Максимальный идеал

В математике , точнее в теории колец , максимальный идеал - это идеал, который является максимальным (относительно включения множества ) среди всех собственных идеалов. ^[1]^[2] Другими словами, I - максимальный идеал кольца R, если между I и R нет других идеалов .

Максимальные идеалы имеют важное значение , так как факторгруппы колец максимальными идеалами являются простыми кольцами , а в частном случае унитальных коммутативных колец они также поля .

В некоммутативной теории колец максимальный правый идеал определяется аналогично как максимальный элемент в ч.у.м. собственных правых идеалов, и аналогично максимальный левый идеал определяется как максимальный элемент ч.у.м. собственных левых идеалов. Поскольку односторонний максимальный идеал не обязательно двусторонний, фактор R / не обязательно является кольцо, но это простой модуль над R . Если R имеет единственный максимальный правый идеал, то R называется локальным кольцом., и максимальный правый идеал также является единственным максимальным левым и единственным максимальным двусторонним идеалом кольца и фактически является радикалом Джекобсона J ( R ).

Кольцо может иметь уникальный максимальный двусторонний идеал и при этом не иметь уникальных максимальных односторонних идеалов: например, в кольце квадратных матриц 2 на 2 над полем нулевой идеал является максимальным двусторонним идеалом. , но есть много максимальных правых идеалов.

Определение [ править ]

Существуют и другие эквивалентные способы выражения определения максимальных односторонних и максимальных двусторонних идеалов. Учитывая кольцо R и собственный идеал I в R (то есть я ≠ R ), I является максимальным идеалом R , если любой из следующих эквивалентных условий:

Там не существует никакой другой собственный идеал J из R , так что I ⊊ J .
Для любого идеала J с I ⊆ J , либо J = I или J = R .
Фактор-кольцо R / I - простое кольцо.

Для односторонних идеалов существует аналогичный список, для которого будут приведены только правые версии. Для правого идеала A кольца R следующие условия эквивалентны тому, что A является максимальным правым идеалом кольца R :

Там не существует никакого другого надлежащего правоидеальный B в R , так что ⊊ B .
Для любого правого идеала B с A ⊆ B , либо B = A или B = R .
Фактормодуль R / A является простым правым R -модулем.

Максимальные правые / левые / двусторонние идеалы являются двойным понятием , что и минимальных идеалов .

Примеры [ править ]

Если F - поле, то единственный максимальный идеал - это {0}.
В кольце Z целых чисел максимальные идеалы - это главные идеалы, порожденные простым числом.
Идеал - это максимальный идеал в кольце . Как правило, максимальные идеалы имеют вид где - простое число и - многочлен, в котором неприводимо по модулю . ${\ Displaystyle (2, х)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [х]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [х]}$ ${\ Displaystyle (п, е (х))}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [х]}$ ${\ displaystyle p}$
Каждый первичный идеал является максимальным идеалом в булевом кольце, т. Е. Кольцом, состоящим только из идемпотентных элементов. Фактически, каждый простой идеал максимален в коммутативном кольце всякий раз, когда существует такое целое число , что для любого . ${\ displaystyle R}$ $n>1$ $x^{n}=x$ $x\in R$
Вообще говоря, все ненулевые простые идеалы максимальны в области главных идеалов .
Максимальные идеалы кольца многочленов являются главными идеалами, порожденными для некоторых . $\mathbb {C} [x]$ $x-c$ $c\in \mathbb {C}$
В более общем смысле, максимальные идеалы кольца многочленов K [ x ₁ , ..., x _n ] над алгебраически замкнутым полем K - это идеалы вида ( x ₁ - a ₁ , ..., x _n - a _n ) . Этот результат известен как слабый Nullstellensatz .

Свойства [ править ]

Важный идеал кольца, называемый радикалом Джекобсона, можно определить с помощью максимальных правых (или максимальных левых) идеалов.
Если R - коммутативное кольцо с единицей с идеалом m , то k = R / m - поле тогда и только тогда, когда m - максимальный идеал. В этом случае R / m называется полем вычетов . Этот факт может не работать в неунитарных кольцах. Например, это максимальный идеал в , но не поле. $4\mathbb {Z}$ $2\mathbb {Z}$ $2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$
Если L - максимальный левый идеал, то R / L - простой левый R -модуль. Наоборот, в кольцах с единицей таким образом возникает любой простой левый R -модуль. Между прочим это показывает , что коллекция представителей простого левого R -модулями на самом деле множество , так как он может быть поставлен в соответствие с частью множества максимальных левых идеалов R .
Теорема Крулля (1929): Каждое ненулевое кольцо с единицей имеет максимальный идеал. Результат также верен, если «идеальный» заменить на «правый идеал» или «левый идеал». В более общем смысле верно, что каждый ненулевой конечно порожденный модуль имеет максимальный подмодуль. Предположим, что I - идеал, не являющийся R (соответственно, A - правый идеал, не являющийся R ). Тогда R / I - кольцо с единицей (соответственно, R / A - конечно порожденный модуль), и поэтому приведенные выше теоремы могут быть применены к факторному, чтобы заключить, что существует максимальный идеал (соответственно максимальный правый идеал)кольца Rсодержащий I (соответственно A ).
Теорема Крулля может быть неверной для колец без единицы. Радикальное кольцо , то есть кольцо , в котором Jacobson радикал представляет собой полное кольцо, не имеет простых модулей и , следовательно , не имеет максимальное права или левые идеалов. Смотрите обычные идеалы, чтобы узнать о возможных способах решения этой проблемы.
В коммутативном кольце с единицей каждый максимальный идеал является первичным идеалом . Обратное не всегда верно: например, в любой неполевой области целостности нулевой идеал является простым идеалом, который не является максимальным. Коммутативные кольца, в которых простые идеалы максимальны, называются нульмерными кольцами , где в качестве размерности используется размерность Крулля .
Максимальный идеал некоммутативного кольца может не быть простым в коммутативном смысле. Например, пусть будет кольцо всех матриц над . Это кольцо имеет максимальный идеал для любого простого числа , но это не первичный идеал, поскольку и (для ) не входят в , но . Однако максимальные идеалы некоммутативных колец являются главными в обобщенном смысле ниже. $M_{n\times n}(\mathbb {Z} )$ $n\times n$ $\mathbb {Z}$ $M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )$ $p$ $A={\text{diag}}(1,p)$ $B={\text{diag}}(p,1)$ $n=2$ $M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )$ $AB=pI_{2}\in M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )$

Обобщение [ править ]

Для R - модуля A , A максимальный подмодуль М из А является подмодулем М ≠ , удовлетворяющий тем свойством , что для любого другого подмодуль N , M ⊆ N ⊆ означает N = M или N = A . Эквивалентно, M является максимальным подмодулем тогда и только тогда, когда фактор-модуль A / M является простым модулем . Максимальные правые идеалы кольца R - это в точности максимальные подмодули модуляR _R .

В отличие от колец с единицей ненулевой модуль не обязательно имеет максимальные подмодули. Однако, как отмечалось выше, конечно порожденные ненулевые модули имеют максимальные подмодули, а также проективные модули имеют максимальные подмодули.

Как и в случае с кольцами, можно определить радикал модуля с помощью максимальных подмодулей. Кроме того, максимальные идеалы могут быть обобщены путем определения максимального суб-бимодулем M из более бимодуля B , чтобы быть надлежащим суб-бимодуль M , которая содержится ни в каком другом надлежащего суб-бимодуля М . Максимальные идеалы R тогда именно максимальные суб-бимодули бимодуле _R R _R .

Ссылки [ править ]

^ Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-43334-9.
^ Лэнг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для выпускников по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.

Андерсон, Фрэнк У .; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике, 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1-4612- 4418-9 , ISBN 0-387-97845-3, Руководство по ремонту 1245487
Лам, Т.Ю. (2001), Первый курс некоммутативных колец , Тексты для выпускников по математике, 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 385, DOI : 10.1007 / 978-1-4419-8616 -0 , ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439

[1] Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-43334-9.

[2] Лэнг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для выпускников по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.

[1]