Гиперэллиптическая кривая

Рис. 1. Гиперэллиптическая кривая.

В алгебраической геометрии , A гиперэллиптические кривой представляет собой алгебраические кривого род г> 1 , задается уравнением вида

${\ Displaystyle у ^ {2} + час (х) у = е (х)}$

где f (x) - многочлен степени n = 2 g + 1> 4 или n = 2 g + 2> 4 с n различными корнями, а h (x) - многочлен степени < g + 2 (если характеристика основного поля не равно 2, можно взять h (x) = 0).

Гиперэллиптическая функция является элементом поля функций такой кривой, или из якобиева многообразия на кривой; эти два понятия идентичны для эллиптических функций , но разные для гиперэллиптических функций.

Рис. 1 - график, где${\ displaystyle C: y ^ {2} = f (x)}$

${\ displaystyle f (x) = x ^ {5} -2x ^ {4} -7x ^ {3} + 8x ^ {2} + 12x = x (x + 1) (x-3) (x + 2) (х-2).}$

Род кривой [ править ]

Степень многочлена определяет род кривой: многочлен степени 2 g + 1 или 2 g + 2 дает кривую рода g . Когда степень равна 2 g + 1, кривая называется мнимой гиперэллиптической кривой . Между тем кривая степени 2 g + 2 называется реальной гиперэллиптической кривой . Это утверждение о роде остается верным для g = 0 или 1, но эти кривые не называются «гиперэллиптическими». Скорее, случай g = 1 (если мы выберем выделенную точку) является эллиптической кривой . Отсюда и терминология.

Формулировка и выбор модели [ править ]

Хотя эта модель - самый простой способ описания гиперэллиптических кривых, такое уравнение будет иметь особую точку на бесконечности в проективной плоскости . Эта особенность характерна для случая n > 3. Поэтому, давая такое уравнение для задания неособой кривой, почти всегда предполагается, что неособая модель (также называемая гладким пополнением ) эквивалентна в смысле бирациональная геометрия .

Чтобы быть более точным, то уравнение определяет квадратичное расширение из С ( х ), и в том , что функция поля , что имеется в виду. Особая точка на бесконечности может быть удалена (поскольку это кривая) с помощью процесса нормализации ( интегрального замыкания ). Оказывается, после этого есть открытое покрытие кривой двумя аффинными картами: та, что уже дана

${\ Displaystyle у ^ {2} = е (х) \,}$

и еще один, предоставленный

${\ Displaystyle ш ^ {2} = v ^ {2g + 2} f (1 / v) \,}$.

Карты склейки между двумя диаграммами даются

${\ Displaystyle (х, у) \ mapsto (1 / х, у / х ^ {г + 1})}$

и

${\ Displaystyle (v, w) \ mapsto (1 / v, w / v ^ {g + 1}),}$

где бы они ни были определены.

Фактически предполагается геометрическое сокращение, когда кривая C определяется как разветвленное двойное покрытие проективной прямой , разветвление происходит в корнях f , а также для нечетного n в бесконечно удаленной точке. Таким образом, случаи n = 2 g + 1 и 2 g + 2 могут быть объединены, так как мы могли бы также использовать автоморфизм проективной прямой для удаления любой точки ветвления от бесконечности.

Использование формулы Римана – Гурвица [ править ]

Используя формулу Римана – Гурвица , гиперэллиптическая кривая с родом g определяется уравнением со степенью n = 2 g + 2. Предположим, что биективный морфизм f  : X → P ¹ со степенью ветвления 2 , где X - кривая с родом g а P ¹ - сфера Римана . Пусть g ₁ = g и g ₀ - род P ¹ (= 0), тогда формула Римана-Гурвица оказывается

${\ displaystyle 2-2g_ {1} = 2 (2-2g_ {0}) - \ sum _ {s \ in X} (e_ {s} -1)}$

где s берется по всем разветвленным точек на X . Количество разветвленных точек равно n , поэтому n = 2 g + 2.

Возникновение и применение [ править ]

Все кривые рода 2 гиперэллиптичны, но для рода ≥ 3 общая кривая не гиперэллиптична. Это видно эвристически при проверке размерности пространства модулей . Подсчитывая константы, при n = 2 g + 2, совокупность n точек, подверженных действию автоморфизмов проективной прямой, имеет (2 g + 2) - 3 степени свободы, что меньше 3 g - 3, количество модулей кривой рода г , если г не равно 2. Гораздо больше известно о гиперэллиптическом локуса в пространстве модулей кривых или абелевых многообразий , ^{[ необходимы разъяснения ]} хотя на простых моделях сложнее показать общие негиперэллиптические кривые. ^[1] Одна из геометрических характеристик гиперэллиптических кривых - через точки Вейерштрасса . Более подробная геометрия негиперэллиптических кривых берется из теории канонических кривых , при этом каноническое отображение будет 2: 1 на гиперэллиптических кривых, но 1: 1 в противном случае для g > 2. Тригональные кривые - это те, которые соответствуют взятию кубический корень, а не квадратный корень из полинома.

Определение квадратичным расширением поля рациональных функций работает для полей в целом, за исключением характеристики 2; во всех случаях имеется геометрическое определение как разветвленное двойное покрытие проективной прямой, если оно ^{[ требуется пояснение ]} предполагается отделимым.

Гиперэллиптические кривые могут быть использованы в криптографии гиперэллиптических кривых для криптосистем, основанных на проблеме дискретного логарифмирования .

Появляются также гиперэллиптические кривые, составляющие целые компоненты связности некоторых стратов пространства модулей абелевых дифференциалов. ^[2]

Гиперэллиптичность кривых рода 2 была использована для доказательства гипотезы Громова о заполнении области в случае заполнения рода = 1.

Классификация [ править ]

Гиперэллиптические кривые данного рода g имеют пространство модулей, тесно связанное с кольцом инвариантов бинарной формы степени 2 g +2. ^{[ указать ]}

История [ править ]

Гиперэллиптические функции были впервые опубликованы ^{[ править ]} по Адольфу Гопел (1812-1847) в своей последней статье Abelsche Transcendenten Erster Ordnung (абелевы Трансценденты первого порядка) (в Journal für Reine унд Angewandte Mathematik , т. 35, 1847). Независимо от этого Иоганн Г. Розенхайн работал над этим вопросом и опубликовал Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung (в Mémoires des sa vanta и т. Д., Том 11, 1851 г.).

См. Также [ править ]

• Поверхность Больца
• Суперэллиптическая кривая

Ссылки [ править ]

• "Гиперэллиптическая кривая" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Руководство пользователя по локальной арифметике гиперэллиптических кривых

Примечания [ править ]