Свойство с наименьшей верхней границей

Каждое ограниченное сверху непустое подмножество действительных чисел имеет точную верхнюю границу.

{\ displaystyle M}

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

В математике , то наименее верхняя граница свойство (иногда называемая полнотой или супремум свойства или LUB свойство ) ^[1] является фундаментальным свойством действительных чисел . В более общем виде частично упорядоченное множество $Х$ имеет наименее верхнюю границу свойства , если каждое непустое подмножество из $X$ с верхней границей имеет минимум верхней границы (грань) в $X$ . Не каждый (частично) упорядоченный набор имеет свойство наименьшей верхней границы. Например, множество всех рациональных чисел ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ с его естественным порядком не имеет свойства наименьшей верхней границы.

Свойство наименьшей верхней границы является одной из форм аксиомы полноты для действительных чисел и иногда упоминается как полнота Дедекинда . ^[2] Она может быть использована , чтобы доказать , многие из основных результатов реального анализа , такие как теоремы промежуточного значения , по теореме Больцано-Вейерштрасса , по теореме экстремальных значений , и теорема Гейне-Борель . Это обычно принимается как аксиома в синтетических конструкциях действительных чисел (см. Аксиому наименьшей верхней границы ), а также тесно связано с построением действительных чисел с использованием разрезов Дедекинда .

В теории порядка это свойство можно обобщить до понятия полноты для любого частично упорядоченного множества . Линейно упорядоченное множество , что является плотным и имеет верхнюю грань свойство называется линейным континуумом .

Заявление о собственности [ править ]

Выписка для действительных чисел [ править ]

Пусть $S$ - непустое множество действительных чисел .

Действительное число $х$ называется верхняя граница для $S$ , если $х \geq s$ для всех $s \in S$ .
Действительное число $х$ является не менее верхней границей (или грань ) для $S$ , если $х$ является верхней границей для $S$ и $х \leq у$ для каждого верхней границы $у$ из $S$ .

Свойство наименьшей верхней границы утверждает, что любой непустой набор действительных чисел, который имеет верхнюю границу, должен иметь наименьшую верхнюю границу в действительных числах .

Обобщение на упорядоченные множества [ править ]

Красный: набор . Синий: набор его верхних границ в .

{\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbf {Q}: x ^ {2} \ leq 2 \ right \}}

{\ displaystyle \ mathbf {Q}}

В более общем смысле , можно определить верхнюю границу , и верхняя граница для любого подмножества из в частично упорядоченного множества $X$ , с «реальным числом» заменен на «элемент $X$ ». В этом случае мы говорим , что $X$ имеет наименее верхний предел свойство , если каждое непустое подмножество $X$ с верхней границей имеет верхнюю грань в $X$ .

Например, множество $Q$ из рациональных чисел не имеет наименее верхний предел свойства при обычном порядке. Например, набор

{\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbf {Q}: x ^ {2} \ leq 2 \ right \} = \ mathbf {Q} \ cap \ left (- {\ sqrt {2}}, {\ sqrt {2}} \ right)}

имеет верхнюю границу в $Q$ , но не имеет точной верхней границы в $Q$ (так как квадратный корень из двух иррационален ). Построение действительных чисел с использованием дедекиндовы сокращений использует эту неудачу, определив иррациональные числа как наименее верхних границ некоторых подмножеств рациональных чисел.

Доказательство [ править ]

Логический статус [ править ]

Свойство наименьшей верхней границы эквивалентно другим формам аксиомы полноты , таким как сходимость последовательностей Коши или теорема о вложенных интервалах . Логический статус свойства зависит от конструкции используемых действительных чисел : в синтетическом подходе свойство обычно принимается как аксиома для действительных чисел (см. Аксиому наименьшей верхней границы ); при конструктивном подходе это свойство должно быть доказано как теорема либо непосредственно из конструкции, либо как следствие какой-либо другой формы полноты.

Доказательство с использованием последовательностей Коши [ править ]

Свойство наименьшей верхней границы можно доказать, используя предположение, что каждая последовательность действительных чисел Коши сходится. Пусть $S$ - непустое множество действительных чисел и предположим, что $S$ имеет верхнюю границу $B 1$ . Так как $S$ не пусто, то существует вещественное число $1$ , который не является верхней границей для $S$ . Определите последовательности $A$ $1$ $,$ $A$ $2$ $,$ $A$ $3$ $, ...$ и $B$ $1$ $,$ $B$ $2$ $,$ $B$ $3$ $, ...$ рекурсивно следующим образом:

Проверьте $(A п + B п) 2 /$ есть верхняя граница для $S$ .
Если это так, пусть $A n +1 = A n$ и пусть $B n +1 = (A n + B n) ⁄ 2$ .
В противном случае в $S$ должен быть элемент $s,$ так что $s$ $> ($ $A$ $n$ $+$ $B$ $n$ $) ⁄ 2$ . Пусть $A$ $n$ $+1$ $=$ $s$ и $B$ $n$ $+1$ $=$ $B$ $n$ .

Тогда $A 1 \leq A 2 \leq A 3 \leq \dots \leq B 3 \leq B 2 \leq B 1$ и $| A n - B n | \to 0$ при $n \to \infty$ . Из этого следует , что обе последовательности Коши и имеет тот же предел $L$ , который должен быть по меньшей мере верхней границей для $S$ .

Приложения [ править ]

Свойство наименьшей верхней границы $R$ можно использовать для доказательства многих основных основополагающих теорем реального анализа .

Теорема о промежуточном значении [ править ]

Пусть $f : [a, b] \to R$ - непрерывная функция , и предположим, что $f (a) <0$ и $f (b)> 0$ . В этом случае теорема о промежуточном значении утверждает, что $f$ должен иметь корень в интервале $[a, b]$ . Эту теорему можно доказать, рассматривая множество

S = {s \in [a, b]: f (x) <0 для всех x \leq s}

.

То есть $S$ - это начальный сегмент $[a, b],$ который принимает отрицательные значения под $f$ . Тогда $b$ является верхней границей для $S$ , и точная верхняя граница должна быть корнем $f$ .

Теорема Больцано – Вейерштрасса [ править ]

Теорема Больцано – Вейерштрасса для $R$ утверждает, что каждая последовательность $x n$ действительных чисел в отрезке $[a, b]$ должна иметь сходящуюся подпоследовательность . Эту теорему можно доказать, рассматривая множество

S = {s \in [a, b]: s \leq x n для бесконечного числа n}

.

Ясно, что $b$ является верхней границей для $S$ , поэтому $S$ имеет точную верхнюю границу $c$ . Тогда $c$ должна быть предельной точкой последовательности $x n$ , и отсюда следует, что $x n$ имеет подпоследовательность, сходящуюся к $c$ .

Теорема об экстремальных значениях [ править ]

Пусть $f : [a, b] \to R$ - непрерывная функция и пусть $M = sup f ([a, b])$ , где $M = \infty,$ если $f ([a, b])$ не имеет верхней границы. Теорема об экстремальном значении утверждает, что $M$ конечно и $f (c) = M$ для некоторого $c \in [a, b]$ . Это можно доказать, рассматривая множество

S = {s \in [a, b]: sup f ([s, b]) = M}

.

Если $с$ есть верхняя грань этого множества, то это следует из непрерывности , что $F (с) = М$ .

Теорема Гейне – Бореля [ править ]

Пусть $[a, b]$ - отрезок в $R$ , и пусть ${U α}$ - набор открытых множеств , покрывающий $[a, b]$ . Тогда теорема Гейне – Бореля утверждает, что некоторая конечная подгруппа ${U α}$ покрывает также $[a, b]$ . Это утверждение можно доказать, рассматривая множество

S = {s \in [a, b]: [a, s] покрывается конечным числом U α}

.

Этот набор должен иметь наименьшую верхнюю границу $c$ . Но $c$ сам является элементом некоторого открытого множества $U α$ , и отсюда следует, что $[a, c + δ]$ может быть покрыто конечным числом $U α$ для некоторого достаточно малого $δ > 0$ . Это доказывает, что $c + δ \in S$ , и также приводит к противоречию, если только $c = b$ .

История [ править ]

Важность свойства наименьшей верхней границы была впервые признана Бернаром Больцано в его статье 1817 года Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewäahren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege . ^[3]

См. Также [ править ]

Список реальных тем анализа

Примечания [ править ]

^ Бартл и Шерберт (2011) определяют «свойство полноты» и говорят, что оно также называется «свойством супремума». (стр.39)
^ Уиллард говорит, что упорядоченное пространство «X является полным по Дедекинду, если каждое подмножество X, имеющее верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу». (стр. 124-5, проблема 17E.)
↑ Раман-Сундстрём, Маня (август – сентябрь 2015 г.). «Педагогическая история компактности». Американский математический ежемесячник . 122 (7): 619–635. arXiv : 1006.4131 . DOI : 10,4169 / amer.math.monthly.122.7.619 . JSTOR 10.4169 / amer.math.monthly.122.7.619 . S2CID 119936587 .

Ссылки [ править ]

Эбботт, Стивен (2001). Понимание анализа . Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
Алипрантис, Хараламбос Д .; Буркиншоу, Оуэн (1998). Принципы реального анализа (Третье изд.). Академический. ISBN 0-12-050257-7.

Бартл, Роберт Дж .; Шерберт, Дональд Р. (2011). Введение в реальный анализ (4-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-43331-6.
Брессуд, Дэвид (2007). Радикальный подход к реальному анализу . MAA. ISBN 978-0-88385-747-2.
Браудер, Эндрю (1996). Математический анализ: введение . Тексты для бакалавриата по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
Данджелло, Франк; Сейфрид, Майкл (1999). Вводный реальный анализ . Брукс Коул. ISBN 978-0-395-95933-6.
Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . Вальтер Рудин Студенческая серия по высшей математике (3-е изд.). Макгроу – Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8.
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 9780486434797.

[1] Бартл и Шерберт (2011) определяют «свойство полноты» и говорят, что оно также называется «свойством супремума». (стр.39)

[2] Уиллард говорит, что упорядоченное пространство «X является полным по Дедекинду, если каждое подмножество X, имеющее верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу». (стр. 124-5, проблема 17E.)

[Sundström-3] Раман-Сундстрём, Маня (август – сентябрь 2015 г.). «Педагогическая история компактности». Американский математический ежемесячник . 122 (7): 619–635. arXiv : 1006.4131 . DOI : 10,4169 / amer.math.monthly.122.7.619 . JSTOR 10.4169 / amer.math.monthly.122.7.619 . S2CID 119936587 .

[1]