Группа Кубик Рубика - это группа что представляет собой структуру из куба Рубика механической головоломки . Каждый элемент набора соответствует перемещению куба, которое является результатом любой последовательности вращений граней куба. В этом представлении можно представить не только любое перемещение куба, но также и любое его положение, путем детализации перемещений куба, необходимых для поворота решенного куба в это положение. Действительно, с решенной позицией в качестве отправной точки существует взаимно однозначное соответствие между каждой из юридических позиций кубика Рубика и элементами. [1] [2] Групповая операция - композиция ходов куба, соответствующая результату выполнения одного хода куба за другим.
Группа кубика Рубика создается путем присвоения каждому из 48 нецентральных граней целых чисел от 1 до 48. Каждая конфигурация куба может быть представлена как перестановка меток от 1 до 48, в зависимости от положения каждой грани. Используя это представление, решенный куб - это тождественная перестановка, которая оставляет куб без изменений, в то время как двенадцать движений куба, которые поворачивают слой куба на 90 градусов, представлены их соответствующими перестановками. Кубик Рубика группа является подгруппой в симметрической группы генерируется шестью перестановками, соответствующими шести движениям куба по часовой стрелке. При такой конструкции любая конфигурация куба, достижимая через последовательность движений куба, находится внутри группы. Его работаотносится к составу двух перестановок; внутри куба это относится к объединению двух последовательностей движений куба, выполняемых одно за другим. Группа кубика Рубика неабелева, поскольку композиция движений куба не коммутативна ; выполнение двух последовательностей движений куба в разном порядке может привести к другой конфигурации.
Куб движется
А Кубик Рубика состоит из лица , каждое сцветные квадраты, называемые гранями, в общей сложностиграни. Все грани решенного куба имеют одинаковый цвет.
Движение куба вращает один из лица: или же (метрическая метрическая). [3] Центральный фасет вращается вокруг своей оси, но в остальном остается в том же положении. [1]
Движения куба описываются с помощью обозначения Singmaster : [4]
Базовый 90 ° | 180 ° | -90 ° |
поворачивает переднюю по часовой стрелке | дважды поворачивает переднюю часть по часовой стрелке | поворачивает переднюю часть против часовой стрелки |
поворачивает назад по часовой стрелке | дважды поворачивает назад по часовой стрелке | поворачивает назад против часовой стрелки |
поворачивает верх по часовой стрелке | дважды поворачивает верх по часовой стрелке | поворачивает верх против часовой стрелки |
поворачивает дно по часовой стрелке | дважды поворачивает дно по часовой стрелке | поворачивает дно против часовой стрелки |
поворачивает левую грань по часовой стрелке | дважды поворачивает левую грань по часовой стрелке | поворачивает левую грань против часовой стрелки |
поворачивает вправо по часовой стрелке | дважды поворачивает вправо по часовой стрелке | поворачивает правую грань против часовой стрелки |
Пустой ход . Конкатенация такой же как , а также такой же как .
Структура группы
Далее используются обозначения, описанные в разделе Как собрать кубик Рубика . Ориентация шести центральных граней фиксирована.
Мы можем идентифицировать каждое из шести поворотов граней как элементы симметричной группы на множестве нецентральных граней. Более конкретно, мы можем обозначить нецентральные грани номерами от 1 до 48, а затем идентифицировать шесть поворотов граней как элементы симметричной группы S 48 в соответствии с тем, как каждое движение переставляет различные грани. Куб группы Рубика, G , затем определяется как подгруппа из S 48 генерируется с помощью 6 лицевых вращений,.
Мощность в G задается
Несмотря на такие большие размеры, число Бога для кубика Рубика - 20; то есть любая позиция может быть решена за 20 или меньше ходов [3] (где полувруч считается одним ходом; если полувруч считается как два четвертьворота, то число Бога - 26 [7] ).
Наибольший порядок элемента в G - 1260. Например, один такой элемент порядка 1260 - это
- . [1]
G является неабелев , так как, например, это не то же самое, что . То есть не все движения куба коммутируют друг с другом. [2]
Подгруппы
Рассмотрим две подгруппы G : Во- первых подгруппа С о в кубе ориентации , шаги , которые оставляют положение каждого блока фиксированной, но может изменить ориентацию блоков. Эта группа является нормальной подгруппой в G . Его можно представить как обычное завершение некоторых ходов, при которых несколько ребер или углы поворачиваются. Например, это обычное завершение следующих двух ходов:
- (закручиваем два угла)
- (переверните два края).
Во-вторых, возьмем подгруппу из куба перестановок , движется , которые могут изменить положение блоков, но оставить ориентацию фиксированной. Для этой подгруппы есть несколько вариантов, в зависимости от точного способа определения ориентации. [примечание 1] Один из вариантов - следующая группа, заданная генераторами (последний генератор - это 3 цикла на ребрах):
Поскольку C o - нормальная подгруппа, а пересечение C o и C p - это единица, а их продукт - это вся группа куба, отсюда следует, что группа G куба является полупрямым произведением этих двух групп. Это
Далее мы можем более подробно рассмотреть эти две группы. Структура C o такова:
так как группа поворотов каждого углового (соответственно ребра) куба равна (соотв. ), и в каждом случае все, кроме одного, могут свободно вращаться, но эти вращения определяют ориентацию последнего. Замечание, что есть 8 углов и 12 ребер, и что все группы вращений абелевы, дает указанную выше структуру.
Перестановки куба C p немного сложнее. В нем есть две непересекающиеся нормальные подгруппы: группа четных перестановок на углах A 8 и группа четных перестановок на ребрах A 12 . Дополнением к этим двум подгруппам является перестановка, которая меняет местами два угла и меняет местами два ребра. Оказывается, они генерируют все возможные перестановки, что означает
Собирая все части вместе, получаем, что группа куба изоморфна
Эту группу также можно охарактеризовать как вспомогательный продукт.
- ,
в обозначениях Грисса [ ссылка ] .
Обобщения
Когда центр фасета симметрии принимаются во внимание, группа симметрии является подгруппой в
(Это несущественное вращение центральных граней является неявным примером действующей фактор-группы , защищающей читателя от полной группы автоморфизмов рассматриваемого объекта.)
Группа симметрии кубика Рубика, полученная при его разборке и повторной сборке, немного больше: а именно, это непосредственное произведение
Первый фактор объясняется исключительно поворотами центральных частей, второй - исключительно симметрией углов, а третий - исключительно симметрией краев. Последние два фактора являются примерами обобщенных симметрических групп , которые сами по себе являются примерами сплетений .
Эти простые группы , которые возникают , как дроби в в композиции серии стандартного куба группы (т.е. игнорируя часть центра вращения) являются, , (7 раз), и (12 раз).
Классы сопряженности
Сообщается, что в группе кубика Рубика есть 81 120 классов сопряженности . [8] Число было вычислено путем отдельного подсчета количества четных и нечетных классов сопряженности в группах ребер и углов и последующего их умножения, чтобы гарантировать, что общая четность всегда будет четной. Особое внимание следует уделить подсчету так называемых классов сопряженности, чувствительных к четности , элементы которых всегда отличаются при сопряжении с любым четным элементом по сравнению с любым нечетным элементом. [9]
Группа | Нет даже | Нет, странно | Нет пс | Общее |
---|---|---|---|---|
Угловые позиции | 12 | 10 | 2 | 22 |
Позиции краев | 40 | 37 | 3 | 77 |
Все позиции | 856 | |||
Углы | 140 | 130 | 10 | 270 |
Края | 308 | 291 | 17 | 599 |
Целый куб | 81 120 |
Смотрите также
- Коммутатор
- Класс сопряженности
- Coset
- Оптимальные решения для кубика Рубика
- Решаемая группа
- Алгоритм Thistlethwaite
Заметки
- ^ Один из способов определения ориентации следующий, адаптированный со страниц 314–315 Метамагических тем Дугласа Хофштадтера . Определите два понятия: главный цвет блока и главный аспект позиции , где позиция означает местоположение блока. Главный аспект позиции будет один на передней или задней грани куба, если эта позиция имеет такой аспект; в противном случае он будет на левой или правой грани. На F девять главных граней, девять на B, два на L и два на R. Главный цвет блока определяется как цвет, который должен быть на главном фасете блока, когда блок "возвращается домой" в свое собственное положение. положение в решенном кубе. Кубический ход сохраняет ориентацию, если, когда был применен к собранному кубу, главный цвет каждого блока находится на главной грани его положения.
Рекомендации
- ^ a b c Джойнер, Дэвид (2002). Приключения в теории групп: кубик Рубика, машина Мерлина и другие математические игрушки . Издательство Университета Джона Хопкинса. ISBN 0-8018-6947-1.
- ^ а б Дэвис, Том (2006). «Теория групп через кубик Рубика» (PDF) .
- ^ а б Рокицки, Томас; и другие. «Число Бога - 20» .
- ^ Singmaster, Дэвид (1981). Заметки о Волшебном кубе Рубика . Книги пингвинов. ISBN 0907395007.
- ^ Шёнерт, Мартин. «Анализ кубика Рубика с помощью GAP» .
- ↑ Том Дэвис, «Кубик Рубика. Часть II», стр. 23 в, Звезделина Станкова, Том Рике (редакторы), Десятилетие математического кружка Беркли , Американское математическое общество, 2015 г. ISBN 9780821849125 .
- ↑ Число Бога - 26 в четвертьоборотной метрике.
- ^ Гаррон, Лукас (8 марта 2010 г.). «Группа перестановок кубика Рубика» (PDF) . S2CID 18785794 . Архивировано из оригинального (PDF) 22 февраля 2019 года . Проверено 1 августа 2020 года . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ а б brac37 (20 октября 2009 г.). «Классы сопряженности куба» . Домен кубического форума . Проверено 1 августа 2020 года .