Подгруппа коммутатора

В математике , более конкретно , в абстрактной алгебре , то Коммутант или получена подгруппой из группы является подгруппой порожденной всех коммутаторов группы. ^{[1] [2]}

Коммутаторная подгруппа важна, потому что это наименьшая нормальная подгруппа такая, что фактор-группа исходной группы по этой подгруппе абелева . Другими словами, является абелевым тогда и только тогда, когда содержит коммутаторную подгруппу группы . Так что в некотором смысле это дает меру того, насколько группа далека от абелевой; чем больше коммутатор, тем «менее абелева» группа.${\ Displaystyle G / N}$ ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$

Коммутаторы [ править ]

Для элементов и группы G , то коммутаторное из и является . Коммутатор равен единице e тогда и только тогда , когда , то есть тогда и только тогда, когда и коммутируют. В целом .${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$${\displaystyle [g,h]}$ ${\displaystyle gh=hg}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle gh=hg[g,h]}$

Однако обозначения несколько произвольны, и существует неэквивалентное определение варианта для коммутатора, у которого в правой части уравнения есть обратные: в этом случае, но вместо этого .${\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}$${\displaystyle gh\neq hg[g,h]}$${\displaystyle gh=[g,h]hg}$

Элемент группы G вида для некоторых g и h называется коммутатором. Единичный элемент e = [ e , e ] всегда является коммутатором, и он является единственным коммутатором тогда и только тогда, когда G абелева.${\displaystyle [g,h]}$

Вот несколько простых, но полезных коммутаторных тождеств, верных для любых элементов s , g , h группы G :

• ${\displaystyle [g,h]^{-1}=[h,g],}$
• ${\displaystyle [g,h]^{s}=[g^{s},h^{s}],}$где (или соответственно ) - сопряженное с by${\displaystyle g^{s}=s^{-1}gs}$${\displaystyle g^{s}=sgs^{-1}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle s,}$
• для любого гомоморфизма ,${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle f([g,h])=[f(g),f(h)].}$

Из первого и второго тождеств следует, что множество коммутаторов в G замкнуто относительно обращения и сопряжения. Если в третьем идентичностью мы возьмем H = G , получаем , что множество коммутаторов устойчиво при любом эндоморфизму из G . Это на самом деле является обобщением второго тождества, так как мы можем взять п быть конъюгация автоморфизм на G , , чтобы получить второе тождество.${\displaystyle x\mapsto x^{s}}$

Однако произведение двух или более коммутаторов не обязательно должно быть коммутатором. Общий пример - [ a , b ] [ c , d ] в свободной группе на a , b , c , d . Известно, что наименьший порядок конечной группы, для которой существуют два коммутатора, произведение которых не является коммутатором, равен 96; фактически существуют две неизоморфные группы порядка 96 с этим свойством. ^[3]

Определение [ править ]

Это мотивирует определение коммутаторной подгруппы (также называемой производной подгруппой и обозначаемой или ) группы G : это подгруппа, порожденная всеми коммутаторами.${\displaystyle [G,G]}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle G^{(1)}}$

Из свойств коммутаторов следует, что любой элемент из имеет вид${\displaystyle [G,G]}$

${\displaystyle [g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]}$

для некоторого натурального числа , где г _я и ч _я являюсь элементами G . Кроме того, поскольку для любых й в G мы имеем , коммутант нормален в G . Для любого гомоморфизма f : G → H ,${\displaystyle n}$${\displaystyle ([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]}$

${\displaystyle f([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])=[f(g_{1}),f(h_{1})]\cdots [f(g_{n}),f(h_{n})]}$,

так что .${\displaystyle f([G,G])\leq [H,H]}$

Это показывает , что коммутант можно рассматривать как функтор на категории групп , некоторые последствия , которые рассматриваются ниже. Более того, взяв G = H, это показывает, что коммутатор устойчива относительно любого эндоморфизма группы G : то есть [ G , G ] является полностью характеристической подгруппой группы G , что значительно сильнее нормальности.

Коммутаторная подгруппа также может быть определена как набор элементов g группы, которые имеют выражение в виде произведения g = g ₁ g ₂ ... g _k, которое может быть перегруппировано для получения идентичности.

Производная серия [ править ]

Эту конструкцию можно повторять:

${\displaystyle G^{(0)}:=G}$

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N} }$

Группы называются второй производной подгруппой , третьей производной подгруппой и т. Д. И нисходящей нормальной серией.${\displaystyle G^{(2)},G^{(3)},\ldots }$

${\displaystyle \cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G}$

называется производным рядом . Его не следует путать с нижним центральным рядом , термины которого являются .${\displaystyle G_{n}:=[G_{n-1},G]}$

Для конечной группы производный ряд заканчивается совершенной группой , которая может быть тривиальной, а может и нет. Для бесконечной группы производный ряд не обязательно должен заканчиваться на конечном этапе, и его можно продолжить до бесконечных порядковых чисел с помощью трансфинитной рекурсии , получая таким образом трансфинитный производный ряд , который в конечном итоге завершается на совершенном ядре группы.

Абелианизация [ править ]

Для группы , фактор - группа абелева тогда и только тогда .${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/N}$${\displaystyle [G,G]\leq N}$

Фактор абелева группа называется абелианизация из или сделал абелева . ^[4] Обычно обозначается или .${\displaystyle G/[G,G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$${\displaystyle G_{\operatorname {ab} }}$

Есть полезная категориальная трактовка карты . А именно является универсальным для гомоморфизмов из в абелеву группу : для любой абелевой группы и гомоморфизма групп существует единственный гомоморфизм такой, что . Как обычно для объектов, определяемых универсальными свойствами отображения, это показывает единственность абелианизации с точностью до канонического изоморфизма, тогда как явная конструкция показывает существование.${\displaystyle \varphi :G\rightarrow G^{\operatorname {ab} }}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle F:G^{\operatorname {ab} }\to H}$${\displaystyle f=F\circ \varphi }$${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$${\displaystyle G\to G/[G,G]}$

Функтор абелианизации - это левый сопряженный функтора включения из категории абелевых групп в категорию групп. Существование Абелианизации функтора Grp → Ab делает категорию Ab отражательной подкатегорию категории групп, определяемую как полная подкатегория, включение которых функтор имеет левую сопряженный.

Другое важное толкование как первая группа гомологии из с целыми коэффициентами.${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$${\displaystyle H_{1}(G,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle G}$

Классы групп [ править ]

Группа является абелевой группой тогда и только тогда, когда производная группа тривиальна: [ G , G ] = { e }. Эквивалентно, если и только если группа равняется своей абелианизации. См. Выше определение абелианизации группы.${\displaystyle G}$

Группа является совершенной группой тогда и только тогда , когда производная группа равна самой группе: [ G , G ] = G . Эквивалентно, если и только если абелианизация группы тривиальна. Это «противоположно» абелеву.${\displaystyle G}$

Группа с для некоторого n из N называется разрешимой группой ; это слабее, чем абелева, что имеет место n = 1.${\displaystyle G^{(n)}=\{e\}}$

Группа с для всех n из N называется неразрешимой группой .${\displaystyle G^{(n)}\neq \{e\}}$

Группа с некоторым порядковым номером , возможно бесконечным, называется гипоабелевой группой ; это слабее, чем разрешимое, в том случае, когда α конечно (натуральное число).${\displaystyle G^{(\alpha )}=\{e\}}$

Идеальная группа [ править ]

Всякий раз, когда в группе есть производная подгруппа, равная самой себе , она называется совершенной группой . Сюда входят неабелевы простые группы и специальные линейные группы для фиксированного поля .${\displaystyle G}$${\displaystyle G^{(1)}=G}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}$${\displaystyle k}$

Примеры [ править ]

• Коммутант любой абелевой группы является тривиальным .
• Коммутаторная подгруппа общей линейной группы над полем или телом k равна специальной линейной группе при условии, что или k не является полем с двумя элементами . ^[5]${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}$${\displaystyle n\neq 2}$
• Коммутаторная подгруппа знакопеременной группы A ₄ - это четверка Клейна .
• Коммутаторная подгруппа симметрической группы S _n - знакопеременная группа A _n .
• Коммутаторная подгруппа группы кватернионов Q = {1, −1, i , - i , j , - j , k , - k } равна [ Q , Q ] = {1, −1}.
• Коммутаторная подгруппа фундаментальной группы π ₁ ( X ) линейно связного топологического пространства X является ядром естественного гомоморфизма на первую группу особых гомологий H ₁ ( X ).

Карта из Out [ править ]

Поскольку производная подгруппа характеристична , любой автоморфизм группы G индуцирует автоморфизм абелианизации. Поскольку абелианизация абелева, внутренние автоморфизмы действуют тривиально, следовательно, это дает отображение

${\displaystyle \operatorname {Out} (G)\to \operatorname {Aut} (G^{\mbox{ab}})}$

См. Также [ править ]

• Решаемая группа
• Нильпотентная группа
• Абелианизация H / H 'подгруппы H  <  G конечного индекса ( G : H ) является целью трансфера Артина  T ( G , H ).

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (3-е изд.), John Wiley & Sons , ISBN 0-471-43334-9
• Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , Springer , ISBN 0-387-95385-X
• Суарес-Альварес, Мариано. «Производные подгруппы и коммутаторы» .

Внешние ссылки [ править ]

• «Подгруппа коммутаторов» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]