСТИНА. Следовательно, субъективная логическая дедукция представляет собой обобщение как modus ponens, так и закона полной вероятности . ^[13]

Предполагаемые случаи отказа [ править ]

Философы и лингвисты выявили множество случаев, когда modus ponens не работает. Один известный предполагаемый контрпример был приведен Ванном Макги , который утверждал, что modus ponens может не работать для условных выражений , следствия которых сами являются условными. ^[14]

1. Гамлета написали либо Шекспир, либо Гоббс .
2. Если Шекспир или Гоббс написал Гамлета , то если Шекспир этого не сделал, то Гоббс написал .
3. Следовательно, если Шекспир не написал Гамлета , то это сделал Гоббс.

Поскольку Шекспир действительно написал Гамлета , первая посылка верна. Вторая посылка также верна, поскольку, начиная с набора возможных авторов, ограниченного только Шекспиром и Гоббсом, и устраняя одного из них, остается только другой. Однако этот вывод неверен, поскольку исключение Шекспира как автора Гамлета оставило бы множество возможных кандидатов, многие из которых были бы более правдоподобными альтернативами, чем Гоббс.

Общий вид контрпримерами МакГи типа с модус поненс просто , поэтому ; не обязательно, чтобы это была дизъюнкция, как в приведенном примере. То, что подобные случаи представляют собой несостоятельность modus ponens, остается мнением меньшинства среди логиков, но мнения расходятся относительно того, как следует избавляться от таких случаев. ^{[15] [16] [17]}${\displaystyle P,P\rightarrow (Q\rightarrow R)}$${\displaystyle Q\rightarrow R}$${\displaystyle P}$

В деонтической логике некоторые примеры условного обязательства также повышают вероятность отказа modus ponens . Это случаи, когда условная посылка описывает обязательство, основанное на аморальном или неблагоразумном действии, например: «Если Доу убивает свою мать, он должен сделать это осторожно», для чего сомнительный безусловный вывод будет: «Доу должен мягко убить свою мать». мать." ^[18] Из этого следует, что если Доу на самом деле осторожно убивает свою мать, то, согласно modus ponens, он делает именно то, что должен, безусловно, делать. И здесь опять же, отказ от modus ponens не является популярным диагнозом, но иногда от него приводят доводы. ^[19]

Возможные заблуждения [ править ]

Ошибка утверждения консеквента - это распространенное неверное толкование modus ponens . ^[20]

См. Также [ править ]

• Конденсированная отслойка
• Латинские фразы
• Modus tollens  - Правило логического вывода
• Modus vivendi  - договоренность, позволяющая конфликтующим сторонам мирно сосуществовать
• Стоическая логика  - система логики высказываний, разработанная философами-стоиками.
• " Что Черепаха сказала Ахиллу  - Аллегорический диалог Льюиса Кэрролла"

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Герберт Б. Эндертон, 2001, математическое введение в логику, второе издание , Harcourt Academic Press, Burlington MA, ISBN 978-0-12-238452-3 . 
• Аудун Йосанг, 2016, Субъективная логика; Формализм для рассуждений в условиях неопределенности Спрингер, Чам, ISBN 978-3-319-42337-1 
• Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел. Основы математики, 1927 г. до * 56 (второе издание), издание в мягкой обложке, 1962 г., Кембридж в University Press, Лондон, Великобритания. Ни ISBN, ни LCCCN.
• Альфред Тарски 1946 Введение в логику и методологию дедуктивных наук, 2-е издание, перепечатано Dover Publications, Mineola NY. ISBN 0-486-28462-X (PBK). 

Внешние ссылки [ править ]

• "Modus ponens" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Modus ponens в PhilPapers
• Modus ponens в Wolfram MathWorld