В математике , эти гипотезы Weil были весьма влиятельные предложения по Вейль ( +1949 ). Они привели к успешной многолетней программе их доказательства, в которой многие ведущие исследователи разработали основы современной алгебраической геометрии и теории чисел .
Гипотезы касаются производящих функций (известных как локальные дзета-функции ), полученных из подсчета точек на алгебраических многообразиях над конечными полями . Множество V над конечным полем с д элементами имеют конечное число рациональных точек (с координатами в исходной области), а также точки с координатами в любом конечном расширении исходного поля. Производящая функция имеет коэффициенты, полученные из числа N k точек над полем расширения с q k элементами.
Вейль предположил, что такие дзета-функции для гладких многообразий являются рациональными функциями , удовлетворяют определенному функциональному уравнению и имеют свои нули в ограниченных местах. Последние две части были вполне сознательно смоделированы на основе дзета-функции Римана , своего рода производящей функции для простых целых чисел, которая подчиняется функциональному уравнению и (предположительно) имеет нули, ограниченные гипотезой Римана . Рациональность была доказана Бернаром Дворком ( 1960 ), функциональное уравнение - Александром Гротендиком ( 1965 ) и аналог гипотезы Римана - Пьером Делинем ( 1974 ).
Предпосылки и история
Самый ранний предшественник гипотез Вейля принадлежит Карлу Фридриху Гауссу и появляется в разделе VII его Disquisitiones Arithmeticae ( Mazur 1974 ), посвященном корням единства и гауссовским периодам . В статье 358 он переходит от периодов строительства башен квадратичной формы к построению правильных многоугольников; и предполагает, что p - такое простое число, что p - 1 делится на 3. Тогда существует циклическое кубическое поле внутри кругового поля корней p- й степени из единицы и нормальный интегральный базис периодов для целых чисел этого поля ( пример теоремы Гильберта – Шпайзера ). Гаусс строит периоды порядка 3, соответствующие циклической группе ( Z / p Z ) × ненулевых вычетов по модулю p при умножении и ее единственной подгруппе индекса три. Гаусс позволяет, , а также быть его смежными классами. Принимая периоды (суммы корней из единицы) , соответствующих этим смежности применяется к ехр (2 πi / р ) , он отмечает , что эти периоды имеют таблицу умножения, которая доступна для расчета. Продукты представляют собой линейные комбинации периодов, и он определяет коэффициенты. Он устанавливает, например,равное количеству элементов Z / p Z, находящихся в и которые после увеличения на единицу также находятся в . Он доказывает, что это число и связанные с ним являются коэффициентами произведений периодов. Чтобы увидеть связь этих множеств с гипотезами Вейля, заметьте, что если α и α + 1 оба находятся в, то существуют x и y в Z / p Z такие, что x 3 = α и y 3 = α + 1 ; следовательно, x 3 + 1 = y 3 . Следовательноэто число решений х 3 + 1 = у 3 в конечном поле Z / р Z . Остальные коэффициенты имеют аналогичную интерпретацию. Таким образом, определение Гауссом коэффициентов произведений периодов подсчитывает количество точек на этих эллиптических кривых , и в качестве побочного продукта он доказывает аналог гипотезы Римана.
Гипотезы Вейля в частном случае алгебраических кривых были высказаны Эмилем Артином ( 1924 г. ). Случай кривых над конечными полями был доказан Вейлем, завершив проект, начатый теоремой Хассе об эллиптических кривых над конечными полями. Их интерес был достаточно очевиден изнутри теории чисел : они подразумевали верхние границы для экспоненциальных сумм , что является основной проблемой в аналитической теории чисел ( Moreno 2001 ). .
Что действительно привлекало внимание с точки зрения других областей математики, так это предполагаемая связь с алгебраической топологией . Учитывая, что конечные поля дискретны по своей природе, а топология говорит только о непрерывности , подробная формулировка Вейля (основанная на разработке некоторых примеров) была поразительной и новой. Он предположил, что геометрия над конечными полями должна соответствовать хорошо известным шаблонам, относящимся к числам Бетти , теореме Лефшеца о неподвижной точке и так далее.
Аналогия с топологией предложила создать новую гомологическую теорию, применяемую в рамках алгебраической геометрии . На это потребовалось два десятилетия (это была центральная цель работы и школы Александра Гротендика ), основанная на первоначальных предложениях Серра . Часть гипотез о рациональности была впервые доказана Бернардом Дворком ( 1960 ) с использованием p -адических методов. Гротендик (1965) и его коллеги установили рациональность гипотезу, функциональное уравнение и ссылку на номера гомологий, используя свойства этальных когомологий , новая теорию когомологий , разработанная Гротендика и Артином для нападения гипотез Вейля, как указана в Гротендик ( 1960) . Из четырех гипотез труднее всего было доказать аналог гипотезы Римана. Мотивированный Серром (1960) доказательством аналога гипотез Вейля для кэлеровых многообразий , Гротендик представил доказательство, основанное на своих стандартных гипотезах об алгебраических циклах ( Kleiman 1968 ). Однако стандартные гипотезы Гротендик остаются открытыми (за исключение тяжелой теоремы Лефшца , которая была доказана Делинем, расширив свою работу на гипотезах Вейля), а аналог гипотезы Римана был доказан Делинем ( 1974 ), с использованием теории этальна когомологической но обходя использование стандартных предположений остроумным аргументом.
Делинь (1980) нашел и доказал обобщение гипотез Вейля, ограничивая веса прямого движения пучка.
Формулировка гипотез Вейля.
Предположим, что X - неособое n- мерное проективное алгебраическое многообразие над полем F q с q элементами. Дзета - функция ζ ( Х , ев ) из Й по определению
где Н м это число точек X определены над степенью т расширения F д м из F ц .
Weil домыслы состояние:
- (Рациональность) ζ ( X , s ) - рациональная функция от T = q - s . Точнее, ζ ( X , s ) можно записать как конечное знакопеременное произведение
- (Функциональное уравнение и двойственность Пуанкаре) Дзета-функция удовлетворяет
- (Гипотеза Римана) | α i , j | = q i / 2 для всех 1 ≤ i ≤ 2 n - 1 и всех j . Отсюда следует, что все нули P k ( T ) лежат на «критической прямой» комплексных чисел s с действительной частью k / 2 .
- (Числа Бетти) Если X является (хорошим) " модулем редукции p " неособого проективного многообразия Y, определенного над числовым полем, вложенным в поле комплексных чисел, то степень P i является i- м числом Бетти для пространство комплексных точек Y .
Примеры
Проективная линия
Самый простой пример (кроме точки) - взять X за проективную прямую. Число точек X над полем с q m элементами равно N m = q m + 1 (где « + 1 » происходит от « бесконечно удаленной точки »). Дзета - функция просто
- 1 / (1 - q - s ) (1 - q 1 - s ) .
Все части гипотез Вейля легко проверить напрямую. Например, соответствующее комплексное многообразие - это сфера Римана, и ее начальные числа Бетти равны 1, 0, 1.
Проективное пространство
Сделать n- мерное проективное пространство не намного сложнее . Число точек X над полем с q m элементами равно N m = 1 + q m + q 2 m + ⋯ + q nm . Дзета-функция просто
- 1 / (1 - q - s ) (1 - q 1 - s ) (1 - q 2 - s ) ⋯ (1 - q n - s ) .
Снова легко проверить все части гипотез Вейля напрямую. ( Комплексное проективное пространство дает соответствующие числа Бетти, которые почти определяют ответ.)
Количество точек на проективной прямой и проективном пространстве так легко вычислить, потому что их можно записать как непересекающиеся объединения конечного числа копий аффинных пространств. Также легко доказать гипотезы Вейля для других пространств, таких как грассманианы и многообразия флагов, которые обладают тем же свойством «прокладывания».
Эллиптические кривые
Они дают первые нетривиальные случаи гипотез Вейля (доказанные Хассе). Если E - эллиптическая кривая над конечным полем с q элементами, то количество точек E, определенных над полем с q m элементами, равно 1 - α m - β m + q m , где α и β - комплексно сопряженные с абсолютным значение √ q . Дзета-функция
- ζ ( Е , s ) =(1 - αq - s ) (1 - βq - s )/(1 - q - s ) (1 - q 1 - s ).
Когомологии Вейля
Вейль предположил, что гипотезы будут вытекать из существования подходящей « теории когомологий Вейля » для многообразий над конечными полями, подобной обычным когомологиям с рациональными коэффициентами для комплексных многообразий. Его идея заключалась в том, что если F - автоморфизм Фробениуса над конечным полем, то количество точек многообразия X над полем порядка q m - это количество неподвижных точек F m (действующих на все точки многообразия X, определенного над алгебраическим замыканием). В алгебраической топологии количество неподвижных точек автоморфизма может быть вычислено с помощью теоремы Лефшеца о неподвижной точке , заданной как альтернированная сумма следов на группах когомологий . Итак, если бы существовали похожие группы когомологий для многообразий над конечными полями, то дзета-функция могла бы быть выражена через них.
Первая проблема состоит в том, что поле коэффициентов теории когомологий Вейля не может быть рациональными числами. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим случай суперсингулярной эллиптической кривой над конечным полем характеристики p . Кольцо эндоморфизмов этого является порядком в алгебре кватернионов над рациональными числами и должно действовать на первую группу когомологий, которая должна быть двумерным векторным пространством над полем коэффициентов по аналогии со случаем комплексной эллиптической кривой. Однако алгебра кватернионов над рациональными числами не может действовать в двумерном векторном пространстве над рациональными числами. Тот же аргумент исключает возможность того, что поле коэффициентов является действительным числом или p -адическими числами, потому что алгебра кватернионов по-прежнему является алгеброй с делением над этими полями. Однако это не исключает возможности того, что поле коэффициентов является полем l -адических чисел для некоторого простого l ≠ p , потому что над этими полями алгебра с делением расщепляется и становится матричной алгеброй, которая может действовать в двумерном векторном пространстве . Гротендику и Майклу Артину удалось построить подходящие теории когомологий над полем l -адических чисел для каждого простого l ≠ p , названные l -адическими когомологиями .
Доказательства Гротендика трех из четырех гипотез
К концу 1964 года Гротендик вместе с Артином и Жан-Луи Вердье (и более ранняя работа Дворка 1960 года) доказали гипотезы Вейля, помимо самой сложной третьей гипотезы, приведенной выше (гипотеза «гипотезы Римана») (Grothendieck 1965). Общие теоремы об этальных когомологиях позволили Гротендику доказать аналог формулы неподвижной точки Лефшеца для l- адической теории когомологий, и, применив ее к автоморфизму Фробениуса F, он смог доказать предполагаемую формулу для дзета-функции:
где каждый многочлен P i является определителем I - TF на l -адической группе когомологий H i .
Отсюда следует рациональность дзета-функции. Функциональное уравнение для дзета-функции следует из двойственности Пуанкаре для l -адических когомологий, а связь с комплексными числами Бетти подъема следует из теоремы сравнения l -адических и обычных когомологий для комплексных многообразий.
В более общем плане Гротендик доказал аналогичную формулу для дзета-функции (или «обобщенной L-функции») пучка F 0 :
как произведение над группами когомологий:
Частный случай постоянного пучка дает обычную дзета-функцию.
Первое доказательство гипотезы гипотезы Римана Делинем
Вердье (1974) , Серр (1975) , Кац (1976) и Фрейтаг и Киль (1988) дали пояснительные отчеты о первом доказательстве Делиня (1974) . Большая часть предыстории l- адических когомологий описана в ( Deligne 1977 ).
Первое доказательство Делиня оставшейся третьей гипотезы Вейля («гипотеза гипотезы Римана») состояло из следующих шагов:
Использование карандашей Lefschetz
- Гротендик выразил дзета-функцию в терминах следа Фробениуса на l -адических группах когомологий, поэтому гипотезы Вейля для d -мерного многообразия V над конечным полем с q элементами зависят от доказательства того, что собственные значения α Фробениуса, действующего на i -ая l -адическая группа когомологий H i ( V ) из V имеет абсолютные значения | α | = q i / 2 (для вложения алгебраических элементов Q l в комплексные числа).
- После раздува V и расширения базового поля можно считать, что многообразие V имеет морфизм на проективную прямую P 1 с конечным числом особых слоев с очень мягкими (квадратичными) особенностями. Теория монодромии пучков Лефшца , введено для сложных сортов (и обычных когомологий) по Лефшцу (1924) , дополненный Гротендик (1972) и Делинь & Katz (1973) к л -адическим когомологиям, относится когомология V к , что его волокон. Соотношение зависит от пространства Е х из исчезающих циклов , подпространство когомологий H D -1 ( V х ) из невырожденного волокна V х , натянутое на классах , которые обращаются в нуль на сингулярных волокнах.
- Спектральная последовательность Лере относится к средней группе когомологий V к когомологий слоя и основания. Сложнее всего иметь дело с группой H 1 ( P 1 , j * E ) = H1
с( U , E ), где U - точки проективной прямой с неособыми слоями, j - включение U в проективную прямую, а E - пучок со слоями пространств E x исчезающих циклов.
Ключевая оценка
Суть доказательства Делиня состоит в том, чтобы показать, что пучок E над U является чистым, другими словами, чтобы найти абсолютные значения собственных значений Фробениуса на его стеблях. Это делается путем изучения дзета-функций четных степеней E k числа E и применения формулы Гротендика для дзета-функций как альтернированных произведений над группами когомологий. Ключевая идея рассмотрения четных k степеней E была вдохновлена статьей Ранкина ( 1939 ), который использовал аналогичную идею с k = 2 для ограничения тау-функции Рамануджана . Ленглендс (1970 , раздел 8) указал, что обобщение результата Ранкина для более высоких четных значений k приведет к гипотезе Рамануджана , и Делинь понял, что в случае дзета-функций многообразий теория дзета-функций пучков Гротендика дает аналог этого обобщения.
- Полюса дзета-функции E k находятся с использованием формулы Гротендика
- и явное вычисление групп когомологий в знаменателе. H0
cчлен обычно равен 1, так как U обычно не компактный, а H2
сможно вычислить в явном виде следующим образом . Двойственность Пуанкаре относится H2
с( Е к ) к H0
( E k ), которое, в свою очередь, является пространством ковариантов группы монодромии, которая является геометрической фундаментальной группой U, действующей на слое E k в точке. Слой E имеет билинейную форму, индуцированную чашечным произведением , которое антисимметрично, если d четно, и превращает E в симплектическое пространство. (Это немного неточно: Делинь позже показал, что E ∩ E ⊥ = 0, используя жесткую теорему Лефшеца , для этого требуются гипотезы Вейля, а доказательство гипотез Вейля действительно должно использовать немного более сложное рассуждение с E / E ∩ E ⊥, а не E. ) Рассуждение Каждана и Маргулиса показывает, что образ группы монодромии, действующей на E , заданный формулой Пикара – Лефшеца , плотен по Зарискому в симплектической группе и, следовательно, имеет те же инварианты, что и хорошо известны из классической теории инвариантов. Отслеживание действия Фробениуса в этом вычислении показывает, что все его собственные значения равны q k ( d −1) / 2 + 1 , поэтому дзета-функция Z ( E k , T ) имеет полюсы только при T = 1 / q k ( d −1) / 2 + 1 .
- Произведение Эйлера для дзета-функции E k равно
- Если к это даже тогда все коэффициенты факторов на право (рассматривать как степенной ряд в Т ) являются неотрицательным ; это следует путем написания
- и используя тот факт, что следы степеней F рациональны, поэтому их k степеней неотрицательны, поскольку k четно. Делинь доказывает рациональность следов, связывая их с количеством точек разновидностей, которые всегда являются (рациональными) целыми числами.
- Ряд степеней для Z ( E k , T ) сходится, если T меньше абсолютного значения 1 / q k ( d −1) / 2 + 1 его единственного возможного полюса. Когда k является четным, коэффициенты всех его факторов Эйлера неотрицательны, так что каждый из факторов Эйлера имеет коэффициенты, ограниченные константой, умноженной на коэффициенты Z ( E k , T ), и поэтому сходится в той же области и не имеет полюса в этом регионе. Таким образом, для k даже многочлены Z ( Ek
x, T ) не имеют нулей в этой области, или, другими словами, собственные значения Фробениуса на стеблях E k имеют абсолютное значение не более q k ( d −1) / 2 + 1 . - Эта оценка может быть использована для нахождения модуля любого собственного значения α Фробениуса на слое E следующим образом. Для любого целого числа к , α к является собственным Фробениусом на стебле E к , которое для к даже ограниченную д 1+ K ( г - 1) / 2 . Так
- Поскольку это верно для сколь угодно большого четного k , отсюда следует, что
- Тогда из двойственности Пуанкаре следует, что
Завершение доказательства
Вывод гипотезы Римана из этой оценки в основном представляет собой довольно прямое использование стандартных методов и выполняется следующим образом.
- Собственные значения Фробениуса на H1
с( U , Е ) теперь могут быть оценены , как они являются нулями дзета - функции пучка Е . Эта дзета-функция может быть записана как произведение Эйлера дзета-функций стеблей E , и использование оценки собственных значений на этих стеблях показывает, что это произведение сходится для | T | < q - d / 2−1 / 2 , так что в этой области нет нулей дзета-функции. Отсюда следует, что собственные значения Фробениуса на E не превышают q d / 2 + 1/2 по модулю (на самом деле, скоро будет видно, что они имеют абсолютное значение ровно q d / 2 ). Этот шаг аргументации очень похож на обычное доказательство того, что дзета-функция Римана не имеет нулей с действительной частью больше 1, путем записи ее в виде произведения Эйлера. - Вывод из этого состоит в том, что собственные значения α фробениуса многообразия четной размерности d на средней группе когомологий удовлетворяют
- Чтобы получить гипотезу Римана, нужно исключить 1/2 из экспоненты. Это может быть сделано следующим образом . Применение этой оценки к любой четной степени V k поля V и использование формулы Кюннета показывает, что собственные значения Фробениуса на средних когомологиях многообразия V любой размерности d удовлетворяют
- Поскольку это верно для сколь угодно большого четного k , отсюда следует, что
- Тогда из двойственности Пуанкаре следует, что
- Это доказывает гипотезы Вейля для средних когомологий многообразия. Гипотезы Вейля для когомологий ниже среднего измерения следуют из этого путем применения слабой теоремы Лефшеца , а гипотезы для когомологий выше среднего измерения затем следуют из двойственности Пуанкаре.
Второе доказательство Делиня
Делинь (1980) нашел и доказал обобщение гипотез Вейля, ограничивая веса прямого движения пучка. На практике именно это обобщение, а не оригинальные гипотезы Вейля, в основном используются в приложениях, таких как жесткая теорема Лефшеца . По большей части второе доказательство представляет собой перестановку идей его первого доказательства. Основная необходимая дополнительная идея - это аргумент, тесно связанный с теоремой Жака Адамара и Шарля Жана де ла Валле Пуссен , используемый Делинем, чтобы показать, что различные L -серии не имеют нулей с действительной частью 1.
Конструктивный пучок на многообразии над конечным полем называется чистым веса β, если для всех точек x собственные значения пучка Фробениуса в x имеют модуль N ( x ) β / 2 , и называется смешанным веса ≤ β, если он можно записать в виде повторяющихся расширений чистыми пучками с весами ≤ β .
Теорема Делиня утверждает, что если f - морфизм схем конечного типа над конечным полем, то R i f ! переводит смешанные пучки веса ≤ β в смешанные пучки веса ≤ β + i .
Исходные гипотезы Вейля вытекают из того, что f рассматривается как морфизм гладкого проективного многообразия в точку и рассматривается постоянный пучок Q l на многообразии. Это дает верхнюю границу абсолютных значений собственных значений Фробениуса, а двойственность Пуанкаре затем показывает, что это также нижняя граница.
В общем R я е ! не относит чистые связки к чистым связкам. Однако это происходит, когда имеет место подходящая форма двойственности Пуанкаре, например, если f гладкая и правильная, или если кто-то работает с извращенными пучками, а не пучками, как у Бейлинсона, Бернштейна и Делиня (1982) .
Вдохновленный работой Виттена (1982) по теории Морса , Лаумон (1987) нашел другое доказательство, используя l -адическое преобразование Фурье Делиня , которое позволило ему упростить доказательство Делиня, избегая использования метода Адамара и де ла Валле Пуссена. . Его доказательство обобщает классический расчет абсолютного значения сумм Гаусса с использованием того факта, что норма преобразования Фурье имеет простую связь с нормой исходной функции. Киль и Вайссауэр (2001) использовали доказательство Лаумона в качестве основы для изложения теоремы Делиня. Кац (2001) дал дальнейшее упрощение доказательства Лаумона, используя монодромию в духе первого доказательства Делиня. Кедлая (2006) дал другое доказательство, используя преобразование Фурье, заменив этальные когомологии жесткими когомологиями .
Приложения
- Делинь (1980) смог доказать жесткую теорему Лефшеца над конечными полями, используя свое второе доказательство гипотез Вейля.
- Делинь (1971) ранее показал, что гипотеза Рамануджана-Петерсона следует из гипотез Вейля.
- Делинь (1974 , раздел 8) использовал гипотезы Вейля для доказательства оценок экспоненциальных сумм.
- Ник Кац и Уильям Мессинг ( 1974 ) смогли доказать стандартную гипотезу типа Кюннета над конечными полями, используя доказательство Делиня гипотез Вейля.
Рекомендации
- Артин, Эмиль (1924), "Quadratische Körper им Gebiete дер höheren Kongruenzen II Analytischer Teil..", Mathematische Zeitschrift , 19 (1): 207-246, DOI : 10.1007 / BF01181075 , ISSN 0025-5874
- Бейлинсон Александр Александрович ; Бернштейн, Джозеф ; Делинь, Пьер (1982), «Faisceaux pervers», Анализ и топология особых пространств, I (Luminy, 1981) , Astérisque, 100 , Париж: Société Mathématique de France , стр. 5–171, MR 0751966
- Делинь, Пьер (1971), "Формы модулей и представления л-адиков", Séminaire Bourbaki vol. 1968/69 разоблачительные статьи 347-363 , Lecture Notes в области математики, 179 , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / BFb0058801 , ISBN 978-3-540-05356-9
- Делиня, Пьер (1974), "La гипотеза де Weil I" , Публикации Mathématiques де l'IHES , 43 (43): 273-307, DOI : 10.1007 / BF02684373 , ISSN 1618-1913 , MR 0340258
- Делинь, Пьер , изд. (1977), семинария Geometrie Algébrique Дюбуа Мари - Cohomologie этальна (SGA 4,5) , Lecture Notes по математике (на французском языке), 569 , Berlin: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / BFb0091516 , ISBN 978-0-387-08066-6, заархивировано из оригинала 15 мая 2009 г. , получено 3 февраля 2010 г.
- Делинь, Пьер (1980), "La conjecture de Weil. II" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 52 (52): 137–252, doi : 10.1007 / BF02684780 , ISSN 1618-1913 , MR 0601520
- Делинь, Пьер ; Кац, Николас (1973), Groupes de monodromie en géométrie algébrique. II , Конспект лекций по математике, Том. 340, 340 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0060505 , ISBN 978-3-540-06433-6, МР 0354657
- Дворк, Бернард (1960), «О рациональности дзета-функции алгебраического многообразия», American Journal of Mathematics , American Journal of Mathematics, Vol. 82, № 3, 82 (3): 631-648, DOI : 10,2307 / 2372974 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372974 , МР 0140494
- Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988), Этальные когомологии и гипотеза Weil , Ergebnisse дер Mathematik унд Ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 13 , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-662-02541-3 , ISBN 978-3-540-12175-6, Руководство по ремонту 0926276
- Гротендик, Александр (1960), "Теория когомологий абстрактных алгебраических многообразий" , Proc. Междунар. Congress Math. (Эдинбург, 1958) , Cambridge University Press , стр. 103–118, MR 0130879
- Гротендик, Александр (1995) [1965], "Formule de Lefschetz etrationalité des fonctions L", Séminaire Bourbaki , 9 , Париж: Société Mathématique de France , стр. 41–55, MR 1608788
- Гротендик, Александр (1972), Groupes de monodromie en géométrie algébrique. I , Конспект лекций по математике, Vol. 288, 288 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0068688 , ISBN 978-3-540-05987-5, МР 0354656
- Кац, Николас М. (1976), "Обзор доказательства Делиня гипотезы Римана для многообразий над конечными полями", Математические разработки, вытекающие из проблем Гильберта , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXVIII , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 275–305, MR 0424822
- Кац, Николас (2001), "L-функции и Монодромия: четыре лекции по Weil II" , Успехи в математике , 160 (1): 81-132, DOI : 10,1006 / aima.2000.1979 , МР 1831948
- Кац, Николас М .; Мессинг, Уильям (1974), "Некоторые следствия гипотезы Римана для многообразий над конечными полями", Inventiones Mathematicae , 23 : 73–77, Bibcode : 1974InMat..23 ... 73K , doi : 10.1007 / BF01405203 , ISSN 0020- 9910 , МР 0332791
- Kedlaya, Киран С. (2006), "Преобразования Фурье и р -адическая 'Вейль II ' ", Compositio Mathematica , 142 (6): 1426-1450, Arxiv : математике / 0210149 , DOI : 10,1112 / S0010437X06002338 , ISSN 0010-437X , MR 2278753
- Киль, Рейнхардт; Weissauer, Rainer (2001), гипотезы Вейля, извращенные пучки и адическое преобразование Фурье , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных исследований по математике], 42 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-662-04576-3 , ISBN 978-3-540-41457-5, Руководство по ремонту 1855066
- Клейман, Стивен Л. (1968), «Алгебраические циклы и гипотезы Вейля», Dix esposés sur la cohomologie des schémas , Амстердам: Северная Голландия, стр. 359–386, MR 0292838
- Langlands, Роберт П. (1970), "Проблемы теории автоморфных форм" , Лекции по современному анализу и приложениям, III , Lecture Notes in Math, 170 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 18–61, DOI : 10.1007 / BFb0079065 , ISBN 978-3-540-05284-5, МР 0302614
- Laumon, Gérard (1987), "Преобразование Фурье - де, constantes d'УРАВНЕНИЙ fonctionnelles и др гипотеза де Вейл" , публикации Mathématiques де l'IHES , 65 (65): 131-210, DOI : 10.1007 / BF02698937 , ISSN 1618-1913 , MR 0908218
- Лефшец, Соломон (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique , Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Emile Borel (на французском языке), Париж: Gauthier-Villars Перепечатано в Лефшец, Соломон (1971), Избранные статьи , Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7, MR 0299447
- Мазур, Барри (1974), "Собственные значения Фробениуса, действующего на алгебраических многообразиях над конечными полями", в Hartshorne, Robin (ed.), Algebraic Geometry, Arcata 1974 , Proceedings of symposia in pure Mathematics, 29 , ISBN 0-8218-1429-X
- Морено, О. (2001) [1994], "Граница Бомбьери-Вейля" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Ранкин, Роберт А .; Харди, Г. Х. (1939), «Вклад в теорию функции Рамануджана τ и подобных арифметических функций. II. Порядок коэффициентов Фурье интегральных модульных форм», Труды Кембриджского философского общества , 35 (3): 357–372 , Bibcode : 1939PCPS ... 35..357R , DOI : 10,1017 / S0305004100021101 , MR 0000411
- Серр, Жан-Пьер (1960), «Аналоги определенных гипотез Вейля», Annals of Mathematics , Second Series, The Annals of Mathematics, Vol. 71, № 2, 71 (2): 392-394, DOI : 10,2307 / 1970088 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970088 , МР 0112163
- Серр, Жан-Пьер (1975), "Valeurs propers des endomorphismes de Frobenius [d'après P. Deligne]", Séminaire Bourbaki vol. 1973/74 разоблачительные статьи 436-452 , Lecture Notes в области математики, 431 , стр 190-204,. Дои : 10.1007 / BFb0066371 , ISBN 978-3-540-07023-8
- Вердье, Жан-Луи (1974), «Независимость по отношению к полиномам caractéristiques des endomorphismes de frobenius de la cohomologie ℓ-adique», Séminaire Bourbaki vol. 1972/73 разоблачительные статьи 418-435 , Lecture Notes по математике, 383 , Springer Berlin / Heidelberg, стр 98-115,. Дои : 10.1007 / BFb0057304 , ISBN 978-3-540-06796-2
- Вейль, Андре (1949), "Числа решений уравнений в конечных полях" , Бюллетень Американского математического общества , 55 (5): 497-508, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1949-09219-4 , ISSN 0002 -9904 , МР 0029393 Перепечатано в Oeuvres Scientifiques / Collected Papers Андре Вейлем ISBN 0-387-90330-5
- Виттен, Эдвард (1982), "Суперсимметрия и теория Морса" , Журнал дифференциальной геометрии , 17 (4): 661-692, DOI : 10,4310 / Судьи / 1214437492 , ISSN 0022-040X , MR 0683171 , архивируется с оригинала на 2013 -04-16