Заказанное поле

В математике , упорядоченное поле является полем вместе с общим упорядочением его элементов , которые совместимы с операциями на местах. Базовым примером упорядоченного поля является поле действительных чисел , и каждое полное по Дедекинду упорядоченное поле изоморфно действительным числам .

Каждое подполе упорядоченного поля также является упорядоченным полем в унаследованном порядке. Каждое упорядоченное поле содержит упорядоченный подполе, которое изоморфно с рациональными числами . Квадраты обязательно неотрицательны в упорядоченном поле. Это означает, что комплексные числа не могут быть упорядочены, поскольку квадрат мнимой единицы i равен -1 . Конечные поля не могут быть упорядочены.

Исторически аксиоматизация упорядоченного поля постепенно абстрагировалась от реальных чисел математиками, включая Давида Гильберта , Отто Гёльдера и Ханса Хана . Со временем это переросло в теорию упорядоченных полей Артина – Шрайера и формально реальных полей .

Определения [ править ]

Есть два эквивалентных общих определения упорядоченного поля. Определение полного порядка впервые появилось исторически и представляет собой аксиоматизацию первого порядка упорядочения ≤ как бинарного предиката . Артин и Шрайер дали определение в терминах положительного конуса в 1926 году, который аксиоматизирует подколлекцию неотрицательных элементов. Хотя последнее является более высоким порядком, рассмотрение положительных конусов как максимальных преположительных конусов обеспечивает более широкий контекст, в котором упорядочения полей являются экстремальными частичными порядками.

Общий заказ [ править ]

Поле ( F +, ⋅) вместе с (строгим) общим порядком <на F представляет собой упорядоченное поле если удовлетворяет порядка следующие свойства для всех в , б и с в F :

• если a < b, то a + c < b + c , и
• если 0 < a и 0 < b, то 0 < a ⋅ b .

Положительный конус [ править ]

Препозиционные конуса или предварительный заказ поля F является подмножеством P ⊂ F , который имеет следующие свойства: ^[1]

• Для х и у в Р , как х + у и х ⋅ у находятся в P .
• Если х в F , то х ² в P . В частности, 1 ² = 1 ∈ P .
• Элемент -1 не в Р .

Предупорядоченное поле представляет собой поле оснащен предпорядком P . Ее ненулевые элементы Р ^* образуют подгруппу мультипликативной группы F .

Если, кроме того, множество F является объединением Р и - Р , мы называем P на положительный конус из F . Ненулевые элементы Р называются положительные элементы F .

Упорядоченное поле представляет собой поле F вместе с положительным конусом P .

В preorderings на F являются в точности пересечения семейств положительных конусов на F . Положительные конусы - это максимальные предварительные заказы. ^[1]

Эквивалентность двух определений [ править ]

Пусть F - поле. Между порядками полей F и положительными конусами F существует взаимно однозначное соответствие .

Учитывая упорядочение поля ≤ как и в первом определении, множество элементов , таких , что х ≥ 0 образует положительный конус F . И наоборот, дали положительный конус Р из F , как во втором определении, можно связать полное упорядочение ≤ _P на F с помощью параметра х ≤ _P у к среднему у - х ∈ P . Этот полный порядок ≤ _P удовлетворяет свойствам первого определения.

Примеры упорядоченных полей [ править ]

Примеры упорядоченных полей:

• что рациональные числа
• что действительные числа
• любое подполе упорядоченного поля, такое как действительные алгебраические числа или вычислимые числа
• поле вещественных рациональных функций , где и являются многочленами с действительными коэффициентами, может быть преобразовано в упорядоченное поле, где многочлен больше любого постоянного многочлена, определяя это всякий раз , когда , для и . Это упорядоченное поле не архимедово .${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {п (х)} {д (х)}} \,}$${\ displaystyle p (x)}$${\ Displaystyle д (х)}$${\ Displaystyle д (х) \ neq 0 \,}$${\ Displaystyle р (х) = х}$${\ displaystyle {\ frac {p (x)} {q (x)}}> 0 \,}$${\displaystyle {\frac {p_{0}}{q_{0}}}>0\,}$${\displaystyle p(x)=p_{0}\cdot x^{n}+\cdots }$${\displaystyle q(x)=q_{0}\cdot x^{m}+\cdots \,}$
• Поле из формальных рядов Лорана с вещественными коэффициентами, где х берутся бесконечно малые и положительным${\displaystyle \mathbb {R} ((x))}$
• в transseries
• настоящие закрытые поля
• в супердействительное число
• в числе Гипердействительного

В сюрреалистические числа образуют собственный класс , а не набор , но в остальном подчиняются аксиомам упорядоченного поля. Каждое упорядоченное поле можно встроить в сюрреалистические числа.

Свойства упорядоченных полей [ править ]

Недвижимость ${\displaystyle a>0\land x<y\Rightarrow ax<ay}$

Недвижимость ${\displaystyle x<y\Rightarrow a+x<a+y}$

Для каждого a , b , c , d в F :

• Либо - a ≤ 0 ≤ a, либо a ≤ 0 ≤ - a .
• Можно «добавить неравенства»: если a ≤ b и c ≤ d , то a + c ≤ b + d .
• Можно «умножить неравенства на положительные элементы»: если a ≤ b и 0 ≤ c , то ac ≤ bc .
• Транзитивность неравенства: если a < b и b < c , то a < c .
• Если a < b и a , b > 0, то 1 / b <1 / a .
• Упорядоченное поле имеет характеристику 0. (Поскольку 1> 0, то 1 + 1> 0 и 1 + 1 + 1> 0 и т. Д. Если бы поле имело характеристику p > 0, то −1 было бы суммой p  - 1 единица, но −1 не является положительным.) В частности, конечные поля нельзя упорядочить.
• Квадраты неотрицательны: 0 ≤ ² для всех а в F .
• Любая нетривиальная сумма квадратов отлична от нуля. Эквивалентно: ^{[2] [3]}${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}=0\;\Longrightarrow \;\forall k\;\colon a_{k}=0.}$

Каждое подполе упорядоченного поля также является упорядоченным полем (наследуя индуцированный порядок). Наималейший подпол изоморфно к рациональным числам (как и для любого другого поля характеристики 0), и порядок на этой рациональной подполе такой же , как и порядок самих рациональных чисел. Если каждый элемент упорядоченного поля лежит между двумя элементами его рационального подполя, то поле называется архимедовым . В противном случае такое поле является неархимедовым упорядоченным полем и содержит бесконечно малые числа . Например, действительные числа образуют архимедово поле, а гиперреальные числа образуют неархимедово поле, поскольку оно расширяетдействительные числа с элементами больше любого стандартного натурального числа . ^[4]

Упорядоченное поле F изоморфно вещественное число поля R , если каждое непустое подмножество F с верхней границей в F имеет минимум верхней границы в  F . Это свойство означает, что поле архимедово.

Векторные пространства над упорядоченным полем [ править ]

Векторные пространства (в частности, n -пространства ) над упорядоченным полем обладают некоторыми особыми свойствами и имеют некоторые специфические структуры, а именно: ориентацию , выпуклость и положительно определенный внутренний продукт . См. Раздел Реальное координатное пространство # Геометрические свойства и использование для обсуждения тех свойств R ⁿ , которые могут быть обобщены на векторные пространства по другим упорядоченным полям.

Какие поля можно заказать? [ редактировать ]

Каждое упорядоченное поле является формально реальным полем , т. Е. 0 не может быть записан как сумма ненулевых квадратов. ^{[2] [3]}

И наоборот, каждое формально реальное поле может быть оснащено совместимым полным порядком, который превратит его в упорядоченное поле. (Этот порядок не нужно определять однозначно.) Доказательство использует лемму Цорна . ^[5]

Конечные поля и, в более общем смысле, поля положительной характеристики не могут быть превращены в упорядоченные поля, потому что в характеристике p элемент −1 может быть записан как сумма ( p - 1) квадратов 1 ² . В комплексных числах также не могут быть превращены в упорядоченном поле, а -1 представляет собой квадрат (из мнимого числа я ) , и, таким образом , будет положительным. Кроме того, p-адические числа не могут быть упорядочены, поскольку согласно лемме Гензеля Q ₂ содержит квадратный корень из −7, поэтому 1 ² +1 ² +1 ² +2 ² + ( √ −7) ² = 0, и Q _p ( p  > 2) содержит квадратный корень из 1− p , поэтому ( p −1) ⋅1 ² + ( √ 1− p ) ² = 0.

Топология, вызванная порядком [ править ]

Если F снабжен топологией порядка, возникающей из общего порядка ≤, то аксиомы гарантируют, что операции + и × непрерывны , так что F является топологическим полем .

Топология Харрисона [ править ]

Топология Harrison топология на множестве порядков X _F из формально вещественного поля F . Каждый порядок можно рассматривать как гомоморфизм мультипликативной группы из F ^∗ на ± 1. Предоставление ± 1 дискретная топология и ± 1 ^Р топология произведения индуцирует топологию подпространства на X _F . В наборах Harrison образуют предбазу для топологии Харрисона. Произведение представляет собой булево пространство ( компактное , хаусдорфово и полностью несвязное${\displaystyle H(a)=\{P\in X_{F}:a\in P\}}$), а X _F - замкнутое подмножество, следовательно, снова булево. ^{[6] [7]}

Поклонники и переупорядоченные поля [ править ]

Вентилятора на F является предпорядком Т со свойством , что если S является подгруппой индекса 2 в F ^* , содержащий Т  - {0} и не содержащая -1 , то S является упорядочение (то есть, S замкнуто относительно сложения). ^[8] superordered поля является вполне вещественным полем , в котором множество сумм квадратов форм вентилятора. ^[9]

См. Также [ править ]

• Заказанное кольцо
• Упорядоченное векторное пространство
• Поле предзаказа

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Лам, Т.Ю. (1983), Упорядочения, оценки и квадратичные формы , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52 , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0702-1, Zbl  0516,12001
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . 67 . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl  1068.11023 .
• Лэнг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848,13001