Эллиптическая функция

В комплексном анализе , эллиптическая функция является мероморфной функцией , которая является периодическим по двум направлениям. Подобно тому, как периодическая функция действительной переменной определяется своими значениями на интервале, эллиптическая функция определяется своими значениями на фундаментальном параллелограмме , которые затем повторяются в решетке . Такая двоякопериодическая функция не может быть голоморфной , поскольку тогда она была бы ограниченной целой функцией , и по теореме Лиувилля каждая такая функция должна быть постоянной. На самом деле эллиптическая функция должна иметь как минимум два полюса.(с учетом кратности) в фундаментальном параллелограмме, поскольку с помощью периодичности легко показать, что контурный интеграл вокруг его границы должен обращаться в нуль, что означает, что вычеты всех простых полюсов должны сокращаться.

Исторически, эллиптические функции были впервые обнаружены Niels Henrik Abel , как обратные функции от эллиптических интегралов , и их теория была улучшена за счет Карл Густав Якоби ; это , в свою очередь , были изучены в связи с проблемой длины дуги в качестве эллипса , откуда название происходит. Эллиптические функции Якоби нашли множество приложений в физике и были использованы Якоби для доказательства некоторых результатов в элементарной теории чисел. Более полное изучение эллиптических функций позднее предпринял Карл Вейерштрасс., который нашел простую эллиптическую функцию, через которую можно выразить все остальные. Помимо их практического использования при вычислении интегралов и явном решении некоторых дифференциальных уравнений, они имеют глубокую связь с эллиптическими кривыми и модулярными формами .

Определение [ править ]

Формально, эллиптическая функция является функцией F мероморфны на ℂ , для которых существуют два ненулевых комплексных чисел ш ₁ и ω ₂ сω ₁/ω ₂∉ ℝ , такое, что f ( z ) = f ( z + ω ₁ ) и f ( z ) = f ( z + ω ₂ ) для всех z ∈ ℂ .

Обозначая «решетку периодов» через Λ = { mω ₁ + nω ₂ | m , n ∈ ℤ } , это можно перефразировать как требование, чтобы f ( z ) = f ( z + ω ) для всех ω ∈ Λ .

В терминах комплексной геометрии эллиптическая функция состоит из римановой поверхности X первого рода и голоморфного отображения X → ℂℙ ¹ . С этой точки зрения, один обрабатывает две решетки Л и Л « эквивалентными , если существует ненулевой комплексное число α с Л» = αΛ .

Существует два семейства «канонических» эллиптических функций: функции Якоби и функции Вейерштрасса. Хотя эллиптические функции Якоби старше и имеют прямое отношение к приложениям, современные авторы в основном следуют Вейерштрассу при изложении элементарной теории, потому что его функции проще, ^{[ цитата необходима ],} и любая эллиптическая функция может быть выражена через них.

Эллиптические функции Вейерштрасса [ править ]

С приведенным выше определением эллиптических функций (которое принадлежит Вейерштрассу) эллиптическая функция Вейерштрасса ℘ ( z ) строится наиболее очевидным способом: для данной решетки Λ, как указано выше, положим

${\ displaystyle \ wp (z) = {\ frac {1} {z ^ {2}}} + \ sum _ {\ omega \ in \ Lambda \ setminus \ left \ {0 \ right \}} \ left ({ \ frac {1} {(z- \ omega) ^ {2}}} - {\ frac {1} {\ omega ^ {2}}} \ right)}$

Эта функция инвариантна относительно преобразования z ↦ z + ω для любого ω ∈ Λ, что можно увидеть путем дифференцирования и четности функции, что означает, что константа интегрирования должна быть 0. Добавление -1/ω ²условия необходимы, чтобы сумма сходилась. Техническое условие, гарантирующее, что такая бесконечная сумма сходится к мероморфной функции, заключается в том, что на любом компакте после исключения конечного числа членов, имеющих полюсы в этом наборе, оставшийся ряд сходится нормально . На любом компакт-диске, определяемом | z | ≤ R , и для любого | ω | > 2 R , имеем

${\displaystyle \left|{\frac {1}{\left(z-\omega \right)^{2}}}-{\frac {1}{\omega ^{2}}}\right|=\left|{\frac {2\omega z-z^{2}}{\omega ^{2}(\omega -z)^{2}}}\right|=\left|{\frac {z\left(2-{\frac {z}{\omega }}\right)}{\omega ^{3}\left(1-{\frac {z}{\omega }}\right)^{2}}}\right|\leq {\frac {10R}{\left|\omega \right|^{3}}}}$

и можно показать, что сумма

${\displaystyle \sum _{\omega \neq 0}{\frac {1}{\left|\omega \right|^{3}}}}$

сходится независимо от Λ . ^[1]

Записывая ℘ в виде ряда Лорана и явно сравнивая члены, можно убедиться, что он удовлетворяет соотношению

${\displaystyle {\bigl (}\wp '(z){\bigr )}^{2}=4{\bigl (}\wp (z){\bigr )}^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$

куда

${\displaystyle g_{2}=60\sum _{\omega \in \Lambda \smallsetminus \left\{0\right\}}{\frac {1}{\omega ^{4}}}}$

и

${\displaystyle g_{3}=140\sum _{\omega \in \Lambda \smallsetminus \left\{0\right\}}{\frac {1}{\omega ^{6}}}.}$

Это означает, что пара (℘, ℘ ′) параметризует эллиптическую кривую.

Функции ℘ принимают разные формы в зависимости от Λ , и появляется богатая теория, когда можно изменять Λ . Для этого положим ω ₁ = 1 и ω ₂ = τ , причем Im ( τ )> 0 . (После поворота и масштабного коэффициента любая решетка может быть представлена ​​в этом виде.)

Голоморфная функция в верхней полуплоскости H = { z ∈ ℂ | Im ( z )> 0}, инвариантный относительно дробно-линейных преобразований с целыми коэффициентами и определителем 1, называется модульной функцией . То есть голоморфная функция h  : H → ℂ является модулярной функцией, если

${\displaystyle h\left(\tau \right)=h\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)\quad {\text{for all }}\left({\begin{matrix}a&c\\b&d\end{matrix}}\right)\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$.

Одна из таких функций - j -инвариант Клейна , определяемый формулой

${\displaystyle j\left(\tau \right)={\frac {1728g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}}$

где g ₂ и g ₃ такие же, как указано выше.

Эллиптические функции Якоби [ править ]

Существует двенадцать эллиптических функций Якоби. Каждому из двенадцати соответствует стрелка, проведенная из одного угла прямоугольника в другой. Углы прямоугольника условно обозначены буквами s , c , d и  n . Под прямоугольником подразумевается лежащий на комплексной плоскости , так что s находится в начале координат, c находится в точке K на вещественной оси, d находится в точке K + iK ', а n находится в точке iK ' на мнимой оси. ось. Числа K и K ′называются квартальными периодами . Двенадцать эллиптических функций Якоби тогда равны pq , где p и q - две разные буквы в s, c, d, n .

Таким образом, эллиптические функции Якоби являются единственными двоякопериодическими мероморфными функциями, удовлетворяющими следующим трем свойствам:

• В углу p есть простой ноль , а в углу q - простой полюс  .
• Шаг от p до q равен половине периода функции pq u ; то есть функция pq u периодична в направлении pq , причем период в два раза больше расстояния от p до q . Функция pq u также периодична в двух других направлениях с таким периодом, что расстояние от p до одного из других углов составляет четверть периода.
• Если функция pq u разложена через u в одном из углов, главный член в разложении имеет коэффициент 1. Другими словами, главный член разложения pq u в углу p равен u ; главный член разложения в углу q равен1/ты, а главный член расширения в двух других углах равен 1.

В общем, прямоугольник накладывать не нужно; параллелограмм подойдет. Однако, если K и iK ′ остаются на действительной и мнимой осях, соответственно, тогда эллиптические функции Якоби pq u будут действительными функциями, когда u является действительным.

Эллиптические функции Абеля [ править ]

Эллиптические интегралы были очень подробно изучены Лежандром, который свел их к трем основным типам. Абель написал интеграл первого рода как

${\displaystyle u=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-c^{2}t^{2}\right)\left(1+e^{2}t^{2}\right)}}}}$

где c и e - два параметра. ^[2] Это обобщение интеграла , который дает длину дуги от лемнискаты , соответствующей специальных значений с = е = 1 и исследованными Гаусс . Длина дуги круга будет результатом установки c = 1 и e = 0 .

Значение интеграла u является возрастающей функцией верхнего предела при 0 < x <1/c и достигает максимума

${\displaystyle {\frac {\omega }{2}}=\int _{0}^{\frac {1}{c}}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-c^{2}t^{2}\right)\left(1+e^{2}t^{2}\right)}}}}$

Гениальный ход Абеля заключался в том, чтобы рассмотреть обратную функцию x = φ ( u ), которая теперь хорошо определена в интервале 0 ≤ u ≤ω/2. Поскольку определяющий интеграл является нечетной функцией x , функция φ ( u ) также нечетна со специальными значениями φ (0) = 0 и φ (±ω/2) = ±1/c. Производная функции φ ′ ( u ) =dφ/ду следует также из интеграла как

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{du}}={\sqrt {\left(1-c^{2}\varphi ^{2}\right)\left(1+e^{2}\varphi ^{2}\right)}}}$

и является четной функцией. Два квадратных корня можно рассматривать как новые, даже функции аргумента u . Авель определил их как

${\displaystyle {\begin{aligned}f(u)&={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(u)}}\\F(u)&={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(u)}}\end{aligned}}}$

Таким образом, производная может быть записана в более компактной форме φ ′ ( u ) = f ( u ) F ( u ) . Эти новые функции имеют производные f ′ ( u ) = - c ² φ ( u ) F ( u ) и F ′ ( u ) = e ² φ ( u ) f ( u ) . Все три эллиптические функции зависят от параметров c и e хотя обычно эта зависимость явно не выписывается.

Что касается тригонометрических функций, Абель мог показать, что эти новые функции удовлетворяют теоремам сложения в соответствии с тем, что Эйлер ранее нашел из таких интегралов. ^[2] Они позволяют продолжить функции на весь интервал - ω ≤ u ≤ ω и показывают, что они периодичны с периодом 2 ω . Более того, если ввести t → it в интеграл, функции также могут быть определены для комплексных значений аргумента. Таким расширением параметры c и eменяются местами и означает, что функции также имеют мнимый период 2 iω ′ с

${\displaystyle {\frac {\omega '}{2}}=\int _{0}^{\frac {1}{e}}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-e^{2}t^{2}\right)\left(1+c^{2}t^{2}\right)}}}.}$

Таким образом, эллиптические функции имеют двойную периодичность. Эквивалентно можно сказать, что они имеют два комплексных периода ω _1,2 = ω ± iω ′ . Таким образом, их нули и полюса образуют правильную двумерную решетку. Соответствующие свойства лемнискатических эллиптических функций также были установлены Гауссом, но не опубликованы ранее после его смерти. ^[3]

Свойства [ править ]

• Набор всех эллиптических функций, которые имеют одни и те же два периода, образуют поле .
• Производной эллиптической функции снова является эллиптической функцией, с теми же периодами.
• Поле эллиптических функций относительно данной решетки порождается ℘ и ее производной ℘ ′ .

См. Также [ править ]

• Эллиптический интеграл
• Модульная группа
• Рамануджан тета-функция

Ссылки [ править ]

Литература [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 16» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. с. 567, 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 . См. Также главу 18 . (рассматривает только случай реальных инвариантов).
• Н. И. Ахиезер , Элементы теории эллиптических функций , (1970) Москва, в переводе на английский как AMS Переводы математических монографий Том 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN 0-8218-4532-2 
• Том М. Апостол , Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1976. ISBN 0-387-97127-0 (см. Главу 1.) 
• Е. Т. Уиттакер и Г. Н. Ватсон . Курс современного анализа , Cambridge University Press, 1952 г.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с эллиптическими функциями .

• "Эллиптическая функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• MAA, Перевод статьи Абеля об эллиптических функциях.
• Эллиптические функции и эллиптические интегралы на YouTube , лекция Уильяма А. Швальма (4 часа)
• Йоханссон, Фредрик (2018). «Численное вычисление эллиптических функций, эллиптических интегралов и модулярных форм». arXiv : 1806.06725 [ cs.NA ].