Дедекинда вырезать

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: "Dedekind cut" - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( март 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Дедекинд использовал свой разрез для построения иррациональных , действительных чисел .

В математике , дедекиндовы порезы , названный в честь немецкого математика Ричарда Дедекиндом , но ранее рассмотренные Джозеф Бертрана , ^[1]^[2] являются а метод построения вещественных чисел от рациональных чисел . Разрез Дедекинда - это разделение рациональных чисел на два множества A и B , так что все элементы A меньше всех элементов B , а A не содержит наибольшего элемента . Множество Bможет иметь или не иметь наименьший элемент среди рациональных чисел. Если B имеет наименьший элемент среди рациональных чисел, разрез соответствует этому рациональному. В противном случае, что срез определяет уникальное нерациональное число , которое, грубо говоря, заполняет «пробел» между A и B . ^[3] Другими словами, A содержит каждое рациональное число, меньшее разреза, а B содержит каждое рациональное число, большее или равное разрезу. Иррациональный разрез приравнивается к иррациональному числу, которого нет ни в одном множестве. Каждое действительное число, рациональное или нет, приравнивается к одной и только одной части рациональных чисел. ^{[ необходима цитата ]}

Дедекиндовы разрезы могут быть обобщены от рациональных чисел до любого полностью упорядоченного множества , определяя разрез Дедекинда как разбиение полностью упорядоченного множества на две непустые части A и B , так что A закрывается вниз (что означает, что для всех a in A , x ≤ a означает, что x также находится в A ) и B замкнута вверх, и A не содержит наибольшего элемента. См. Также полноту (теория порядка) .

Несложно показать, что разрез Дедекинда среди действительных чисел однозначно определяется соответствующим разрезом среди рациональных чисел. Точно так же каждое сокращение реалов идентично сокращению, произведенному определенным действительным числом (которое может быть идентифицировано как наименьший элемент набора B ). Другими словами, числовая линия, где каждое действительное число определяется как дедекиндовское сокращение рациональных чисел, представляет собой полный континуум без каких-либо дальнейших пробелов.

Определение [ править ]

Разрез Дедекинда - это разделение рациональных чисел на два подмножества и такое, что ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle A}$ непусто.
${\ Displaystyle А \ neq \ mathbb {Q}}$ .
Если , и , то . ( «закрыто вниз».) ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle х <у}$ ${\ displaystyle y \ in A}$ ${\ displaystyle x \ in A}$ ${\ displaystyle A}$
Если , то существует такое, что . ( не содержит наибольшего элемента.) ${\ displaystyle x \ in A}$ ${\ displaystyle y \ in A}$ ${\ displaystyle y> x}$ ${\ displaystyle A}$

Ослабив первые два требования, мы формально получим расширенную линию действительных чисел .

Представления [ править ]

Более симметрично использовать обозначение ( A , B ) для разрезов Дедекинда, но каждый из A и B определяет другой. С точки зрения обозначений может быть упрощением, если не более того, сосредоточиться на одной «половине» - скажем, на нижней - и называть любое замкнутое вниз множество A без наибольшего элемента «разрезом Дедекинда».

Если упорядоченное множество S полно, то для каждого дедекиндова разреза ( A , B ) множества S набор B должен иметь минимальный элемент b , следовательно, мы должны иметь, что A - интервал (−∞, b ), а B интервал [ b , + ∞). В этом случае мы говорим, что b представлен разрезом ( A , B ).

Важная цель дедекиндовым срезе работать с наборами чисел, которые не завершена. Сам разрез может представлять число, не входящее в исходный набор чисел (чаще всего рациональные числа ). Разрез может представлять число b , даже если числа, содержащиеся в двух наборах A и B , на самом деле не включают число b, которое представляет их разрез.

Например, если A и B содержат только рациональные числа , их все равно можно разрезать на √ 2 , поместив каждое отрицательное рациональное число в A вместе с каждым неотрицательным числом, квадрат которого меньше 2; аналогично B будет содержать любое положительное рациональное число, квадрат которого больше или равен 2. Даже если рационального значения для √ 2 нет , если рациональные числа разделены на A и B таким образом, само разбиение представляет собой иррациональное число .

Заказ сокращений [ править ]

Рассматривать один дедекиндово сечение ( , Б ), а меньше , чем другой дедекиндов разрез ( C , D ) (одного и то же супермножество) , если является подмножеством C . Эквивалентно, если D - собственное подмножество B , разрез ( A , B ) снова меньше, чем ( C , D ). Таким образом, включение множества может использоваться для представления порядка чисел и всех других отношений ( больше , меньше или равно , равнои т. д.) аналогичным образом можно создать из отношений множества.

Множество всех дедекиндовских разрезов является линейно упорядоченным множеством (множеств). Более того, множество дедекиндовских разрезов обладает свойством наименьшей верхней границы , т. Е. Каждое его непустое подмножество, имеющее любую верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу. Таким образом, построение набора разрезов Дедекинда служит цели встраивания исходного упорядоченного множества S , которое могло не иметь свойства наименьшей верхней границы, в (обычно более крупный) линейно упорядоченный набор, который действительно имеет это полезное свойство.

Построение действительных чисел [ править ]

Типичный дедекиндовский разрез рациональных чисел дается разбиением с ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle (А, В)}$

A=\{a\in \mathbb {Q} :a^{2}<2{\text{ or }}a<0\},

B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}\geq 2{\text{ and }}b\geq 0\}.

^[4]

Этот разрез представляет собой иррациональное число √ 2 в конструкции Дедекинда. Основная идея состоит в том, что мы используем набор , который представляет собой набор всех рациональных чисел, квадраты которых меньше 2, для «представления» числа √ 2 и, более того, путем определения надлежащим образом арифметических операторов над этими наборами (сложение, вычитание, умножение , и деление), эти множества (вместе с этими арифметическими операциями) образуют знакомые действительные числа. $A$

Чтобы установить это, нужно показать, что на самом деле это разрез (согласно определению), а квадрат , то есть (см. Ссылку выше для точного определения того, как определяется умножение разрезов), является (обратите внимание, что строго говоря это разрез ). Чтобы показать первую часть, мы покажем, что для любого положительного рационального с , существует рациональное с и . Выбор работает, так что это действительно сокращение. Теперь, вооружившись умножением между разрезами, легко это проверить (по сути, это потому, что ). Поэтому, чтобы показать это , мы покажем, что , и достаточно показать, что для любого существует $A$ $A$ $A\times A$ $2$ $\{x\ |\ x\in \mathbb {Q} ,x<2\}$ $x$ $x^{2}<2$ $y$ $x<y$ $y^{2}<2$ $y={\frac {2x+2}{x+2}}$ $A$ $A\times A\leq 2$ $x\times y\leq 2,\forall x,y\in A,x,y\geq 0$ $A\times A=2$ $A\times A\geq 2$ $r<2$ $x\in A$ , . Для этого заметим, что если , то для построенного выше это означает, что у нас есть последовательность , квадрат которой может стать сколь угодно близким к , что завершает доказательство. $x^{2}>r$ $x>0,2-x^{2}=\epsilon >0$ $2-y^{2}\leq {\frac {\epsilon }{2}}$ $y$ $A$ $2$

Отметим, что равенство $b 2 = 2$ не может выполняться, поскольку √ 2 нерационально .

Обобщения [ править ]

Произвольные линейно упорядоченные множества [ править ]

В общем случае произвольного линейно упорядоченного множества X , A вырезать пара таким образом, что и , подразумевают . Некоторые авторы добавляют требование, чтобы и A, и B были непустыми. ^[5] $(A,B)$ $A\cup B=X$ $a\in A$ $b\in B$ $a<b$

Если ни у A нет максимума, ни у B нет минимума, разрез называется разрывом . Линейно упорядоченное множество, наделенное порядковой топологией, компактно тогда и только тогда, когда оно не имеет разрыва. ^[6]

Сюрреалистические числа [ править ]

Конструкция, напоминающая вырезки Дедекинда, используется (одна из многих возможных) для построения сюрреалистических чисел . Соответствующим понятием в этом случае является разрез Куэста-Дутари ^[7], названный в честь испанского математика Норберто Куэста Дутари .

Частично упорядоченные наборы [ править ]

В более общем смысле , если S является частично упорядоченным множеством , А пополнение из S означает полную решетку L с заказом-вложением S в L . Понятие полной решетки обобщает свойство наименьшей верхней границы вещественных чисел.

Одно пополнение S - это множество его замкнутых вниз подмножеств, упорядоченных по включению . Связанное пополнение, которое сохраняет все существующие sups и infs из S , получается следующей конструкцией: для каждого подмножества A из S пусть A ^u обозначает набор верхних границ A , а A ^l обозначает набор нижних границ A . (Эти операторы образуют связь Галуа .) Затем завершение Дедекинду MacNeille из S состоит из всех подмножеств А , для которых (^и ) ^l = A ; заказывается включением. Пополнение Дедекинда-Мак-Нейля представляет собой наименьшую полную решетку со встроенной в нее буквой S.

Заметки [ править ]

^ Бертран, Джозеф (1849). Traité d'Arithmétique . стр. 203. Несоизмеримое число может быть определено, только указав, как величина, которую оно выражает, может быть образована посредством единицы. В дальнейшем мы предполагаем, что это определение состоит из указания, какие соизмеримые числа меньше или больше него ....
^ Spalt, Детлеф (2019). Eine kurze Geschichte der Analysis . Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-662-57816-2 . ISBN 978-3-662-57815-5.
^ Дедекинд, Ричард (1872). Непрерывность и иррациональные числа (PDF) . Раздел IV. Таким образом, всякий раз, когда мы имеем дело с сокращением, не производимым никаким рациональным числом, мы создаем новое иррациональное число, которое мы считаем полностью определенным этим сокращением ... Следовательно, отныне каждому определенному сокращению соответствует определенное рациональное или иррациональное число ...
^ Во второй строкеможно заменить набез каких-либо различий, поскольку дляinнет решенияиэто уже запрещено первым условием. Это приводит к эквивалентному выражению $\geq$ $>$ $x^{2}=2$ $\mathbb {Q}$ $b=0$
$B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}>2{\text{ and }}b>0\}.$
^ Р. Энгелькинг, Общая топология, I.3
^ J.-L. Современная общая топология Нагаты, теорема VIII.2. На самом деле теорема верна в случае обобщенных упорядоченных пространств, но в этом более общем случае следует учитывать псевдощели.
^ Аллинг, Норман Л. (1987). Основы анализа сюрреалистических числовых полей . Математические исследования 141. Северная Голландия. ISBN 0-444-70226-1.

Ссылки [ править ]

Дедекинд, Ричард, Очерки теории чисел , «Непрерывность и иррациональные числа», Dover Publications: New York, ISBN 0-486-21010-3 . Также доступно в Project Gutenberg.

Внешние ссылки [ править ]

«Дедекиндовое сокращение» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Бертран, Джозеф (1849). Traité d'Arithmétique . стр. 203. Несоизмеримое число может быть определено, только указав, как величина, которую оно выражает, может быть образована посредством единицы. В дальнейшем мы предполагаем, что это определение состоит из указания, какие соизмеримые числа меньше или больше него ....

[2] Spalt, Детлеф (2019). Eine kurze Geschichte der Analysis . Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-662-57816-2 . ISBN 978-3-662-57815-5.

[3] Дедекинд, Ричард (1872). Непрерывность и иррациональные числа (PDF) . Раздел IV. Таким образом, всякий раз, когда мы имеем дело с сокращением, не производимым никаким рациональным числом, мы создаем новое иррациональное число, которое мы считаем полностью определенным этим сокращением ... Следовательно, отныне каждому определенному сокращению соответствует определенное рациональное или иррациональное число ...

[4] Во второй строкеможно заменить набез каких-либо различий, поскольку дляinнет решенияиэто уже запрещено первым условием. Это приводит к эквивалентному выражению $\geq$ $>$ $x^{2}=2$ $\mathbb {Q}$ $b=0$
$B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}>2{\text{ and }}b>0\}.$

[5] Р. Энгелькинг, Общая топология, I.3

[6] J.-L. Современная общая топология Нагаты, теорема VIII.2. На самом деле теорема верна в случае обобщенных упорядоченных пространств, но в этом более общем случае следует учитывать псевдощели.

[Alling-7] Аллинг, Норман Л. (1987). Основы анализа сюрреалистических числовых полей . Математические исследования 141. Северная Голландия. ISBN 0-444-70226-1.

[1]