Лежандровая форма

В математике , как формы Лежандра эллиптических интегралов являются канонический набор из трех эллиптических интегралов , к которому все остальные могут быть сокращены. Лежандра выбрал имя эллиптические интегралы , потому что ^[1] второго рода дает длину дуги в качестве эллипса единичной большой полуоси и эксцентриситета (эллипса определяется параметрически , ). $\scriptstyle {k}$ $\scriptstyle {x={\sqrt {1-k^{2}}}\cos(t)}$ $\scriptstyle {y=\sin(t)}$

В наше время формы Лежандра были в значительной степени вытеснены альтернативным каноническим набором, симметричными формами Карлсона . Более подробное рассмотрение форм Лежандра дается в основной статье, посвященной эллиптическим интегралам .

Определение [ править ]

Неполный эллиптический интеграл первого рода определяется как,

F(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(t)}}}dt,

второго рода , как

E(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(t)}}\,dt,

и третий вид как

\Pi (\phi ,n,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {1}{(1-n\sin ^{2}(t)){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(t)}}}}\,dt.

Аргумент n третьего вида интеграла известен как характеристика , которая в различных условных обозначениях может отображаться как первый, второй или третий аргумент Π и, кроме того, иногда определяется с противоположным знаком. Выше приведен порядок аргументов Градштейна и Рыжика ^[2], а также числовых рецептов . ^[3] Выбор знака является то , что Abramowitz и Stegun ^[4] , а также Gradshteyn и Рыжика , ^[2] , но соответствует по численному Рецепты . ^[3] $\scriptstyle {\Pi (\phi ,-n,k)}$

Соответствующие полные эллиптические интегралы получаются установкой для амплитуды , верхнего предела интегралов, значения . $\scriptstyle {\phi }$ $\scriptstyle {\pi /2}$

Форма Лежандра эллиптической кривой дается формулой

y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )

Числовая оценка [ править ]

Классический метод оценки - с помощью преобразований Ландена . Нисходящее преобразование Ландена уменьшает модуль до нуля, увеличивая при этом амплитуду . И наоборот, восходящее преобразование увеличивает модуль до единицы, уменьшая при этом амплитуду. В любом пределе , равном нулю или единице, интеграл легко вычисляется. $\scriptstyle {k}$ $\scriptstyle {\phi }$ $\scriptstyle {k}$

Большинство современных авторов рекомендуют оценку в терминах симметричных форм Карлсона , для которых существуют эффективные, надежные и относительно простые алгоритмы. Этот подход был принят библиотеками Boost C ++ , научной библиотекой GNU и числовыми рецептами . ^[3]

Ссылки [ править ]

^ Gratton-Guinness, Ивор (1997). История математических наук Фонтана . Fontana Press. п. 308. ISBN 0-00-686179-2.
^ ^a ^b Градштейн, И. С. ; Рыжик, И. М. (1971). «8.1: Специальные функции: эллиптические интегралы и функции». В Геронимус, Ю. В. ; Цейтлин, М. Ю́. (ред.). Таблицы интегралов, сумма, рядов и произведений Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений[ Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений ] (5-е изд.). Москва: Наука . LCCN 78876185 .
^ a b c Уильям Х. Пресс; Саул А. Теукольский; Уильям Т. Веттерлинг; Брайан П. Фланнери (1992). «Глава 6.11 Специальные функции: эллиптические интегралы и якобиевые функции». Числовые рецепты на C (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 261–271 . ISBN 0-521-43108-5.
^ Милн-Томсон, Луи Мелвилл (1983) [июнь 1964]. «Глава 17: Эллиптические интегралы» . В Абрамовице, Милтоне ; Стегун, Ирен Энн (ред.). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. С. 589, 589–628. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .

См. Также [ править ]

Симметричная форма Карлсона

[1] Gratton-Guinness, Ивор (1997). История математических наук Фонтана . Fontana Press. п. 308. ISBN 0-00-686179-2.

[gradshteyn_ryzhik-2] Градштейн, И. С. ; Рыжик, И. М. (1971). «8.1: Специальные функции: эллиптические интегралы и функции». В Геронимус, Ю. В. ; Цейтлин, М. Ю́. (ред.). Таблицы интегралов, сумма, рядов и произведений Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений[ Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений ] (5-е изд.). Москва: Наука . LCCN 78876185 .

[numerical_recipes-3] Уильям Х. Пресс; Саул А. Теукольский; Уильям Т. Веттерлинг; Брайан П. Фланнери (1992). «Глава 6.11 Специальные функции: эллиптические интегралы и якобиевые функции». Числовые рецепты на C (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 261–271 . ISBN 0-521-43108-5.

[abramowitz_stegun-4] Милн-Томсон, Луи Мелвилл (1983) [июнь 1964]. «Глава 17: Эллиптические интегралы» . В Абрамовице, Милтоне ; Стегун, Ирен Энн (ред.). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. С. 589, 589–628. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .

[1]