Эллиптический интеграл

В интегральном исчислении , эллиптический интеграл является одним из ряда родственных функций , определенных в качестве значения определенных интегралов. Первоначально они возникли в связи с проблемой нахождения длины дуги в качестве эллипса и впервые были изучены Джулио Fagnano и Леонарда Эйлера ( с.  1750 ). Современная математика определяет «эллиптический интеграл» как любую функцию f, которая может быть выражена в форме

${\ Displaystyle е (х) = \ int _ {c} ^ {x} R \ left (t, {\ sqrt {P (t)}} \ right) \, \ mathrm {d} t,}$

где R - рациональная функция двух своих аргументов, P - многочлен степени 3 или 4 без повторяющихся корней, а c - константа.

В общем случае интегралы в таком виде не могут быть выражены через элементарные функции . Исключениями из этого общего правила являются случаи, когда P имеет повторяющиеся корни или когда R ( x , y ) не содержит нечетных степеней y . Однако с помощью соответствующей формулы редукции каждый эллиптический интеграл может быть приведен к форме, включающей интегралы по рациональным функциям и трем каноническим формам Лежандра (т.е. эллиптическим интегралам первого, второго и третьего рода).

Помимо формы Лежандра, приведенной ниже, эллиптические интегралы также могут быть выражены в симметричной форме Карлсона . Дополнительное понимание теории эллиптического интеграла может быть получено путем изучения отображения Шварца – Кристоффеля . Исторически эллиптические функции были открыты как функции, обратные эллиптическим интегралам.

Обозначение аргумента [ править ]

Неполные эллиптические интегралы являются функциями двух аргументов; полные эллиптические интегралы являются функциями одного аргумента. Эти аргументы выражаются различными, но эквивалентными способами (они дают один и тот же эллиптический интеграл). Большинство текстов придерживаются канонической схемы именования, используя следующие соглашения об именах.

Для выражения одного аргумента:

• α , модульный угол
• k = sin α , эллиптический модуль или эксцентриситет
• m = k ² = sin ² α , параметр

Каждая из трех вышеупомянутых величин полностью определяется любой из других (при условии, что они неотрицательны). Таким образом, их можно использовать как взаимозаменяемые.

Другой аргумент также может быть выражен как φ , амплитуда , или как x или u , где x = sin φ = sn u, а sn - одна из эллиптических функций Якоби .

Указание значения одной из этих величин определяет остальные. Обратите внимание, что u также зависит от m . Некоторые дополнительные отношения с участием u включают

${\displaystyle \cos \varphi =\operatorname {cn} u,\quad {\textrm {and}}\quad {\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u.}$

Последнее иногда называют дельта-амплитудой и записывают как Δ ( φ ) = dn u . Иногда в литературе также упоминается дополнительный параметр , дополнительный модуль или дополнительный модульный угол . Они дополнительно определены в статье о квартальных периодах .

Неполный эллиптический интеграл первого рода [ править ]

Неполный эллиптический интеграл первого рода F определяется как

${\displaystyle F(\varphi ,k)=F\left(\varphi \mid k^{2}\right)=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$

Это тригонометрическая форма интеграла; подставляя t = sin θ и x = sin φ , получаем нормальную форму Лежандра:

${\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}.}$

Эквивалентно по амплитуде и модульному углу:

${\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}.}$

В этой нотации использование вертикальной черты в качестве разделителя указывает на то, что следующий за ней аргумент является «параметром» (как определено выше), а обратная косая черта указывает, что это модульный угол. Использование точки с запятой подразумевает, что предшествующий ей аргумент является синусом амплитуды:

${\displaystyle F(\varphi ,\sin \alpha )=F\left(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha \right)=F(\varphi \setminus \alpha )=F(\sin \varphi ;\sin \alpha ).}$

Это потенциально сбивающее с толку использование различных разделителей аргументов является традиционным для эллиптических интегралов, и большая часть обозначений совместима с теми, которые используются в справочнике Абрамовица и Стегуна и которые используются в таблицах интегралов Градштейном и Рыжиком .

При x = sn ( u , k ) имеем:

${\displaystyle F(x;k)=u;}$

таким образом, эллиптические функции Якоби обратны эллиптическим интегралам.

Варианты обозначений [ править ]

В литературе существуют и другие соглашения об обозначении эллиптических интегралов. Нередко встречается обозначение с заменой аргументов F ( k , φ ) ; и аналогично E ( k , φ ) для интеграла второго рода. Абрамовиц и Стегун заменяют интеграл первого рода, F ( φ , k ) , аргументом φ в своем определении интегралов второго и третьего рода, если за этим аргументом не стоит вертикальная черта: т.е. E ( F ( φ, k ) | k ² ) для E ( φ | k ² ) . Более того, их полные интегралы используют параметр k ^{2 в} качестве аргумента вместо модуля k , т.е. K ( k ² ), а не K ( k ) . А интеграл третьего рода, определенный Градштейном и Рыжиком , Π ( φ , n , k ) , ставит на первое место амплитуду φ, а не «характеристику».п .

Таким образом, при использовании этих функций следует соблюдать осторожность с обозначениями, поскольку в различных авторитетных источниках и программных пакетах используются разные соглашения в определениях эллиптических функций. Например, некоторые ссылки, и Wolfram «s Mathematica программное обеспечение и Wolfram Alpha , определяют полный эллиптический интеграл первого рода в терминах параметра т , вместо эллиптического модуля к .

${\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$

Неполный эллиптический интеграл второго рода [ править ]

Неполный эллиптический интеграл второго рода Е в тригонометрической форме

${\displaystyle E(\varphi ,k)=E\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta .}$

Подставляя t = sin θ и x = sin φ , получаем нормальную форму Лежандра:

${\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t.}$

Эквивалентно по амплитуде и модульному углу:

${\displaystyle E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}\,\mathrm {d} \theta .}$

Связи с эллиптическими функциями Якоби включают

${\displaystyle E{\bigl (}\operatorname {sn} (u;k);k{\bigr )}=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(w;k)\,\mathrm {d} w=u-k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {sn} ^{2}(w;k)\,\mathrm {d} w=\left(1-k^{2}\right)u+k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {cn} ^{2}(w;k)\,\mathrm {d} w.}$

Длина дуги меридиана от экватора до широты φ записывается через E :

${\displaystyle m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),}$

где a - большая полуось , а e - эксцентриситет .

Неполный эллиптический интеграл третьего рода [ править ]

Неполный эллиптический интеграл третьего рода П является

${\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}}$

или же

${\displaystyle \Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-mt^{2}\right)\left(1-t^{2}\right)}}}.}$

Число n называется характеристикой и может принимать любое значение независимо от других аргументов. Обратите внимание, что значение Π (1;π/2| m ) бесконечно для любого m .

Связь с эллиптическими функциями Якоби есть

${\displaystyle \Pi {\bigl (}n;\,\operatorname {am} (u;k);\,k{\bigr )}=\int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} w}{1-n\,\operatorname {sn} ^{2}(w;k)}}.}$

Меридиан длина дуги от экватора до широты ф также связана с особым случаем П :

${\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\Pi \left(e^{2};\varphi \,|\,e^{2}\right).}$

Полный эллиптический интеграл первого рода [ править ]

Эллиптические интегралы называются полными, если амплитуда φ =π/2и поэтому x = 1 . Таким образом, полный эллиптический интеграл первого рода K можно определить как

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}},}$

или, более компактно, в терминах неполного интеграла первого рода как

${\displaystyle K(k)=F\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\tfrac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F(1;k).}$

Его можно выразить как степенной ряд

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\bigl (}P_{2n}(0){\bigr )}^{2}k^{2n},}$

где P _n - полиномы Лежандра , что эквивалентно

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left({\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\cdots \right),}$

где н !! обозначает двойной факториал . В терминах гипергеометрической функции Гаусса полный эллиптический интеграл первого рода может быть выражен как

${\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}$

Полный эллиптический интеграл первого рода иногда называют четвертью периода . Его можно очень эффективно вычислить в терминах среднего арифметико-геометрического :

${\displaystyle K(k)={\frac {\frac {\pi }{2}}{\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}.}$

Подробнее см. Карлсон (2010 , 19.8).

Связь с тета-функцией Якоби [ править ]

Связь с тета-функцией Якоби дается формулой

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\theta _{3}^{2}(q),}$

где номер q -

${\displaystyle q(k)=\exp \left(-\pi {\frac {K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{K(k)}}\right).}$

Асимптотические выражения [ править ]

${\displaystyle K\left(k\right)\approx {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{8}}{\frac {k^{2}}{1-k^{2}}}-{\frac {\pi }{16}}{\frac {k^{4}}{1-k^{2}}}}$

Это приближение имеет относительную точность лучше, чем 3 × 10 ⁻⁴ для k <1/2. Сохранение только первых двух членов является правильным с точностью до 0,01 для k <1/2. ^{[ необходима цитата ]}

Дифференциальное уравнение [ править ]

Дифференциальное уравнение для эллиптического интеграла первого рода имеет вид

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left(k\left(1-k^{2}\right){\frac {\mathrm {d} K(k)}{\mathrm {d} k}}\right)=kK(k)}$

Второе решение этого уравнения . Это решение удовлетворяет соотношению${\displaystyle K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)={\frac {E(k)}{k\left(1-k^{2}\right)}}-{\frac {K(k)}{k}}.}$

Непрерывная дробь [ править ]

Расширение непрерывной дроби : ^[1]

${\displaystyle {\frac {K(k)}{2\pi }}=-{\frac {1}{4}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}=-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{1-q+}}{\frac {(1-q)^{2}}{1-q^{3}+}}{\frac {q(1-q^{2})^{2}}{1-q^{5}+}}{\frac {q^{2}(1-q^{3})^{2}}{1-q^{7}+}}{\frac {q^{3}(1-q^{4})^{2}}{1-q^{9}+}}\ldots ,}$

где нома является д = д ( к ) .

Полный эллиптический интеграл второго рода [ править ]

График полного эллиптического интеграла второго рода ${\displaystyle E(k)}$

Полный эллиптический интеграл второго рода Е определяется как

${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t,}$

или, более компактно, в терминах неполного интеграла второго рода E ( φ , k ) как

${\displaystyle E(k)=E\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k).}$

Для эллипса с большой полуосью с и малой полуосью Ь и эксцентриситет е = √ 1 - Ь ² / ² , полный эллиптический интеграл второго рода Е ( е ) равен одной четверти окружности с из эллипс, измеренный в единицах большой полуоси a . Другими словами:

${\displaystyle c=4aE(e).}$

Полный эллиптический интеграл второго рода может быть выражен в виде степенного ряда ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},}$

что эквивалентно

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right).}$

В терминах гипергеометрической функции Гаусса полный эллиптический интеграл второго рода может быть выражен как

${\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}$

Вычисление [ править ]

Подобно интегралу первого рода, полный эллиптический интеграл второго типа может быть очень эффективно вычислен с использованием среднего арифметико-геометрического ( Carlson 2010 , 19.8).

Определите последовательности и , где , и рекуррентные соотношения , верны. Кроме того, определите . По определению,${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle g_{n}}$${\displaystyle a_{0}=1}$${\displaystyle g_{0}={\sqrt {1-k^{2}}}=k'}$${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}}{2}}}$${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {a_{n}g_{n}}}}$${\displaystyle c_{n}={\sqrt {\left|a_{n}^{2}-g_{n}^{2}\right|}}}$

${\displaystyle a_{\infty }=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }g_{n}=\operatorname {agm} (1,{\sqrt {1-k^{2}}})}$.

Также . потом${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=0}$

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2a_{\infty }}}\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n-1}c_{n}^{2}\right).}$

На практике среднее арифметико-геометрическое будет просто вычисляться до некоторого предела. Эта формула для всех сходится квадратично . Для дальнейшего ускорения вычислений можно использовать соотношение .${\displaystyle |k|\leq 1}$${\displaystyle c_{n+1}={\frac {c_{n}^{2}}{4a_{n+1}}}}$

Производные и дифференциальные уравнения [ править ]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E(k)}{\mathrm {d} k}}={\frac {E(k)-K(k)}{k}}}$

${\displaystyle \left(k^{2}-1\right){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left(k\;{\frac {\mathrm {d} E(k)}{\mathrm {d} k}}\right)=kE(k)}$

Второе решение этого уравнения - E ( √ 1 - k ² ) - K ( √ 1 - k ² ) .

Полный эллиптический интеграл третьего рода [ править ]

График полного эллиптического интеграла третьего рода с несколькими фиксированными значениями${\displaystyle \Pi (n,k)}$${\displaystyle n}$

Полный эллиптический интеграл третьего рода П может быть определен как

${\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\left(1-n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$

Обратите внимание, что иногда эллиптический интеграл третьего рода определяется с обратным знаком для характеристики n :

${\displaystyle \Pi '(n,k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\left(1+n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$

Как и полные эллиптические интегралы первого и второго рода, полный эллиптический интеграл третьего рода может быть очень эффективно вычислен с использованием среднего арифметико-геометрического ( Carlson 2010 , 19.8).

Частные производные [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial n}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-n\right)(n-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{n}}\left(k^{2}-n\right)K(k)+{\frac {1}{n}}\left(n^{2}-k^{2}\right)\Pi (n,k)\right)\\[10px]{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial k}}&={\frac {k}{n-k^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n,k)\right)\end{aligned}}}$

Функциональные отношения [ править ]

Отношение Лежандра :

${\displaystyle K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}.}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 17» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 587. ISBN. 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Берд, П.Ф .; Фридман, доктор медицины (1971). Справочник по эллиптическим интегралам для инженеров и ученых (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05318-2.
• Карлсон, Британская Колумбия (1995). «Численное вычисление действительных или комплексных эллиптических интегралов». Численные алгоритмы . 10 (1): 13–26. arXiv : math / 9409227 . Bibcode : 1995NuAlg..10 ... 13C . DOI : 10.1007 / BF02198293 .
• Карлсон, BC (2010), «Эллиптический интеграл» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Эрдейи, Артур; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1953). Высшие трансцендентные функции. Том II (PDF) . McGraw-Hill Book Company, Inc., Нью-Йорк-Торонто-Лондон. Руководство по ремонту  0058756 .
• Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Геронимус Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. «8.1.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276 .
• Гринхилл, Альфред Джордж (1892). Приложения эллиптических функций . Нью-Йорк: Макмиллан.
• Хэнкок, Харрис (1910). Лекции по теории эллиптических функций . Нью-Йорк: J. Wiley & sons.
• Король, Людовик V. (1924). О прямом численном вычислении эллиптических функций и интегралов . Издательство Кембриджского университета.
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.12. Эллиптические интегралы и эллиптические функции Якоби» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с эллиптическим интегралом .

• "Эллиптический интеграл" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Эрик В. Вайсштейн, "Эллиптический интеграл" (Mathworld)
• Код Matlab для вычисления эллиптических интегралов в эллиптическом проекте
• Рациональные приближения для полных эллиптических интегралов (Exstrom Laboratories)
• Краткая история эллиптических теорем интегрального сложения