Математический анализ → Комплексный анализ |
Комплексный анализ |
---|
Комплексные числа |
Сложные функции |
Основная теория |
Геометрическая теория функций |
Люди |
В комплексном анализе (раздел математики), шест определенный тип сингулярности функции, рядом с которой выполняется ведет себя относительно регулярно, в отличие от существенных особенностей , таких как 0 для логарифмической функции и точки ветвления , такие как 0 для функции комплексного квадратного корня .
Функция F из комплексного переменного г является мероморфен в окрестностях некоторой точки г 0 , если либо F или его обратная функция 1 / е является голоморфным в некоторых окрестностях точек г 0 (то есть, если е или 1 / F является комплексным дифференцируемыми в окрестность z 0 ).
Нуль мероморфной функции F является комплексным числом г такое , что F ( г ) = 0 . Полюс из F является нулевым из 1 / F .
Это вызывает двойственность между нулями и полюсами , которая получается заменой функции f ее обратной величиной 1 / f . Эта двойственность является фундаментальной для изучения мероморфных функций. Например, если функция мероморфна на всей комплексной плоскости , включая бесконечно удаленную точку , то сумма кратностей ее полюсов равна сумме кратностей ее нулей.
Определения [ править ]
Функция комплексного переменного г является голоморфной в открытой области U , если она дифференцируема по г в каждой точке U . Эквивалентно, он голоморфен, если он аналитичен , то есть если его ряд Тейлора существует в каждой точке U и сходится к функции в некоторой окрестности точки. Функция является мероморфной в U, если каждая точка U имеет такую окрестность, что либо f, либо 1 / f голоморфна в нем.
Нуль мероморфной функции F является комплексным числом г такое , что F ( г ) = 0 . Полюс из F является нулем 1 / F .
Если F является функцией , которая является мероморфны в окрестности точки на комплексной плоскости , то существует целое число п такое , что
голоморфна и отлична от нуля в окрестности (это следствие аналитического свойства). Если п > 0 , то есть полюс из порядка (или кратности) п о е . Если п <0 , то есть нуль порядка из F . Простой ноль и простой полюс - это термины, используемые для обозначения нулей, а полюса порядка Степень иногда используется как синоним порядка.
Эта характеристика нулей и полюсов подразумевает, что нули и полюсы изолированы , то есть каждый нуль или полюс имеет окрестность, которая не содержит никаких других нулей и полюсов.
Поскольку порядок нулей и полюсов определяется как неотрицательное число n и симметрия между ними, часто полезно рассматривать полюс порядка n как ноль порядка - n, а ноль порядка n - как полюс порядка - п . В этом случае точка, которая не является ни полюсом, ни нулем, рассматривается как полюс (или ноль) порядка 0.
Мероморфная функция может иметь бесконечно много нулей и полюсов. Так обстоит дело с гамма-функцией (см. Изображение в информационном окне), которая мероморфна во всей комплексной плоскости и имеет простой полюс у каждого неположительного целого числа. Дзета - функция Римана также мероморфны во всей комплексной плоскости, с одним полюсом порядка 1 при г = 1 . Его нули в левой полуплоскости - это все отрицательные четные целые числа, а гипотеза Римана - это гипотеза о том, что все остальные нули расположены вдоль Re ( z ) = 1/2 .
В окрестности точки ненулевая мероморфная функция f является суммой ряда Лорана с не более чем конечной главной частью (члены с отрицательными значениями индекса):
где n - целое число, и Опять же, если n > 0 (сумма начинается с , главная часть имеет n членов), у одного есть полюс порядка n , а если n ≤ 0 (сумма начинается с , нет главного часть), есть ноль порядка .
В бесконечности [ править ]
Функция является мероморфны на бесконечности , если она мероморфна в некоторой окрестности бесконечности (т.е. вне некоторого диска ), а также существует такое целое число п такое , что
существует и является ненулевым комплексным числом.
В этом случае бесконечно удаленная точка является полюсом порядка n, если n > 0 , и нулем порядка, если n <0 .
Например, многочлен степени n имеет полюс степени n на бесконечности.
Комплексная плоскость продлена точкой на бесконечности, называется сферой Римана .
Если f - функция, мероморфная на всей сфере Римана, то она имеет конечное число нулей и полюсов, а сумма порядков ее полюсов равна сумме порядков ее нулей.
Каждая рациональная функция мероморфна на всей сфере Римана, и в этом случае сумма порядков нулей или полюсов является максимумом из степеней числителя и знаменателя.
Примеры [ править ]
- Функция
- мероморфна на всей сфере Римана. Он имеет полюс порядка 1 или простой полюс в точке и простой нуль в бесконечности.
- Функция
- мероморфна на всей сфере Римана. Он имеет полюс порядка 2 ат и полюс порядка 3 ат . Он имеет простой ноль в точке и четверной ноль в бесконечности.
- Функция
- мероморфен во всей комплексной плоскости, но не на бесконечности. Имеет полюса порядка 1 ат . Это можно увидеть, написав ряд Тейлора по всему происхождению.
- Функция
- имеет единственный полюс на бесконечности порядка 1 и единственный ноль в начале координат.
Все приведенные выше примеры, кроме третьего, являются рациональными функциями . Для общего обсуждения нулей и полюсов таких функций см. График «Полюс – ноль» § Системы с непрерывным временем .
Функция на кривой [ править ]
Понятие нулей и полюсов естественным образом распространяется на функции на комплексной кривой , то есть на комплексном аналитическом многообразии размерности один (над комплексными числами). Простейшими примерами таких кривых являются комплексная плоскость и риманова поверхность . Это расширение осуществляется путем передачи структур и свойств через диаграммы , которые являются аналитическими изоморфизмами .
Точнее, пусть f - функция от комплексной кривой M до комплексных чисел. Эта функция голоморфна (соответственно мероморфна) в окрестности точки z множества M, если существует карта , голоморфная (соответственно мероморфная) в окрестности точки Then, z является полюсом или нулем порядка n, если то же самое верно для
Если кривая компактна , а функция f мероморфна на всей кривой, то количество нулей и полюсов конечно, а сумма порядков полюсов равна сумме порядков нулей. Это один из основных фактов, которые фигурируют в теореме Римана – Роха .
См. Также [ править ]
- Теория управления # Устойчивость
- Дизайн фильтра
- Фильтр (обработка сигнала)
- Теорема Гаусса – Лукаса
- Теорема Гурвица (комплексный анализ)
- Теорема мардена
- Критерий устойчивости Найквиста
- Полюс – нулевой участок
- Остаток (комплексный анализ)
- Теорема Руше
- Гипотеза Сендова
Ссылки [ править ]
- Конвей, Джон Б. (1986). Функции комплексного переменного I . Springer. ISBN 0-387-90328-3.
- Конвей, Джон Б. (1995). Функции одной комплексной переменной II . Springer. ISBN 0-387-94460-5.
- Хенрици, Питер (1974). Прикладной и вычислительный комплексный анализ 1 . Джон Вили и сыновья .
Внешние ссылки [ править ]
- Вайстейн, Эрик В. «Полюс» . MathWorld .