Конфигурация (геометрия)

Конфигурации (4 ₃ 6 ₂ ) ( полный четырехугольник слева) и (6 ₂ 4 ₃ ) (полный четырехугольник справа).

В математике , в частности в проективной геометрии , конфигурация на плоскости состоит из конечного набора точек и конечного расположения линий , так что каждая точка инцидентна одному и тому же количеству линий, а каждая линия инцидентна одному и тому же количеству точек. . ^[1]

Хотя некоторые конкретные конфигурации были изучены ранее (например, Томасом Киркманом в 1849 году), формальное изучение конфигураций было впервые введено Теодором Реем в 1876 году во втором издании его книги Geometrie der Lage в контексте обсуждения Теорема Дезарга . Эрнст Стейниц написал свою диссертацию на эту тему в 1894 году, и они были популяризированы книгой Гильберта и Кон- Фоссена 1932 года « Anschauliche Geometrie» , переизданной на английском языке ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ).

Конфигурации можно изучать либо как конкретные наборы точек и линий в определенной геометрии, такой как евклидова или проективная плоскости (они, как говорят, могут быть реализованы в этой геометрии), либо как тип абстрактной геометрии инцидентности . В последнем случае они тесно связаны с регулярными гиперграфами и бирегулярными двудольными графами , но с некоторыми дополнительными ограничениями: каждые две точки структуры инцидентности могут быть связаны не более чем с одной линией, а каждые две прямые могут быть связаны не более чем с одной точкой. . То есть обхват соответствующего двудольного графа ( граф Леви конфигурации) должно быть не менее шести.

Обозначение [ править ]

Конфигурация на плоскости обозначается ( $p γ ℓ π$ ), где $p$ - количество точек, $ℓ$ - количество линий, $γ$ - количество линий на точку и $π$ - количество точек на линию. Эти числа обязательно удовлетворяют уравнению

{\ Displaystyle п \ гамма = \ ell \ pi \,}

поскольку этот продукт является количеством точек падения ( флагов ).

Конфигурации, имеющие один и тот же символ, скажем ( $p γ ℓ π$ ), не обязательно должны быть изоморфными как структуры инцидентности . Например, существует три различных (9 ₃ 9 ₃ ) конфигурации: конфигурация Pappus и две менее примечательные конфигурации.

В некоторых конфигурациях $p = ℓ$ и, следовательно, $γ = π$ . Они называются симметричными или сбалансированными ( Grünbaum 2009 ) конфигурациями, и обозначения часто сокращаются, чтобы избежать повторения. Например, (9 ₃ 9 ₃ ) сокращается до (9 ₃ ).

Примеры [ править ]

Конфигурация (10 ₃ ), не изоморфная по инцидентности конфигурации Дезарга

Известные проективные конфигурации включают следующее:

(1 ₁ ), простейшая возможная конфигурация, состоящая из точки, инцидентной прямой. Часто исключаются как тривиальные.
(3 ₂ ), треугольник . Каждая из трех его сторон пересекает две из трех его вершин, и наоборот. В более общем случае любой многоугольник из $n$ сторон образует конфигурацию типа ( $n 2$ )
(4 ₃ 6 ₂ ) и (6 ₂ 4 ₃ ), полный четырехугольник и полный четырехугольник соответственно.
(7 ₃ ), плоскость Фано . Эта конфигурация существует как абстрактная геометрия инцидентности , но не может быть построена в евклидовой плоскости .
(8 ₃ ) конфигурация Мебиуса – Кантора . Эта конфигурация описывает два четырехугольника, которые одновременно вписаны и описаны друг в друге. Его нельзя построить в геометрии евклидовой плоскости, но определяющие его уравнения имеют нетривиальные решения в комплексных числах .
(9 ₃ ) конфигурация Паппа .
(9 _- 12 ₃ ), то конфигурация Гесса из девяти точек перегиба одного кубических кривой в комплексной проективной плоскости и двенадцать линий определяются парами этих точек. Эта конфигурация разделяет с плоскостью Фано свойство, заключающееся в том, что она содержит каждую прямую, проходящую через свои точки; конфигурации с этим свойством известны как конфигурации Сильвестра – Галлаи из -за теоремы Сильвестра – Галлаи, которая показывает, что им нельзя давать координаты в виде действительных чисел ( Kelly 1986 ).
(10 ₃ ) конфигурация Дезарга .
(12 ₄ 16 ₃ ), конфигурация Рея .
(12 ₅ 30 ₂ ), двойная шестерка Шлефли , образованная 12 из 27 линий на кубической поверхности.
(15 ₃ ) конфигурация Кремоны – Ричмонда , образованная 15 линиями, дополнительными к двойной шестерке, и их 15 касательными плоскостями.
(16 ₆ ) конфигурация Куммера .
(21 ₄ ) конфигурация Грюнбаума – Ригби .
(27 ₃ ), Серая конфигурация
(35 ₄ ), конфигурация Данцера . Грюнбаум (2008) , Бобен, Геве и Пизански (2015)
(60 ₁₅ ), конфигурация Клейна .

Двойственность конфигураций [ править ]

Проективное двойной конфигурации ( $р & gamma л П$ ) является ( $л л р & gamma$ ) конфигурация , в которой обмениваются роли «точки» и «линии» являются. Таким образом, типы конфигураций входят в двойные пары, за исключением случаев, когда двойные результаты принимают изоморфную конфигурацию. Эти исключения называются самодуальными конфигурациями, и в таких случаях $p = ℓ$ . ^[2]

Количество ( $n 3$ ) конфигураций [ править ]

Количество неизоморфных конфигураций типа ( $n 3$ ), начиная с $n = 7$ , задается последовательностью

1 , 1 , 3 , 10 , 31 , 229 , 2036, 21399, 245342, ... (последовательность A001403 в OEIS )

Эти числа учитывают конфигурации как абстрактные структуры инцидентности, независимо от реализуемости ( Betten, Brinkmann & Pisanski 2000 ). Как обсуждает Гропп (1997) , девять из десяти (10 ₃ ) конфигураций и все конфигурации (11 ₃ ) и (12 ₃ ) могут быть реализованы на евклидовой плоскости, но для каждого $n \geq 16$ существует по крайней мере одна нереализуемая ( $n 3$ ) конфигурация. Гропп также указывает на длительную ошибку в этой последовательности: в статье 1895 года была предпринята попытка перечислить все (12 ₃ ) конфигурации и найдено 228 из них, но 229-я конфигурация не была обнаружена до 1988 года.

Конструкции симметричных конфигураций [ править ]

Существует несколько методов построения конфигураций, обычно начиная с известных конфигураций. Некоторые из простейших из этих методов позволяют построить симметричные ( $p γ$ ) конфигурации.

Любая конечная проективная плоскость порядка $n$ является конфигурацией (( $n 2 + n + 1) n + 1)$ . Пусть $Π$ - проективная плоскость порядка $n$ . Удалить из $П$ точку $Р$ и все линии $П$ , которые проходят через $P$ (но не точки , которые лежат на этих линиях , за исключением $P$ ) и удалить линию $л$ , не проходящая через $P$ и все точки , которые находятся на линии $л$ . Результатом является конфигурация типа (( $n 2 - 1) п)$ . Если в этой конструкции прямая $ℓ$ выбрана как линия, которая действительно проходит через $P$ , то конструкция приводит к конфигурации типа (( $n 2) n)$ . Поскольку известно, что проективные плоскости существуют для всех порядков $n,$ которые являются степенями простых чисел, эти конструкции обеспечивают бесконечные семейства симметричных конфигураций.

Не все конфигурации могут быть реализованы, например, конфигурация (43 ₇ ) не существует. ^[3] Однако, Gropp (1990) обеспечила конструкцию , которая показывает , что для $к^ 3$ , а ( $р к$ ) конфигурация существует для все $р \geq 2 л к + 1$ , где $ℓ к$ является длиной оптимальной Голомбы линейки из заказ $k$ .

Нетрадиционные конфигурации [ править ]

Высшие измерения [ править ]

Шлефли двойной шесть .

Концепция конфигурации может быть обобщена на более высокие измерения, Gévay (2014) , например, на точки и линии или плоскости в пространстве . В таких случаях ограничения на то, что никакие две точки не принадлежат более чем одной линии, могут быть ослаблены, поскольку две точки могут принадлежать более чем одной плоскости.

Известными трехмерными конфигурациями являются конфигурация Мебиуса , состоящая из двух взаимно вписанных тетраэдров, конфигурация Рея , состоящая из двенадцати точек и двенадцати плоскостей, с шестью точками на плоскость и шестью плоскостями на точку, конфигурация Грея, состоящая из 3 × 3 × 3 сетка из 27 точек и 27 ортогональных линий, проходящих через них, и двойная шестерка Шлефли , конфигурация с 30 точками, 12 линиями, двумя линиями на точку и пятью точками на линию.

Топологические конфигурации [ править ]

Конфигурация на проективной плоскости, которая реализуется точками и псевдолиниями , называется топологической конфигурацией Grünbaum (2009) . Например, известно, что не существует конфигураций типа точечная линия (19 ₄ ), однако существует топологическая конфигурация с этими параметрами.

Конфигурации точек и окружностей [ править ]

Другое обобщение концепции конфигурации касается конфигураций точек и окружностей, ярким примером которых является конфигурация Микеля (8 ₃ 6 ₄ ) Grünbaum (2009) .

См. Также [ править ]

Конфигурация Перлеса , набор из 9 точек и 9 линий, которые не все имеют одинаковое количество углов падения.

Заметки [ править ]

^ В литературе термины проективная конфигурация ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ) и тактическая конфигурация типа (1,1) ( Dembowski 1968 ) также используются для описания конфигураций, как они определены здесь.
^ Косетер 1999 , стр. 106-149
^ Эта конфигурация была бы проективной плоскостью порядка 6, которая не существует по теореме Брука – Райзера .

Ссылки [ править ]

Берман, Лия У. , «Подвижные ( n 4 ) конфигурации» , Электронный журнал комбинаторики , 13 (1): R104 CS1 maint: discouraged parameter (link).
Беттен, А; Brinkmann, G .; Писанский, Т. (2000), «Подсчет симметричных конфигураций», Дискретная прикладная математика , 99 (1–3): 331–338, DOI : 10.1016 / S0166-218X (99) 00143-2.
Бобен, Марко; Жеве, Габор; Писанский, Т. (2015), «Пересмотр конфигурации Данцера», Успехи в геометрии , 15 (4): 393–408.
Кокстер, HSM (1999), «Самодуальные конфигурации и регулярные графы», Красота геометрии , Дувр, ISBN 0-486-40919-8 CS1 maint: discouraged parameter (link)
Дембовски, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
Gévay, Gábor (2014), "Конструкции для конфигураций больших точек (n _k )", Ars Mathematica Contemporanea , 7 : 175-199.
Гропп, Харальд (1990), "О существовании и несуществовании конфигураций n _k ", Журнал комбинаторики и информационных систем , 15 : 34–48.
Гропп, Харальд (1997), «Конфигурации и их реализация», Дискретная математика , 174 (1–3): 137–151, DOI : 10.1016 / S0012-365X (96) 00327-5.
Грюнбаум, Бранко (2006), «Конфигурации точек и линий», в Дэвисе, Чандлере; Эллерс, Эрих У. (ред.), Наследие Кокстера: размышления и прогнозы , Американское математическое общество, стр. 179–225..
Грюнбаум, Бранко (2008), «Размышляя на примере Данцера», Европейский журнал комбинаторики , 29 : 1910-1918.
Грюнбаум, Бранко (2009), Конфигурации точек и линий , Аспирантура по математике , 103 , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4308-6.
Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Челси, стр. 94–170, ISBN 0-8284-1087-9.
Келли, Л. М. (1986), "Решение задачи Сильвестер-Галлаи из JP Серра", Дискретные и Вычислительная геометрия , 1 (1): 101-104, DOI : 10.1007 / BF02187687 CS1 maint: discouraged parameter (link).
Писанский, Томаж ; Серватиус, Бриджит (2013), Конфигурации с графической точки зрения , Springer, ISBN 9780817683641.

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. , «Конфигурация» , MathWorld

[1] В литературе термины проективная конфигурация ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ) и тактическая конфигурация типа (1,1) ( Dembowski 1968 ) также используются для описания конфигураций, как они определены здесь.

[2] Косетер 1999 , стр. 106-149

[3] Эта конфигурация была бы проективной плоскостью порядка 6, которая не существует по теореме Брука – Райзера .

[1]