Локальная дзета-функция

В теории чисел , то локальная дзета - функция Z ( V ,  s ) (иногда называется функция конгруэнтна дзета ) определяются как

${\ Displaystyle Z (V, s) = \ exp \ left (\ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {N_ {m}} {m}} (q ^ {- s}) ^ {m} \ right)}$

где N _m - количество точек V, определенных над конечным расширением F _{q ^m} поля F _q , а V - неособое n- мерное проективное алгебраическое многообразие над полем F _q с q элементами. Делая преобразование переменной U  =  Q ^{- s} , дает

${\ displaystyle {\ mathit {Z}} (V, u) = \ exp \ left (\ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} N_ {m} {\ frac {u ^ {m}} {m }}\верно)}$

как формальный степенной ряд от переменной .${\ displaystyle u}$

Эквивалентно, локальная дзета-функция иногда определяется следующим образом:

${\ Displaystyle (1) \ \ {\ mathit {Z}} (V, 0) = 1 \,}$

${\ displaystyle (2) \ \ {\ frac {d} {du}} \ log {\ mathit {Z}} (V, u) = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} N_ {m} и ^ {м-1} \.}$

Другими словами, локальная дзета-функция Z ( V ,  u ) с коэффициентами в конечном поле F _q определяется как функция, логарифмическая производная которой порождает число N _m решений уравнения, определяющего V, в расширении степени m F _{q ^m} .

Формулировка [ править ]

Для конечного поля F существует с точностью до изоморфизма только одно поле F _k с

${\ displaystyle [F_ {k}: F] = k \,}$,

для k = 1, 2, .... Учитывая набор полиномиальных уравнений или алгебраическое многообразие V, определенное над F , мы можем подсчитать число

${\ displaystyle N_ {k} \,}$

решений в F _k и создать производящую функцию

${\ Displaystyle G (t) = N_ {1} t + N_ {2} t ^ {2} / 2 + N_ {3} t ^ {3} / 3 + \ cdots \,}$.

Правильное определение Z ( t ) - установить log Z равным G , поэтому

${\ Displaystyle Z = \ ехр (G (т)) \,}$

и Z (0) = 1, поскольку G (0) = 0 и Z ( t ) априори является формальным степенным рядом .

Логарифмическая производная

${\ Displaystyle Z '(т) / Z (т) \,}$

равна производящей функции

${\ Displaystyle G '(т) = N_ {1} + N_ {2} t ^ {1} + N_ {3} t ^ {2} + \ cdots \,}$.

Примеры [ править ]

Например, предположим, что все N _k равны 1; это происходит, например, если мы начинаем с уравнения типа X = 0, так что геометрически мы принимаем V за точку. потом

${\ Displaystyle G (т) = - \ журнал (1-т)}$

является разложением логарифма (при | t | <1). В этом случае мы имеем

${\ Displaystyle Z (t) = {\ frac {1} {(1-t)}} \.}$

Для того, чтобы взять что - то более интересное, пусть V будет проективная прямая над F . Если F имеет q элементов, то у него q + 1 точка, включая, как мы и должны, одну бесконечно удаленную точку . Следовательно, мы имеем

${\displaystyle N_{k}=q^{k}+1}$

а также

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)}$

для | т | достаточно маленький, и поэтому

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}\ .}$

Первое исследование этих функций было проведено в диссертации Эмиля Артина в 1923 году . Он получил результаты для случая гиперэллиптической кривой и предположил дальнейшие основные положения теории применительно к кривым. Затем теория была развита Ф. К. Шмидтом и Гельмутом Хассе . ^[1] Самые ранние известные нетривиальные случаи локальных дзета - функций подразумевались в Гаусс «s Disquisitiones Arithmeticae , статья 358. Там, некоторые конкретные примеры эллиптических кривых над конечными полями с комплексным умножением имеют свои точки подсчитаны с помощью циклотомия .^[2]

Для определения и некоторых примеров см. Также. ^[3]

Мотивации [ править ]

Связь между определениями G и Z можно объяснить несколькими способами. (Смотри, например , бесконечная формула продукта для Z ниже.) На практике это делает Z в рациональную функцию от т , то , что интересно , даже в случае V эллиптической кривой над конечным полем.

Это функции Z , которые предназначены для умножения, чтобы получить глобальные дзета-функции . Они включают различные конечные поля (например, все семейство полей Z / p Z, поскольку p пробегает все простые числа ). В связи с этим переменная t подвергается замене на p - ^s , где s - комплексная переменная, традиционно используемая в рядах Дирихле . (Подробнее см. Дзета-функцию Хассе – Вейля .)

При таком понимании, произведения Z в двух случаях, использованных в качестве примеров, выглядят как и .${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-1)}$

Гипотеза Римана для кривых над конечными полями [ править ]

Для проективных кривых C над F , которые являются несингулярными , можно показать , что

${\displaystyle Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)}}\ ,}$

с Р ( т ) многочленом, степени 2 г , где г является родом из C . Перезапись

${\displaystyle P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,}$

гипотеза Римана для кривых над конечными полями состояний

${\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2}\ .}$

Например, для случая эллиптической кривой есть два корня, и легко показать, что абсолютные значения корней равны q ^1/2 . Теорема Хассе состоит в том, что они имеют одинаковое абсолютное значение; и это немедленно сказывается на количестве очков.

Андре Вейль доказал это для общего случая примерно в 1940 г. ( записка Comptes Rendus , апрель 1940 г.): в последующие годы он потратил много времени на написание соответствующей алгебраической геометрии . Это привело его к общим предположениям Вейля . Александр Гротендик разработал теорию схем с целью их решения. Поколением позже Пьер Делинь завершил доказательство. (См. Основные формулы общей теории в этальных когомологиях .)

Общие формулы дзета-функции [ править ]

Следствием формулы следа Лефшеца для морфизма Фробениуса является то, что

${\displaystyle Z(X,t)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det {\big (}1-t{\mbox{Frob}}_{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }){\big )}^{(-1)^{i+1}}.}$

Вот это отделенная схема конечного типа над конечным полем F с элементами, и Frob _д является геометрическим Фробениус , действующим на -адических этальных когомологиях с компактными носителями , подъемные в алгебраическое замыкание поля F . Это показывает, что дзета-функция является рациональной функцией от .${\displaystyle X}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$

Бесконечная формула продукта для IS${\displaystyle Z(X,t)}$

${\displaystyle Z(X,t)=\prod \ (1-t^{\deg(x)})^{-1}.}$

Здесь произведение пробегает все замкнутые точки x из X, а deg ( x ) - степень x . Локальная дзета-функция Z (X, t) рассматривается как функция комплексной переменной s через замену переменных q - ^s .

В случае , когда Х является многообразие V обсуждалось выше, замкнутые точки являются классы эквивалентности х = [P] точек Р на , где две точки эквивалентны , если они сопряжены над F . Степень х представляет собой степень расширения поля F , порожденные координатами P . Логарифмическая производная бесконечного произведения Z (X, t), как легко видеть, является производящей функцией, обсуждаемой выше, а именно${\displaystyle {\overline {V}}}$

${\displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$.

См. Также [ править ]

• Список дзета-функций
• Гипотезы Вейля
• Эллиптическая кривая

Ссылки [ править ]