Окольцованное пространство

В математике , окольцованное пространство представляет собой семейство ( коммутативных ) кольца параметризованных открытых подмножеств одного топологического пространства вместе с кольцевыми гомоморфизмами , которые играют роли ограничений . Точнее, это топологическое пространство, снабженное пучком колец, называемым структурным пучком . Это абстракция понятия колец непрерывных (скалярнозначных) функций на открытых подмножествах.

Среди окольцованных пространств особенно важным и заметным является локально окольцованное пространство : окольцованное пространство, в котором справедлива аналогия между стержнем в точке и кольцом ростков функций в точке.

Кольчатые пространства появляются в анализе , а также комплексной алгебраической геометрии и теории схем в алгебраической геометрии .

Примечание : в определении окольцованного пространства в большинстве описаний, как правило, кольца ограничиваются коммутативными кольцами , включая Хартсхорн и Википедию. « Éléments de géométrie algébrique », с другой стороны, не налагает предположения о коммутативности, хотя в книге в основном рассматривается коммутативный случай. ^[1]

Определения [ править ]

Окольцованное пространство ( Х , О _Х ) представляет собой топологическое пространство X вместе с пучком из колец О _Х на Х . Пучок О _Х называется структурный пучок из X .

Локально окольцованное пространство является кольчатым пространством ( X , O _X ), что все черешки из O _X являются локальными кольцами (то есть у них есть уникальные максимальные идеалы ). Обратите внимание, что не требуется, чтобы O _X ( U ) было локальным кольцом для любого открытого множества U; на самом деле, этого почти никогда не бывает.

Примеры [ править ]

Произвольное топологическое пространство X можно рассматривать как локально окольцованное пространство, взяв О _Й быть пучком вещественных (или комплексных значениями ) непрерывных функций на открытых подмножествах X . Стебель в точке х можно рассматривать как совокупность всех ростков непрерывных функций при х ; это локальное кольцо с единственным максимальным идеалом, состоящим из ростков, значение которых в x равно 0.

Если X - многообразие с некоторой дополнительной структурой, мы также можем взять пучок дифференцируемых или комплексно-аналитических функций. Оба они порождают локально окольцованные пространства.

Если X - алгебраическое многообразие, несущее топологию Зарисского , мы можем определить локально окольцованное пространство, взяв O _X ( U ) как кольцо рациональных отображений, определенных на открытом по Зарисском множестве U, которые не раздуваются (становятся бесконечными) внутри U. Важным обобщением этого примера является спектр любого коммутативного кольца; эти спектры также являются локально окольцованными пространствами. Схемы - это локально окольцованные пространства, полученные путем «склеивания» спектров коммутативных колец.

Морфизмы [ править ]

Морфизм из ( X , О _Х ) до ( Y , O _Y ) является пара ( ф , ф ) , где F : X → Y представляет собой непрерывное отображение между лежащими в основе топологических пространств, и ф : О _Y → ф _* O _Х представляет собой морфизм из структурного пучка Y к прямым образом структурного пучка X . Другими словами, морфизм из (X , O _X ) в ( Y , O _Y ) задается следующими данными:

• непрерывное отображение F  : X → Y
• семейство гомоморфизмов колец φ _V  : O _Y ( V ) → O _X ( f  ^-1 ( V )) для любого открытого множества V в Y, которые коммутируют с отображениями ограничения. То есть, если V ₁ ⊂ V ₂ - два открытых подмножества Y , то следующая диаграмма должна коммутировать (вертикальные отображения - это гомоморфизмы ограничения):

Существует дополнительное требование для морфизмов между локально окольцованными пространствами:

• гомоморфизмы колец, индуцированные φ между слоями Y и слоями X, должны быть локальными гомоморфизмами , т. е. для любого x ∈ X максимальный идеал локального кольца (слоя) в точке f ( x ) ∈ Y отображается в максимальный идеал локального кольца при х ∈ х .

Два морфизма могут быть составлены, чтобы сформировать новый морфизм, и мы получаем категорию окольцованных пространств и категорию локально окольцованных пространств. Изоморфизмы в этих категориях определяются как обычно.

Касательные пробелы [ править ]

Локально окольцованные пространства имеют достаточно структуры, чтобы дать осмысленное определение касательных пространств . Пусть X - локально окольцованное пространство со структурным пучком O _X ; мы хотим , чтобы определить касательное пространство Т _х в точке х ∈ X . Возьмем локальное кольцо (стебель) R _x в точке x с максимальным идеалом m _x . Тогда k _x  : = R _x / m _x - поле и m _x / m _x ²- векторное пространство над этим полем ( кокасательное пространство ). Касательное пространство T _x определяется как двойственное к этому векторному пространству.

Идея заключается в следующем: касательный вектор в x должен указывать вам, как «различать» «функции» в x , то есть элементы R _x . Теперь достаточно знать, как дифференцировать функции, значение которых в x равно нулю, поскольку все другие функции отличаются от них только константой, и мы знаем, как дифференцировать константы. Итак, нам нужно только рассмотреть m _x . Более того, если две функции заданы со значением 0 в точке x , то их произведение имеет производную 0 в точке x по правилу произведения . Итак, нам нужно только знать, как присвоить «числа» элементам m _x / m._x ² , и это то, что делает двойное пространство.

Модули O _X [ править ]

Для локально окольцованного пространства ( X , O _X ) некоторые пучки модулей на X встречаются в приложениях, O _X -модулях. Для того, чтобы определить их, рассмотрим пучок F из абелевых групп на X . Если Р ( U ) представляет собой модуль над кольцом О _Х ( U ) для каждого открытого множества U в X , и карты рестрикции совместимы со структурой модуля, то мы называем F O _X-модуль. В этом случае, стебель F при х будет модулем над локальным кольцом (стебель) R _х , для каждого х ∈ Х .

Морфизм между двумя такими O _X -модулями - это морфизм пучков, который совместим с данными структурами модулей. Категория O _X -модулей над фиксированным локально окольцованным пространством ( X , O _X ) является абелевой категорией .

Важным подкатегория категории O _X -модулей является категорией квазикогерентных пучков на X . Пучок O _X -модулей называется квазикогерентным, если он локально изоморфен коядру отображения между свободными O _X -модулями. A когерентного пучка , F является квази-когерентным пучком , который, локально, конечного типа и для каждого открытого подмножества U из X ядра любого морфизма от бесплатного вывод _U -модули конечного ранга к F _U также конечного типа.

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Раздел 0.4 Гротендика, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). "Algébrique Éléments de géométrie: I. Le langage des schémas" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . DOI : 10.1007 / bf02684778 . Руководство по ремонту  0217083 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157

Внешние ссылки [ править ]

• Онищик А.Л. (2001) [1994], "Окольцованное пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press