Симметричная форма Карлсона

В математике , в Карлсона симметрической формы эллиптических интегралов являются небольшой канонический набор эллиптических интегралов , к которому все остальные могут быть сокращены. Это современная альтернатива легандровым формам . Формы Лежандра могут быть выражены в терминах форм Карлсона и наоборот.

Эллиптические интегралы Карлсона:

${\ displaystyle R_ {F} (x, y, z) = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {\ sqrt {(t + x ) (t + y) (t + z)}}}}$

${\ displaystyle R_ {J} (x, y, z, p) = {\ tfrac {3} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {(t + p) {\ sqrt {(t + x) (t + y) (t + z)}}}}}$

${\ Displaystyle R_ {C} (x, y) = R_ {F} (x, y, y) = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac { dt} {(t + y) {\ sqrt {(t + x)}}}}}$

${\displaystyle R_{D}(x,y,z)=R_{J}(x,y,z,z)={\tfrac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{(t+z)\,{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}$

Поскольку и являются частными случаями и , все эллиптические интегралы в конечном итоге могут быть вычислены с помощью простых и .${\displaystyle \scriptstyle {R_{C}}}$${\displaystyle \scriptstyle {R_{D}}}$${\displaystyle \scriptstyle {R_{F}}}$${\displaystyle \scriptstyle {R_{J}}}$${\displaystyle \scriptstyle {R_{F}}}$${\displaystyle \scriptstyle {R_{J}}}$

Термин « симметричный» относится к тому факту, что, в отличие от форм Лежандра, эти функции не изменяются при обмене некоторыми их аргументами. Значение одинаково для любой перестановки его аргументов, а значение одинаково для любой перестановки его первых трех аргументов.${\displaystyle \scriptstyle {R_{F}(x,y,z)}}$${\displaystyle \scriptstyle {R_{J}(x,y,z,p)}}$

Эллиптические интегралы Карлсона названы в честь Билла К. Карлсона (1924-2013).

Связь с формами Лежандра [ править ]

Неполные эллиптические интегралы [ править ]

Неполные эллиптические интегралы легко вычисляются с использованием симметричных форм Карлсона:

${\displaystyle F(\phi ,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)}$

${\displaystyle E(\phi ,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)-{\tfrac {1}{3}}k^{2}\sin ^{3}\phi R_{D}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)}$

${\displaystyle \Pi (\phi ,n,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)+{\tfrac {1}{3}}n\sin ^{3}\phi R_{J}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1,1-n\sin ^{2}\phi \right)}$

(Примечание: приведенные выше данные действительны только для и )${\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }$${\displaystyle 0\leq k^{2}\sin ^{2}\phi \leq 1}$

Полные эллиптические интегралы [ править ]

Полные эллиптические интегралы можно вычислить, подставив φ =  1 ⁄ 2 π:

${\displaystyle K(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)}$

${\displaystyle E(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)-{\tfrac {1}{3}}k^{2}R_{D}\left(0,1-k^{2},1\right)}$

${\displaystyle \Pi (n,k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)+{\tfrac {1}{3}}nR_{J}\left(0,1-k^{2},1,1-n\right)}$

Особые случаи [ править ]

Если любые два или все три аргумента совпадают, то замена делает подынтегральное выражение рациональным. Тогда интеграл можно выразить через элементарные трансцендентные функции.${\displaystyle R_{F}}$${\displaystyle {\sqrt {t+x}}=u}$

${\displaystyle R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {t+x}}(t+y)}}dt=\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {1}{u^{2}-x+y}}du={\begin{cases}{\frac {\arccos {\sqrt {\frac {x}{y}}}}{\sqrt {y-x}}},&x<y\\{\frac {1}{\sqrt {y}}},&x=y\\{\frac {\mathrm {arccosh} {\sqrt {\frac {x}{y}}}}{\sqrt {x-y}}},&x>y\\\end{cases}}}$

Точно так же, когда по крайней мере два из первых трех аргументов совпадают,${\displaystyle R_{J}}$

${\displaystyle R_{J}(x,y,y,p)=3\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {1}{(u^{2}-x+y)(u^{2}-x+p)}}du={\begin{cases}{\frac {3}{p-y}}(R_{C}(x,y)-R_{C}(x,p)),&y\neq p\\{\frac {3}{2(y-x)}}\left(R_{C}(x,y)-{\frac {1}{y}}{\sqrt {x}}\right),&y=p\neq x\\{\frac {1}{y^{\frac {3}{2}}}},&y=p=x\\\end{cases}}}$

Свойства [ править ]

Однородность [ править ]

Подставляя в интегральные определения любую константу , получается, что${\displaystyle t=\kappa u}$${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle R_{F}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z\right)=\kappa ^{-1/2}R_{F}(x,y,z)}$

${\displaystyle R_{J}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z,\kappa p\right)=\kappa ^{-3/2}R_{J}(x,y,z,p)}$

Теорема дублирования [ править ]

${\displaystyle R_{F}(x,y,z)=2R_{F}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda )=R_{F}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}}\right),}$

где .${\displaystyle \lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&=2R_{J}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda ,p+\lambda )+6R_{C}(d^{2},d^{2}+(p-x)(p-y)(p-z))\\&={\frac {1}{4}}R_{J}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}},{\frac {p+\lambda }{4}}\right)+6R_{C}(d^{2},d^{2}+(p-x)(p-y)(p-z))\end{aligned}}}$^[1]

где и${\displaystyle d=({\sqrt {p}}+{\sqrt {x}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {y}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {z}})}$${\displaystyle \lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}}$

Расширение серии [ править ]

При получении разложения в ряд Тейлора для или оказывается удобным разложить среднее значение нескольких аргументов. Так , давая среднее значение аргументов быть , и с помощью гомогенность, определить , и по${\displaystyle \scriptstyle {R_{F}}}$${\displaystyle \scriptstyle {R_{J}}}$${\displaystyle \scriptstyle {R_{F}}}$${\displaystyle \scriptstyle {A=(x+y+z)/3}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta x}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta y}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&=R_{F}(A(1-\Delta x),A(1-\Delta y),A(1-\Delta z))\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}R_{F}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z)\end{aligned}}}$

то есть и т.д. Различия , и определяются с этим знаком (таким образом, что они вычитают ), для того , чтобы быть в согласии с документами Карлсона. Поскольку симметрична относительно перестановок , и , она также симметрична относительно величин , и . Отсюда следует , что как подынтегральное из и его интеграл может быть выражен как функции элементарных симметрических многочленов в , и которые являются${\displaystyle \scriptstyle {\Delta x=1-x/A}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta x}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta y}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta z}}$${\displaystyle \scriptstyle {R_{F}(x,y,z)}}$${\displaystyle \scriptstyle {x}}$${\displaystyle \scriptstyle {y}}$${\displaystyle \scriptstyle {z}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta x}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta y}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta z}}$${\displaystyle \scriptstyle {R_{F}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta x}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta y}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta z}}$

${\displaystyle E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z=0}$

${\displaystyle E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z+\Delta z\Delta x}$

${\displaystyle E_{3}=\Delta x\Delta y\Delta z}$

Выражение подынтегральной функции через эти многочлены, выполнение многомерного разложения Тейлора и почленное интегрирование ...

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&={\frac {1}{2{\sqrt {A}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{3}-(t+1)^{2}E_{1}+(t+1)E_{2}-E_{3}}}}dt\\&={\frac {1}{2{\sqrt {A}}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{\frac {7}{2}}}}+{\frac {E_{3}}{2(t+1)^{\frac {9}{2}}}}+{\frac {3E_{2}^{2}}{8(t+1)^{\frac {11}{2}}}}-{\frac {3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{\frac {13}{2}}}}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)dt\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}\left(1-{\frac {1}{10}}E_{2}+{\frac {1}{14}}E_{3}+{\frac {1}{24}}E_{2}^{2}-{\frac {3}{44}}E_{2}E_{3}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}}$

Теперь очевидны преимущества раскрытия среднего значения аргументов; он идентично сводится к нулю и, таким образом, исключает все вовлеченные термины, которые в противном случае были бы наиболее многочисленными.${\displaystyle \scriptstyle {E_{1}}}$${\displaystyle \scriptstyle {E_{1}}}$

Аналогичным образом можно найти восходящий ряд для . Есть небольшая трудность, потому что он не полностью симметричен; его зависимость от четвертого аргумента, отличается от зависимости от , и . Это можно преодолеть, рассматривая как полностью симметричную функцию пяти аргументов, два из которых имеют одинаковое значение . Поэтому среднее значение аргументов принимается равным${\displaystyle \scriptstyle {R_{J}}}$${\displaystyle \scriptstyle {R_{J}}}$${\displaystyle \scriptstyle {p}}$${\displaystyle \scriptstyle {x}}$${\displaystyle \scriptstyle {y}}$${\displaystyle \scriptstyle {z}}$${\displaystyle \scriptstyle {R_{J}}}$${\displaystyle \scriptstyle {p}}$

${\displaystyle A={\frac {x+y+z+2p}{5}}}$

и различия , и определяется${\displaystyle \scriptstyle {\Delta x}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta y}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\Delta z}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta p}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&=R_{J}(A(1-\Delta x),A(1-\Delta y),A(1-\Delta z),A(1-\Delta p))\\&={\frac {1}{A^{\frac {3}{2}}}}R_{J}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z,1-\Delta p)\end{aligned}}}$

В элементарные симметрические многочлены в , , , и (опять же ) в полном объеме${\displaystyle \scriptstyle {\Delta x}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta y}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta z}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta p}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Delta p}}$

${\displaystyle E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z+2\Delta p=0}$

${\displaystyle E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z+2\Delta z\Delta p+\Delta p^{2}+2\Delta p\Delta x+\Delta x\Delta z+2\Delta y\Delta p}$

${\displaystyle E_{3}=\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta p+\Delta x\Delta y\Delta z+2\Delta y\Delta z\Delta p+\Delta y\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta z\Delta p}$

${\displaystyle E_{4}=\Delta y\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta y\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p}$

${\displaystyle E_{5}=\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p^{2}}$

Однако можно упростить формулы для , и используя тот факт, что . Выражение подынтегральной функции через эти многочлены, выполнение многомерного разложения Тейлора и почленное интегрирование, как и раньше ...${\displaystyle \scriptstyle {E_{2}}}$${\displaystyle \scriptstyle {E_{3}}}$${\displaystyle \scriptstyle {E_{4}}}$${\displaystyle \scriptstyle {E_{1}=0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&={\frac {3}{2A^{\frac {3}{2}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{5}-(t+1)^{4}E_{1}+(t+1)^{3}E_{2}-(t+1)^{2}E_{3}+(t+1)E_{4}-E_{5}}}}dt\\&={\frac {3}{2A^{\frac {3}{2}}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^{\frac {5}{2}}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{\frac {9}{2}}}}+{\frac {E_{3}}{2(t+1)^{\frac {11}{2}}}}+{\frac {3E_{2}^{2}-4E_{4}}{8(t+1)^{\frac {13}{2}}}}+{\frac {2E_{5}-3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{\frac {15}{2}}}}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)dt\\&={\frac {1}{A^{\frac {3}{2}}}}\left(1-{\frac {3}{14}}E_{2}+{\frac {1}{6}}E_{3}+{\frac {9}{88}}E_{2}^{2}-{\frac {3}{22}}E_{4}-{\frac {9}{52}}E_{2}E_{3}+{\frac {3}{26}}E_{5}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}}$

Как и в случае с расширением среднего значения аргументов, более половины терминов (включающих в себя ) удаляются.${\displaystyle \scriptstyle {R_{J}}}$${\displaystyle \scriptstyle {E_{1}}}$

Отрицательные аргументы [ править ]

В общем случае аргументы x, y, z интегралов Карлсона могут не быть действительными или отрицательными, так как это приведет к возникновению точки ветвления на пути интегрирования, что сделает интеграл неоднозначным. Однако, если второй аргумент или четвертый аргумент p отрицателен, то получается простой полюс на пути интегрирования. В этих случаях может представлять интерес главное значение Коши (конечная часть) интегралов; эти${\displaystyle \scriptstyle {R_{C}}}$${\displaystyle \scriptstyle {R_{J}}}$

${\displaystyle \mathrm {p.v.} \;R_{C}(x,-y)={\sqrt {\frac {x}{x+y}}}\,R_{C}(x+y,y),}$

а также

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {p.v.} \;R_{J}(x,y,z,-p)&={\frac {(q-y)R_{J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {y}}R_{C}(xz,-pq)}{y+p}}\\&={\frac {(q-y)R_{J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {\frac {xyz}{xz+pq}}}R_{C}(xz+pq,pq)}{y+p}}\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle q=y+{\frac {(z-y)(y-x)}{y+p}}.}$

который должен быть больше нуля для оценки. Это может быть выполнено путем перестановки x, y и z так, чтобы значение y находилось между значениями x и z.${\displaystyle \scriptstyle {R_{J}(x,y,z,q)}}$

Числовая оценка [ править ]

Теорема дублирования может использоваться для быстрого и надежного вычисления симметричной формы Карлсона эллиптических интегралов и, следовательно, также для вычисления формы Лежандра эллиптических интегралов. Рассчитаем : сначала определим , и . Затем повторите серию${\displaystyle R_{F}(x,y,z)}$${\displaystyle x_{0}=x}$${\displaystyle y_{0}=y}$${\displaystyle z_{0}=z}$

${\displaystyle \lambda _{n}={\sqrt {x_{n}}}{\sqrt {y_{n}}}+{\sqrt {y_{n}}}{\sqrt {z_{n}}}+{\sqrt {z_{n}}}{\sqrt {x_{n}}},}$

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}+\lambda _{n}}{4}},y_{n+1}={\frac {y_{n}+\lambda _{n}}{4}},z_{n+1}={\frac {z_{n}+\lambda _{n}}{4}}}$

пока требуемая точность не достигается: если , и неотрицательны, все серии будут быстро сходиться к заданному значению, скажем, . Следовательно,${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle R_{F}\left(x,y,z\right)=R_{F}\left(\mu ,\mu ,\mu \right)=\mu ^{-1/2}.}$

Оценка почти такая же из-за отношения${\displaystyle R_{C}(x,y)}$

${\displaystyle R_{C}\left(x,y\right)=R_{F}\left(x,y,y\right).}$

Ссылки и внешние ссылки [ править ]

• BC Карлсон, Джон Л. Густафсон «Асимптотические приближения для симметричных эллиптических интегралов» 1993 arXiv
• BC Карлсон «Численное вычисление действительных или комплексных эллиптических интегралов» 1994 arXiv
• BC Карлсон «Эллиптические интегралы: симметричные интегралы» в гл. 19 Электронной библиотеки математических функций . Дата выпуска 07.05.2010. Национальный институт стандартов и технологий.
• «Профиль: Билль К. Карлсон» в Электронной библиотеке математических функций . Национальный институт стандартов и технологий.
• Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.12. Эллиптические интегралы и эллиптические функции Якоби» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Код Fortran от SLATEC для оценки RF , RJ , RC , RD ,