В алгебраической геометрии , А морфизм между алгебраическими многообразиями является функцией между сортами , которые локально задаются полиномами. Ее еще называют обычной картой . Морфизм алгебраического многообразия к аффинной прямой также называется регулярной функцией . Регулярное отображение, обратное к которому также является регулярным, называется бирегулярным , и они являются изоморфизмами в категории алгебраических многообразий. Поскольку регулярность и бирегулярность являются очень ограничивающими условиями - на проективных многообразиях нет непостоянных регулярных функций - более слабое условие рационального отображения ичасто используются бирациональные карты.
Определение [ править ]
Если X и Y - замкнутые подмногообразия в A n и A m (значит, они являются аффинными многообразиями ), то регулярное отображение ƒ: X → Y является ограничением полиномиального отображения A n → A m . В явном виде он имеет вид
где s находятся в координатном кольце из X :
где I - идеал, определяющий X (примечание: два многочлена f и g определяют одну и ту же функцию на X тогда и только тогда, когда f - g находится в I ). Изображение е ( X ) лежит в Y , и , следовательно , удовлетворяет определяющие уравнения из Y . То есть регулярное отображение - это то же самое, что ограничение полиномиального отображения, компоненты которого удовлетворяют определяющим уравнениям .
В более общем плане , карта ƒ: X → Y между двумя сортами является регулярной в точке х , если существует окрестность U по х и окрестность V из ƒ ( х ) таким образом, что ƒ ( U ) ⊂ V и ограниченная функция ƒ: U → V является регулярным как функция на некоторых аффинных графиках U и V . Тогда ƒ называется регулярным , если она регулярна во всех точках X .
- Примечание: не сразу очевидно, что эти два определения совпадают: если X и Y - аффинные многообразия, то отображение ƒ: X → Y регулярно в первом смысле тогда и только тогда, когда оно так во втором смысле. [1] Кроме того, не сразу ясно, зависит ли регулярность от выбора аффинных диаграмм (это не так. [2] ) Однако такого рода проблема согласованности исчезает, если принять формальное определение. Формально (абстрактное) алгебраическое многообразие определяется как особый вид локально окольцованного пространства . Когда используется это определение, морфизм многообразий - это просто морфизм локально окольцованных пространств.
Состав регулярных карт снова регулярный; таким образом, алгебраические многообразия образуют категорию алгебраических многообразий, морфизмы которых являются регулярными отображениями.
Регулярные отображения между аффинными многообразиями контравариантно взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам алгебр между координатными кольцами: если ƒ: X → Y - морфизм аффинных многообразий, то он определяет гомоморфизм алгебр
где - координатные кольца X и Y ; он определен правильно, поскольку является многочленом от элементов . Наоборот, если является гомоморфизмом алгебр, то он индуцирует морфизм
предоставлено: написанием
где изображения русских. [3] Примечание, а также [4] В частности, f является изоморфизмом аффинных многообразий тогда и только тогда, когда f # является изоморфизмом координатных колец.
Например, если Х представляет собой замкнутое подмногообразие аффинного многообразия Y и ƒ является включением, то ƒ # есть ограничение регулярных функций на Y к X . Дополнительные примеры см. В разделе # Примеры ниже.
Обычные функции [ править ]
В частном случае, когда Y равно A 1, регулярное отображение ƒ: X → A 1 называется регулярной функцией и является алгебраическим аналогом гладких функций, изучаемых в дифференциальной геометрии. Кольцо регулярных функций (то есть кольцо координат или более абстрактно кольцо глобальных сечений структурного пучка) является фундаментальным объектом в аффинной алгебраической геометрии. Единственная регулярная функция на проективном многообразии постоянна (это можно рассматривать как алгебраический аналог теоремы Лиувилля в комплексном анализе ).
Скалярная функция ƒ: X → A 1 регулярна в точке x, если в некоторой открытой аффинной окрестности точки x она является рациональной функцией , регулярной в точке x ; т.е. рядом с x существуют регулярные функции g , h такие, что f = g / h и h не обращается в нуль в x . [5] Внимание: условие для некоторой пары ( g , h ) не для всех пар ( g , h ); см. Примеры.
Если X - квазипроективное многообразие ; то есть открытое подмножество проективного многообразия, то функция поля к ( X ) является такой же , как замыкания в X и , следовательно , рациональной функции на X имеет вид г / ч в течение некоторого однородных элементов г , ч из те же степени в однородном координатном кольцо из (сра структуры проективного многообразия # сорта .) Тогда рациональная функция F на X является регулярным в точке хтогда и только тогда, когда существуют некоторые однородные элементы g , h одинаковой степени в таких, что f = g / h и h не обращается в нуль в x . Эту характеристику иногда принимают за определение регулярной функции. [6]
Сравнение с морфизмом схем [ править ]
Если X = Spec A и Y = Spec B - аффинные схемы , то каждый гомоморфизм колец φ: B → A определяет морфизм
беря прообразы из простых идеалов . Все морфизмы между аффинными схемами относятся к этому типу, и склейка таких морфизмов дает морфизм схем в целом.
Теперь, если X , Y - аффинные многообразия; т.е. A , B являются областями целостности, которые являются конечно порожденными алгебрами над алгебраически замкнутым полем k , тогда, работая только с замкнутыми точками, приведенное выше определение совпадает с определением, данным в #Definition . (Доказательство: если ƒ: X → Y - морфизм, то записывая , нам нужно показать
где - максимальные идеалы, соответствующие точкам x и f ( x ); то есть . Это немедленно.)
Этот факт означает, что категорию аффинных многообразий можно отождествить с полной подкатегорией аффинных схем над k . Поскольку морфизмы многообразий получаются склейкой морфизмов аффинных многообразий точно так же, как морфизмы схем получаются склейкой морфизмов аффинных схем, то категория многообразий является полной подкатегорией категории схем над k .
Подробнее см. [1] .
Примеры [ править ]
- Регулярные функции на A n - это в точности многочлены от n переменных, а регулярные функции на P n - это в точности константы.
- Пусть X - аффинная кривая . потом
- это морфизм; он взаимно однозначен с обратным . Поскольку g также является морфизмом, f является изоморфизмом многообразий.
- Пусть X - аффинная кривая . потом
- это морфизм. Он соответствует гомоморфизму колец
- который считается инъективным (поскольку f сюръективен).
- Продолжая предыдущий пример, пусть U = A 1 - {1}. Поскольку U является дополнением гиперплоскости t = 1, U аффинно. Ограничение биективно. Но соответствующий гомоморфизм колец - это включение , которое не является изоморфизмом, и поэтому ограничение f | U не является изоморфизмом.
- Пусть X - аффинная кривая x 2 + y 2 = 1 и пусть
- .
- Тогда F является рациональной функцией на X . Он является регулярным в (0, 1), несмотря на выражение, поскольку как рациональная функция на X , f также может быть записано как .
- Пусть X = A 2 - (0, 0) . Тогда X - алгебраическое многообразие, поскольку это открытое подмножество многообразия. Если f - регулярная функция на X , то f регулярна на и поэтому находится внутри . Точно так же и в . Таким образом, мы можем написать:
- где g , h - многочлены от k [ x , y ]. Но отсюда следует, что g делится на x n, и поэтому f на самом деле является многочленом. Следовательно, кольцо регулярных функций на X - это просто k [ x , y ]. (Это также показывает, что X не может быть аффинным, поскольку в противном случае X определяется своим координатным кольцом и, следовательно, X = A 2. )
- Предположим , отождествляя точки ( x : 1) с точками x на A 1 и ∞ = (1: 0). Существует автоморфизм σ точки P 1, задаваемый формулой σ (x: y) = (y: x); в частности, σ меняет местами 0 и ∞. Если f - рациональная функция на P 1 , то
- и f регулярна в ∞ тогда и только тогда, когда f (1 / z ) регулярна в нуле.
- Взяв поле функций k ( V ) неприводимой алгебраической кривой V , все функции F в поле функций могут быть реализованы как морфизмы из V в проективную прямую над k . [ требуется уточнение ] (см. #Properties ) Изображение будет либо одной точкой, либо всей проективной линией (это следствие полноты проективных многообразий ). То есть, если F на самом деле не является постоянным, мы должны приписать F значение ∞ в некоторых точках V.
- Для любых алгебраических многообразий X , Y проекция
- это морфизм многообразий. Если X и Y аффинны, то соответствующий гомоморфизм колец есть
- где .
Свойства [ править ]
Морфизм между разновидностями непрерывен по отношению к топологиям Зарисского на источнике и цели.
Образ морфизма многообразий не обязательно должен быть открытым или закрытым (например, образ морфизма многообразий не должен быть ни открытым, ни закрытым). Однако все же можно сказать: если f - морфизм между многообразиями, то образ f содержит открытое плотное подмножество его замыкания. (ср. конструктивный набор .)
Морфизм ƒ: X → Y алгебраических многообразий называется доминантой, если он имеет плотный образ. Для такого f , если V - непустое открытое аффинное подмножество Y , то существует непустое открытое аффинное подмножество U в X такое, что ƒ ( U ) ⊂ V, и тогда оно инъективно. Таким образом, доминирующее отображение ƒ индуцирует инъекцию на уровне функциональных полей:
где предел пробегает все непустых открытых аффинных подмножеств Y . (Более абстрактно, это индуцированное отображение из поля вычетов из общей точки из Y в том , что из X .) Наоборот, каждое включение полей индуцируются доминантным рациональным отображением из X в Y . [7] Таким образом, указанная конструкция определяет контравариантную эквивалентность между категорией алгебраических многообразий над полем k и доминирующими рациональными отображениями между ними и категорией конечно порожденного расширения поля поля k . [8]
Если X - гладкая полная кривая (например, P 1 ) и если f - рациональное отображение X в проективное пространство P m , то f - регулярное отображение X → P m . [9] В частности, когда Х является гладкой полная кривая, любая рациональная функция на X можно рассматривать как морфизм Х → P 1 и, наоборот, такой как морфизм рациональной функции на X .
На нормальном многообразии (в частности, гладком многообразии ) рациональная функция регулярна тогда и только тогда, когда у нее нет полюсов коразмерности один. [10] Это алгебраический аналог теоремы Хартогса о продолжении . Есть и относительная версия этого факта; см. [2] .
Морфизм между алгебраическими многообразиями, который является гомеоморфизмом между лежащими в основе топологическими пространствами, не обязательно должен быть изоморфизмом (контрпример дается морфизмом Фробениуса ). С другой стороны, если f биективно бирационально и целевое пространство f является нормальным многообразием , то f бирегулярна. (ср . основную теорему Зарисского .)
Регулярное отображение комплексных алгебраических многообразий - голоморфное отображение . (На самом деле существует небольшое техническое различие: регулярное отображение - это мероморфное отображение, особые точки которого устранимы , но на практике это различие обычно игнорируется.) В частности, регулярное отображение в комплексные числа - это просто обычная голоморфная функция (комплексная -аналитическая функция).
Морфизмы в проективное пространство [ править ]
Позволять
- морфизм проективного многообразия в проективное пространство. Пусть х есть точка X . Тогда некоторая i -я однородная координата f ( x ) отлична от нуля; скажем, i = 0 для простоты. Тогда, по непрерывности, существует открытая аффинная окрестность U от х таких , что
- морфизм, где y i - однородные координаты. Обратите внимание, что целевое пространство - это аффинное пространство A m через идентификацию . Таким образом, по определению ограничение f | U определяется как
где ж я «s являются регулярными функциями на U . Так как X проективен, каждый г я представляет собой часть однородных элементов той же степени , в однородном координатном кольце к [ Х ] из X . Мы можем расположить дроби так, чтобы все они имели одинаковый однородный знаменатель, скажем, f 0 . Тогда мы можем записать g i = f i / f 0 для некоторых однородных элементов f i в k [ X ]. Следовательно, возвращаясь к однородным координатам,
для всех x в U и по непрерывности для всех x в X до тех пор, пока f i не обращаются в нуль в x одновременно. Если они обращаются в нуль одновременно в точке x из X , то с помощью описанной выше процедуры можно выбрать другой набор f i , которые не обращаются в нуль одновременно в точке x (см. Примечание в конце раздела).
Фактически, приведенное выше описание справедливо для любого квазипроективного многообразия X , открытого подмногообразия проективного многообразия ; с той разницей, что f i находятся в однородном координатном кольце .
Примечание . Выше не говорится, что морфизм проективного многообразия в проективное пространство задается одним набором многочленов (в отличие от аффинного случая). Например, пусть X - коника в P 2 . Тогда две карты и согласовать открытое подмножество в X (так как ) , и , следовательно , определяет морфизм .
Волокна морфизма [ править ]
Важный факт: [11]
Теорема - Пусть F : X → Y быть доминирующей (т.е., имеющие плотным образом) морфизм алгебраических многообразий, и пусть г = тусклый X - тусклый Y . потом
- Для каждого неприводимого замкнутого подмножества W из Y и каждой неприводимой компоненты Z из доминирующих W ,
- Там существует непустое открытое подмножество U в Y такое , что (а) и (б) для любого неприводимого замкнутого подмножества W из Y , пересекающая U и любая неприводимой компоненты Z из пересекающихся ,
Следствие - Пусть F : X → Y морфизм алгебраических многообразий. Для каждого x в X определите
Тогда е является полунепрерывна сверху ; т.е. для каждого целого n множество
закрыто.
В красной книге Мамфорда теорема доказывается с помощью нормировочной леммы Нётер . Алгебраический подход, в котором универсальная свобода играет главную роль, а понятие « универсально цепного кольца » является ключевым в доказательстве, см. Eisenbud, Ch. 14 книги «Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии». На самом деле, там доказательство показывает , что если е является плоской , то размерность равенство 2. теоремы имеет место в целом ( а не только в общем).
Степень конечного морфизма [ править ]
Пусть f : X → Y - конечный сюръективный морфизм алгебраических многообразий над полем k . Тогда, по определению, степень f - это степень конечного полевого расширения функционального поля k ( X ) над f * k ( Y ). По общей свободе существует некоторое непустое открытое подмножество U в Y такое, что ограничение структурного пучка O X на f −1 ( U ) свободно как OY | U -модуль. Тогда степеньfтакже является рангом этого свободного модуля.
Если е является этален и если X , Y является полным , то для любого когерентного пучка F на Y , написание х для характеристики Эйлера,
- [12]
(Формула Римана – Гурвица для разветвленного покрытия показывает, что здесь нельзя опускать «эталь».)
В общем, если е является конечным сюръективным морфизмом, если X , Y является полным и F когерентного пучка на Y , то из последовательности Леры спектрального , получает:
В частности, если F - тензорная степень линейного расслоения, то и поскольку носитель имеет положительную коразмерность, если q положительно, сравнивая главные члены, мы имеем:
(так как общий ранг в это степень е .)
Если f этальна, а k алгебраически замкнуто, то каждый геометрический слой f −1 ( y ) состоит в точности из точек deg ( f ).
См. Также [ править ]
- Алгебраическая функция
- Гладкий морфизм
- Этальные морфизмы - алгебраический аналог локальных диффеоморфизмов .
- Разрешение особенностей
- морфизм сокращения
Заметки [ править ]
- ^ Вот аргумент, показывающий, что определения совпадают. Ясно, что можно считать Y = A 1 . Тогда вопрос здесь в том, можно ли исправить «регулярность»; это да, и это можно увидеть из построения структурного пучка аффинного многообразия, как описано в аффинном многообразии # Структурный пучок .
- ^ Однако неясно, как это доказать. Если X , Y квазипроективны, то можно дать доказательство. Неквазипроективный случай сильно зависит от определения абстрактного многообразия.
- ^ Образлежит в Y , так как если г является полиномом J , то, априори мышлениепредставляет собой карту в аффинном пространстве,так как г в J .
- ^ Доказательство:поскольку ф - гомоморфизм алгебр. Также,
- ^ Доказательство. Пусть A - координатное кольцо такой аффинной окрестности точки x . Если f = g / h с некоторым g в A и ненулевым h в A , то f принадлежит A [ h −1 ] = k [ D ( h )]; то есть f - регулярная функция на D ( h ).
- ^ Хартсхорн , гл. I, § 3.
- ^ Вакил, Основы алгебраической геометрии , Предложение 6.5.7.
- ^ Хартсхорн , гл. I, теорема 4.4.
- ^ Хартсхорн , гл. I, предложение 6.8.
- ^ Доказательство: достаточно рассмотреть случай, когда многообразие аффинно, а затем использовать тот факт, что нётерова интегрально замкнутая область является пересечением всех локализаций на высоте единичных простых идеалов.
- ^ Мамфорд , гл. I, § 8. Теоремы 2, 3.
- ^ Фултон , пример 18.3.9.
Ссылки [ править ]
- Уильям Фултон, Теория пересечений, 2-е издание
- Робин Хартшорн (1997). Алгебраическая геометрия . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9.
- Милн, Алгебраическая геометрия , старая версия v. 5.xx.
- Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает лекции в Мичигане (1974) о кривых и их якобианах (2-е изд.). Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / b62130 . ISBN 354063293X.
- Игорь Шафаревич (1995). Основная алгебраическая геометрия I: многообразия в проективном пространстве (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-54812-2.