Схема (математика)

В математике , схема является математической структурой , которая расширяет понятие алгебраического многообразия несколько способов, например, с учетом кратности (уравнения х = 0 и х ² = 0 определяют один и то же алгебраическое многообразие и различные схемы) и позволяет «сорту "определено над любым коммутативным кольцом (например, кривые Ферма определены над целыми числами ).

Схемы были введены Александром Гротендиком в 1960 году в его трактате « Éléments de géométrie algébrique »; одной из его целей было развитие формализма, необходимого для решения глубоких проблем алгебраической геометрии , таких как гипотезы Вейля (последняя из которых была доказана Пьером Делинем ). ^[1] Теория схем, сильно основанная на коммутативной алгебре , позволяет систематически использовать методы топологии и гомологической алгебры . Теория схем также объединяет алгебраическую геометрию с большей частью теории чисел , что в конечном итоге привело к доказательству Уайлса Великой теоремы Ферма .

Формально схема - это топологическое пространство вместе с коммутативными кольцами для всех его открытых множеств, которое возникает в результате склеивания спектров (пространств простых идеалов ) коммутативных колец по их открытым подмножествам. Другими словами, это окольцованное пространство, локально являющееся спектром коммутативного кольца.

Относительная точка зрения является то , что большая часть алгебраической геометрии должны быть разработаны для морфизма X → Y схем (называемой схемы Х над Y ), а не для отдельной схемы. Например, при изучении алгебраических поверхностей , это может быть полезно рассматривать семейства алгебраических поверхностей над любой схемой Y . Во многих случаях семейство всех разновидностей данного типа можно рассматривать как разновидность или схему, известную как пространство модулей .

Некоторые подробные определения теории схем см. В глоссарии теории схем .

Развитие [ править ]

Истоки алгебраической геометрии в основном лежат в изучении полиномиальных уравнений над действительными числами . К 19 - го века, стало ясно , ( в частности , в работе Понселе и Бернхард Риман ) , что алгебраическая геометрия была упрощена, работая над полем из комплексных чисел , который имеет преимущество в том , алгебраически замкнуто . ^[2] В начале 20 века постепенно привлекали внимание два вопроса, мотивированных проблемами теории чисел: как можно разработать алгебраическую геометрию над любым алгебраически замкнутым полем, особенно в положительной характеристике ? (Инструменты топологии икомплексный анализ, используемый для изучения сложных многообразий, здесь, кажется, неприменим.) А как насчет алгебраической геометрии над произвольным полем?

Nullstellensatz Гильберта предлагает подход к алгебраической геометрии над любым алгебраически замкнутым полем k : максимальные идеалы в кольце многочленов k [ x ₁ , ..., x _n ] находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством k ⁿ из n - наборы элементов k , а простые идеалы соответствуют неприводимым алгебраическим множествам в k ⁿ , известным как аффинные многообразия. Руководствуясь этими идеями, Эмми Нётер и Вольфганг Крулл разработали предмет коммутативной алгебры.в 1920-1930-е гг. ^[3] Их работа обобщает алгебраическую геометрию в чисто алгебраическом направлении: вместо изучения первичных идеалов в кольце многочленов, можно изучать первичные идеалы в любом коммутативном кольце. Например, Крулл определил размерность любого коммутативного кольца в терминах простых идеалов. По крайней мере, когда кольцо является нётеровым , он доказал многие свойства, которые можно было бы получить от геометрического понятия размерности.

Коммутативную алгебру Нётер и Крулля можно рассматривать как алгебраический подход к аффинным алгебраическим многообразиям. Однако многие аргументы в алгебраической геометрии лучше подходят для проективных многообразий , главным образом потому, что проективные многообразия компактны . С 1920-х по 1940-е годы Б.Л. ван дер Варден , Андре Вейль и Оскар Зариски применяли коммутативную алгебру в качестве новой основы алгебраической геометрии в более богатой среде проективных (или квазипроективных ) многообразий. ^[4] В частности, топология Зарисского является полезной топологией на многообразии над любым алгебраически замкнутым полем, в некоторой степени заменяющей классическую топологию на комплексном многообразии (основанной на топологии комплексных чисел).

Для приложений к теории чисел ван дер Варден и Вейль сформулировали алгебраическую геометрию над любым полем, не обязательно алгебраически замкнутым. Вейль был первым, кто определил абстрактное многообразие (не вложенное в проективное пространство ), склеивая аффинные многообразия по открытым подмножествам на модели многообразий в топологии. Эта общность понадобилась ему для построения якобиевого многообразия кривой над любым полем. (Позже Вейл, Чоу и Мацусака показали, что якобианы являются проективными многообразиями .)

Алгебраические геометры итальянской школы часто использовали несколько туманное понятие общей точки алгебраического многообразия. То, что верно для общей точки, верно для «большинства» точек этого разнообразия. В « Основах алгебраической геометрии» Вейля (1946) общие точки строятся путем взятия точек в очень большом алгебраически замкнутом поле, называемом универсальной областью . ^[4] Хотя это сработало в качестве основы, это было неудобно: для одного и того же сорта было много разных общих точек. (В более поздней теории схем каждое алгебраическое многообразие имеет одну общую точку.)

В 1950-х годах Клод Шевалле , Масаёши Нагата и Жан-Пьер Серр , частично мотивированные гипотезами Вейля, связывающими теорию чисел и алгебраическую геометрию, далее расширили объекты алгебраической геометрии, например, путем обобщения разрешенных базовых колец. Слово « схема» впервые было использовано на семинаре Шевалле в 1956 году, на котором Шевалле продолжал развивать идеи Зарисского. ^[5] По словам Пьера Картье , именно Андре Мартино предложил Серру возможность использования спектра произвольного коммутативного кольца в качестве основы алгебраической геометрии. ^[6]

Происхождение схем [ править ]

Затем Гротендик дал решающее определение схемы, завершив серию экспериментальных предложений и частичных разработок. ^[7] Он определил спектр X в виде коммутативной кольца R в пространстве простых идеалов в R с естественной топологией (известной как Зарисские), но дополненный его с пучком колец: для любого открытого множества U он назначен коммутативное кольцо O _X ( U ). Эти объекты Spec ( R ) являются аффинными схемами; тогда общая схема получается путем «склейки» аффинных схем.

Большая часть алгебраической геометрии сосредотачивается на проективных или квазипроективных многообразиях над полем k ; фактически, k часто принимают за комплексные числа. Схемы такого рода очень особенные по сравнению с произвольными схемами; сравните приведенные ниже примеры. Тем не менее удобно, что Гротендик разработал обширную теорию для произвольных схем. Например, обычно пространство модулей сначала строят как схему и только потом изучают, является ли оно более конкретным объектом, например проективным многообразием. Кроме того, приложения к теории чисел быстро приводят к схемам над целыми числами, которые не определены ни над каким полем.

Определение [ править ]

Аффинная схема является локально окольцованное пространство изоморфно спектра Spec ( R ) коммутативной кольца R . Схема является локально окольцованным пространством X , допускающий покрытие открытых множествами U _я , таким образом, что каждый из U _я (как локально кольчатого пространство) является аффинной схемой. ^[8] В частности, X имеет пучок O _X , который ставит в соответствие каждому открытому подмножеству U коммутативное кольцо O _X ( U ), называемое кольцом регулярных функцийна U . Можно представить себе схему как покрытую «координатными картами», которые являются аффинными схемами. Определение в точности означает, что схемы получаются склейкой аффинных схем с использованием топологии Зарисского.

Вначале это называлось предварительной схемой , а схема была определена как отдельная предварительная схема. Термин «precheme» вышел из употребления, но его все еще можно найти в более старых книгах, таких как «Éléments de géométrie algébrique» Гротендика и «Красная книга» Мамфорда . ^[9]

Базовым примером аффинной схемы является аффинное n -пространство над полем k для натурального числа n . По определению A^п
_к- спектр кольца многочленов k [ x ₁ , ..., x _n ]. В духе теории схем аффинное n -пространство может быть фактически определено над любым коммутативным кольцом R , что означает Spec ( R [ x ₁ , ..., x _n ]).

Категория схем [ править ]

Схемы образуют категорию с морфизмами, определяемыми как морфизмы локально окольцованных пространств. (См. Также: морфизм схем .) Для схемы Y схема X над Y означает морфизм схем X → Y. Схема X над коммутативным кольцом R означает морфизм X → Spec ( R ).

Алгебраическое многообразие над полем k можно определить как схему над k с некоторыми свойствами. Существуют разные соглашения о том, какие именно схемы следует называть разновидностями. Стандартный выбор состоит в том, что многообразие над k означает целочисленную разделенную схему конечного типа над k . ^[10]

Морфизм схем f : X → Y определяет гомоморфизм обратного образа на кольцах регулярных функций f *: O ( Y ) → O ( X ). В случае аффинных схем, эта конструкция дает взаимно однозначное соответствие-к-одному между морфизмов Spec ( A ) → Spec ( B ) схем и кольцевых гомоморфизмов В → A . ^[11] В этом смысле теория схем полностью включает теорию коммутативных колец.

Поскольку Z является исходным объектом в категории коммутативных колец , категория схем имеет Spec ( Z ) в качестве конечного объекта .

Для схемы X над коммутативным кольцом R , An R - точка из X означает сечение морфизма Х → Spec ( R ). Один пишет X ( R ) для множества R -точка X . В примерах, это определение реконструирует старое понятие множества решений , определяющих уравнений X со значениями в R . Когда R - поле k , X ( k ) также называется набором k -рациональные точки из X .

В более общем плане , для схемы X над коммутативным кольцом R и любой коммутативной R - алгебры S , An S - точка из X означает морфизм Spec ( S ) → X над R . Один пишет X ( S ) для множества S -точек X . (Это обобщает старое наблюдение, согласно которому для некоторых уравнений над полем k можно рассматривать множество решений уравнений в любом расширении поля E поля k .) Для схемыX над R присвоение S ↦ X ( S ) является функтором коммутативных R -алгебр в множества. Важно отметить, что схема X над R определяется этим функтором точек . ^[12]

Волокнистый продукт схем всегда существует. То есть для любых схем X и Z с морфизмами в схему Y расслоенное произведение X × _Y Z (в смысле теории категорий ) существует в категории схем. Если X и Z - схемы над полем k , их послойное произведение над Spec ( k ) можно назвать произведением X × Z в категории k -схем. Например, произведение аффинных пространств A ^m и A ⁿ над kявляется аффинным пространством A ^{m + n} над k .

Поскольку в категории схем есть волоконные продукты, а также конечный объект Spec ( Z ), у нее есть все конечные пределы .

Примеры [ править ]

• Каждая аффинная схема Spec ( R ) является схемой. (Здесь и далее все рассматриваемые кольца коммутативны.)
• Многочлен f над полем k , f ∈ k [ x ₁ , ..., x _n ], определяет замкнутую подсхему f = 0 в аффинном пространстве A ⁿ над k , называемую аффинной гиперповерхностью . Формально его можно определить как

${\displaystyle \operatorname {Spec} k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(f).}$

Например, принимая k в качестве комплексных чисел, уравнение x ² = y ² ( y +1) определяет особую кривую на аффинной плоскости A²
_С, называемая узловой кубической кривой .

• Для любого коммутативного кольца R и натурального числа п , проективное пространство P^п
  _Rможно построить как схему, склеивая n + 1 копию аффинного n -пространства над R по открытым подмножествам. Это фундаментальный пример, который побуждает выйти за рамки аффинных схем. Ключевым преимуществом проективного пространства перед аффинным является то, что P^п
  _Rявляется надлежащее над R ; это алгебро-геометрическая версия компактности. Связанное наблюдение состоит в том, что комплексное проективное пространство CP ⁿ является компактным пространством в классической топологии (основанной на топологии C ), тогда как C ⁿ - нет (при n > 0).
• Однородный многочлен F положительной степени в кольце многочленов R [ х ₀ , ..., х _п ] определяет замкнутую подсхему п = 0 в проективном пространстве Р ^п над R , называется проективное гиперповерхность . В терминах конструкции Proj эту подсхему можно записать как

${\displaystyle \operatorname {Proj} R[x_{0},\ldots ,x_{n}]/(f).}$

Например, замкнутая подсхема х ³ + у ³ = г ³ из Р²
_Qявляется эллиптической кривой над рациональными числами .

• Линия с двумя происхождения (над полем к ) является схема определяется , начиная с двух копий аффинной прямой над к , и склеивание вместе двух открытых подмножеств A ¹ - 0 отображением идентификационной информации . Это простой пример неразделенной схемы. В частности, это не аффинно. ^[13]
• Простая причина выйти за рамки аффинных схем состоит в том, что открытое подмножество аффинной схемы не обязательно должно быть аффинным. Например, пусть X = A ⁿ - 0, скажем, над комплексными числами C ; то X не аффинно при n ≥ 2. (Ограничение на n необходимо: аффинная прямая без начала координат изоморфна аффинной схеме Spec ( C [ x , x ⁻¹ ].) Чтобы показать, что X не аффинно, вычисляется, что каждая регулярная функция на X продолжается до регулярной функции на A ⁿ , когда n ≥ 2. (Это аналогично лемме Хартогсав комплексном анализе, хотя его легче доказать.) То есть включение f : X → A ⁿ индуцирует изоморфизм из O (A ⁿ ) = C [ x ₁ , ...., x _n ] в O ( X ). Если бы X был аффинным, то отсюда следовало бы, что f был бы изоморфизмом. Но f не сюръективен и, следовательно, не является изоморфизмом. Следовательно, схема X не аффинна. ^[14]
• Пусть k - поле. Тогда схема является аффинной схемой, основным топологическим пространством которой является компактификация Стоуна – Чеха натуральных чисел (с дискретной топологией). Фактически, первичные идеалы этого кольца находятся во взаимно однозначном соответствии с ультрафильтрами на натуральных числах, причем идеал соответствует главному ультрафильтру, связанному с положительным целым числом n . ^[15] Это топологическое пространство нульмерно , и, в частности, каждая точка является неприводимой компонентой . Поскольку аффинные схемы квазикомпактны${\displaystyle \textstyle \operatorname {Spec} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)}$${\displaystyle \textstyle \prod _{m\neq n}k}$, это пример квазикомпактной схемы с бесконечным числом неприводимых компонент. (Напротив, нётерова схема имеет только конечное число неприводимых компонентов.)

Примеры морфизмов [ править ]

Также полезно рассматривать примеры морфизмов в качестве примеров схем, поскольку они демонстрируют свою техническую эффективность для инкапсуляции многих объектов исследования в алгебраической и арифметической геометрии.

Арифметические поверхности [ править ]

Если мы рассматриваем многочлен, то аффинная схема имеет канонический морфизм в и называется арифметической поверхностью . Тогда слои являются алгебраическими кривыми над конечными полями . Если - эллиптическая кривая, то слои над ее дискриминантным множеством порождены где${\displaystyle f\in \mathbb {Z} [x,y]}$${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x,y]/(f))}$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$${\displaystyle X_{p}=X\times _{\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}+ax^{2}+bx+c}$${\displaystyle \Delta _{f}}$

${\displaystyle \Delta _{f}=-4a^{3}c+a^{2}b^{2}+18abc-4b^{3}-27c^{2}}$^[16]

- все особые схемы. Например, если - простое число и${\displaystyle p}$

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [x,y]}{(y^{2}-x^{3}-p)}}\right)}$

то его дискриминант . В частности, эта кривая сингулярна над простыми числами .${\displaystyle -27p^{2}}$${\displaystyle 3,p}$

Мотивация для схем [ править ]

Вот несколько способов, которыми схемы выходят за рамки старых представлений об алгебраических многообразиях, и их значение.

• Расширения полей. Учитывая некоторые полиномиальные уравнения от n переменных над полем k , можно изучить множество X ( k ) решений уравнений в множестве произведений k ⁿ . Если поле k алгебраически замкнуто (например, комплексные числа), то можно основывать алгебраическую геометрию на множествах, таких как X ( k ): определить топологию Зарисского на X ( k ), рассмотреть полиномиальные отображения между различными наборами этого типа, и так далее. Но если k не алгебраически замкнуто, то множество X ( k) недостаточно богат. В самом деле, можно изучать решения X ( E ) данных уравнений в любом расширении поля E поля k , но эти множества не определяются X ( k ) в каком-либо разумном смысле. Например, плоская кривая X над действительными числами, определенными как x ² + y ² = −1, имеет X ( R ) пустым, но X ( C ) не пустым. (Фактически, X ( C ) можно отождествить с C - 0.) Напротив, схема Xнад полем к имеет достаточно информации для определения множества X ( E ) в E - рациональных точек для каждого поля расширения Е в к . (В частности, замкнутая подсхема A²
  _ропределяется как x ² + y ² = −1, является непустым топологическим пространством.)
• Общая точка. Точки аффинной прямой A¹
  _К, как схема, являются ее комплексными точками (по одной для каждого комплексного числа) вместе с одной общей точкой (замыкание которой является всей схемой). Общая точка - это образ естественного морфизма Spec ( C ( x )) → A¹
  _К, где C ( x ) - поле рациональных функций от одной переменной. Чтобы понять, почему полезно иметь фактическую «общую точку» в схеме, рассмотрим следующий пример.
• Пусть X - плоская кривая y ² = x ( x −1) ( x −5) над комплексными числами. Это замкнутая подсхема A²
  _С. Его можно рассматривать как разветвленное двойное покрытие аффинной прямой A¹
  _Кпроецируя на координату x . Слой морфизма X → A ¹ над общей точкой A ¹ является в точности общей точкой X , что дает морфизм

${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right)\to \operatorname {Spec} \mathbf {C} (x).}$

Это, в свою очередь, эквивалентно расширению полей степени -2.

${\displaystyle \mathbf {C} (x)\subset \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right).}$

Таким образом, наличие реальной общей точки многообразия дает геометрическую связь между морфизмом степени 2 алгебраических многообразий и соответствующим расширением степени 2 функциональных полей . Это обобщает отношение между фундаментальной группой (которая классифицирует накрывающие пространства в топологии) и группой Галуа (которая классифицирует некоторые расширения полей ). Действительно, теория этальной фундаментальной группы Гротендика рассматривает фундаментальную группу и группу Галуа на одном уровне.

• Нильпотентные элементы . Пусть X - замкнутая подсхема аффинной прямой A¹
  _Копределяется как x ² = 0, иногда называется жирной точкой . Кольцо регулярных функций на X - это C [ x ] / ( x ² ); в частности, регулярная функция х на X является нильпотентное , но не равна нулю. Чтобы указать значение этой схемы: две регулярные функции на аффинной линии имеют одинаковое ограничение на X тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое значение и первую производную в начале координат. С учетом таких Непро- уменьшенных схем приносят идеи исчисления и инфинитезималей в алгебраическую геометрию.
• Для более сложного примера можно описать все нульмерные замкнутые подсхемы степени 2 в гладком комплексном многообразии Y . Такая подсхема состоит либо из двух различных комплексных точек Y , либо из подсхемы, изоморфной X = Spec C [ x ] / ( x ² ), как в предыдущем абзаце. Подсхемы последнего типа определяются сложной точкой у из Y вместе с линией в касательном пространстве Т _у Y . ^[17] Это снова указывает на то, что нередуцированные подсхемы имеют геометрическое значение, связанное с производными и касательными векторами.

Когерентные пучки [ править ]

Центральным разделом теории схем является понятие когерентных пучков , обобщающее понятие (алгебраических) векторных расслоений . Для схемы X , одна начинается с рассмотрением абелевой категории из О X -модулей , которые являются пучками абелевых групп на X , которые образуют модуль над пучком регулярных функций O _X . В частности, модуль M над коммутативным кольцом R определяет ассоциированный O _X -модуль~Mна X = Spec ( R ). Квази-когерентный пучок на схему X означает О _Й - модуле , который представляет собой пучок , ассоциированный с модулем на каждом аффинном открытом подмножестве X . Наконец, когерентный пучок (на нётеровую схеме X , скажет) представляет собой О _Й - модуле , который представляет собой пучок , ассоциированный с конечным числом образующих модуля на каждом аффинном открытом подмножестве X .

Когерентные пучки включают важный класс векторных расслоений , которые представляют собой пучки, локально возникающие из конечно порожденных свободных модулей . Примером может служить касательное расслоение гладкого многообразия над полем. Однако когерентные пучки богаче; например, векторное расслоение на замкнутую подсхему Y из X можно рассматривать как когерентный пучок на X , которая равна нуль вне Y (по прямому изображению конструкции). Таким образом, когерентные пучки на схеме X , включают информацию о всех замкнутых подсхем X . Более того, когомологии пучковобладает хорошими свойствами для когерентных (и квазикогерентных) пучков. Полученная в результате теория когерентных когомологий пучков, возможно, является основным техническим инструментом алгебраической геометрии. ^[18]

Обобщения [ править ]

Схема, рассматриваемая как ее функтор точек, представляет собой функтор, который является пучком множеств для топологии Зарисского на категории коммутативных колец и который локально в топологии Зарисского является аффинной схемой. Это можно обобщить по-разному. Один из них - использовать этальную топологию . Майкл Артин определил алгебраическое пространство как функтор, который является пучком в этальной топологии и который локально в этальной топологии является аффинной схемой. Эквивалентно, алгебраическое пространство - это фактор схемы по отношению этальной эквивалентности. Мощный результат, теорема Артина о представимости , дает простые условия для представления функтора алгебраическим пространством. ^[19]

Дальнейшее обобщение - это идея стека . Грубо говоря, алгебраические стеки обобщают алгебраические пространства, имея алгебраическую группу, присоединенную к каждой точке, которая рассматривается как группа автоморфизмов этой точки. Например, любое действие алгебраической группы G на алгебраическом многообразии X определяет стек фактор [ X / G ], которая запоминает стабилизатор подгруппу для действия G . В более общем смысле, пространства модулей в алгебраической геометрии часто лучше всего рассматривать как стеки, тем самым отслеживая группы автоморфизмов классифицируемых объектов.

Гротендик первоначально представил стеки как инструмент теории спуска . В этой формулировке стеки представляют собой (неформально говоря) пучки категорий. ^[20] Исходя из этого общего понятия, Артин определил более узкий класс алгебраических стеков (или «стеков Артина»), которые можно рассматривать как геометрические объекты. К ним относятся стеки Делиня – Мамфорда (аналогичные орбифолдам в топологии), для которых группы стабилизаторов конечны, и алгебраические пространства, для которых группы стабилизаторов тривиальны. Теорема Киля – Мори гласит, что алгебраический стек с конечными группами стабилизаторов имеет грубое пространство модулей, которое является алгебраическим пространством.

Другой тип обобщения - это обогащение структурного пучка, приближающее алгебраическую геометрию к теории гомотопий . В этом случае, известном как производная алгебраическая геометрия или «спектральная алгебраическая геометрия», структурный пучок заменяется гомотопическим аналогом пучка коммутативных колец (например, пучком E-бесконечных кольцевых спектров ). Эти пучки допускают алгебраические операции, которые ассоциативны и коммутативны только с точностью до отношения эквивалентности. Фактор по этому отношению эквивалентности дает структурный пучок обычной схемы. Однако отказ от частного приводит к теории, которая может запоминать более высокую информацию так же, как производные функторыв гомологической алгебре дают более подробную информацию о таких операциях, как тензорное произведение и функтор Hom на модулях.

См. Также [ править ]

• Плоский морфизм , Гладкий морфизм , Собственный морфизм , Конечный морфизм , Этальный морфизм
• Стабильная кривая
• Бирациональная геометрия
• Этальные когомологии , группа Чоу , теория Ходжа
• Групповая схема , Абелево многообразие , Линейная алгебраическая группа , Редуктивная группа
• Модули алгебраических кривых
• Схемы склеивания

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Arapura, Дону (2011), "амплитуда фробениусова, Ультрапроизведения и обращается в нуль на сингулярных пространствах", штат Иллинойс Журнал математики , 55 (4): 1367-1384, DOI : 10,1215 / IJM / 1373636688 , МР  3082873
• Картье, Пьер (2001), «Работа безумного дня: от Гротендика до Конна и Концевича. Эволюция концепций пространства и симметрии», Бюллетень Американского математического общества , 38 (4): 389–408, doi : 10.1090 / S0273-0979-01-00913-2 , МР  1848254
• Дьедонне, Жан (1985), История алгебраической геометрии , Wadsworth, ISBN 978-0-534-03723-9, Руководство по ремонту  0780183
• Дэвид Эйзенбуд ; Джо Харрис (1998). Геометрия схем . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98637-1. Руководство по ремонту  1730819 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). "Algébrique Éléments de géométrie: I. Le langage des schémas" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . DOI : 10.1007 / bf02684778 . Руководство по ремонту  0217083 .
• Робин Хартшорн (1997) [1977]. Алгебраическая геометрия . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. Руководство по ремонту  0463157 .
• Цин Лю (2002). Алгебраическая геометрия и арифметические кривые . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-850284-5. MR  1917232 .
• Дэвид Мамфорд (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает лекции в Мичигане (1974) о кривых и их якобианах . Конспект лекций по математике. 1358 (2-е изд.). Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / b62130 . ISBN 978-3-540-63293-1. Руководство по ремонту  1748380 .
• Вистоли, Анджело (2005), «Топологии Гротендика, расслоенные категории и теория спуска», Фундаментальная алгебраическая геометрия , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 1–104, arXiv : math / 0412512 , Bibcode : 2004math ..... 12512V , Руководство по ремонту  2223406

Внешние ссылки [ править ]

• Дэвид Мамфорд, Можно ли объяснить схемы биологам?
• Авторы проекта Stacks, проект Stacks
• https://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/ - раздел комментариев содержит некоторые интересные обсуждения теории схем (включая сообщения Теренса Тао ).