Сингулярность (математика)

В математике , А особенность в общей точке , при которой данное математический объект не определен, или точка , в которой математический объект перестает быть хорошо себя каким - то определенным образом, например, путем отсутствует дифференцируемость или аналитичность . ^{[1] [2] [3] [4]}

Например, реальная функция

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$

имеет особенность в точке , где он кажется "взрывается" и, следовательно, не определен. Абсолютное значение функции также имеет особенность при х = 0 , так как она не дифференцируема там. ^{[1] [5]}${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \pm \infty }$${\displaystyle g(x)=|x|}$

Алгебраическая кривая определяется в системе координат , имеет особенность ( так называемый бугорок ) в . Об особенностях алгебраической геометрии см. Особую точку алгебраического многообразия . По поводу особенностей в дифференциальной геометрии см. Теорию особенностей .${\displaystyle \{(x,y):y^{3}-x^{2}=0\}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (0,0)}$

Реальный анализ [ править ]

В реальном анализе сингулярности являются либо разрывами , либо разрывами производной (иногда также разрывами производных более высокого порядка). Существует четыре вида разрывов: тип I , который имеет два подтипа, и тип II , который также можно разделить на два подтипа (хотя обычно это не так).

Для описания того , как в настоящее время используется эти два типа ограничений, предположит , что функция действительного аргумента , и для любого значения аргумента, скажем , то левша предел , и правых ограничений , являются определяется:${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f(c^{-})}$${\displaystyle f(c^{+})}$

${\displaystyle f(c^{-})=\lim _{x\to c}f(x)}$, сдерживается и${\displaystyle x<c}$

${\displaystyle f(c^{+})=\lim _{x\to c}f(x)}$, сдерживается .${\displaystyle x>c}$

Значение является значением , что функция стремится к , как значение приближается из ниже , а значение является значением , что функция стремится к , как значение приближается из выше , независимо от фактического значения функции имеет в точке , где  .${\displaystyle f(c^{-})}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f(c^{+})}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x=c}$

Есть функции, для которых эти ограничения вообще не существуют. Например, функция

${\displaystyle g(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$

ни к чему не стремится как приближается . Пределы в этом случае не бесконечны, а скорее неопределенны : нет значения, которое устанавливается. Заимствуя сложный анализ, это иногда называют существенной сингулярностью .${\displaystyle x}$${\displaystyle c=0}$${\displaystyle g(x)}$

Возможные случаи при заданном значении аргумента следующие.${\displaystyle c}$

• Точка непрерывности является значением , для которого , как и можно ожидать , для гладкой функции. Все значения должны быть конечными. Если это не точка непрерывности, то в точке возникает разрыв .${\displaystyle c}$${\displaystyle f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$
• Разрыв типа I возникает, когда оба и существуют и являются конечными, но также применяется по крайней мере одно из следующих трех условий:${\displaystyle f(c^{-})}$${\displaystyle f(c^{+})}$
  • ${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$;
  • ${\displaystyle f(x)}$не определено для случая ; или же${\displaystyle x=c}$
  • ${\displaystyle f(c)}$ имеет определенное значение, которое, однако, не соответствует значениям двух пределов.

Разрывы типа I можно далее выделить как один из следующих подтипов:

• Скачок скачок происходит тогда , когда , независимо от того , определен, и независимо от его стоимости , если она определена.${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$${\displaystyle f(c)}$
• Съемная прерывность возникает , когда , а также независимо от того , определен, и независимо от его стоимости , если она определена (но не совпадает , что из двух пределов).${\displaystyle f(c^{-})=f(c^{+})}$${\displaystyle f(c)}$

• Разрыв типа II возникает, когда один из них или не существует (возможно, оба). Он имеет два подтипа, которые обычно не рассматриваются отдельно:${\displaystyle f(c^{-})}$${\displaystyle f(c^{+})}$
  • Бесконечный разрыв является частным случаем , когда либо левая или правая рука предел не существует, а именно потому , что она бесконечна, а другой предел либо бесконечна, или некоторые хорошо определены конечное число. Другими словами, функция имеет бесконечный разрыв, когда ее график имеет вертикальную асимптоту .
  • Существенная особенность является термин , заимствованный из комплексного анализа (см . Ниже) Это тот случай, когда один или другой ограничивает или не существует, но не потому, что это бесконечный разрыв . Существенные особенности не имеют предела, даже если включить в них верные ответы .${\displaystyle f(c^{-})}$${\displaystyle f(c^{+})}$${\displaystyle \pm \infty }$

В реальном анализе сингулярность или разрыв - это свойство только функции. Любые особенности, которые могут существовать в производной функции, считаются принадлежащими производной, а не исходной функции.

Координатные особенности [ править ]

Координат особенность возникает , когда кажущаяся особенность или разрыва происходит в одной системе координат, который может быть удален путем выбора другого кадра. Примером этого является кажущаяся сингулярность на широте 90 градусов в сферических координатах . Объект, движущийся строго на север (например, по линии 0 градусов долготы) на поверхности сферы, внезапно испытает мгновенное изменение долготы на полюсе (в случае примера, прыжок с долготы 0 на долготу 180 градусов) . Этот разрыв, однако, только очевиден; это артефакт выбранной системы координат, которая является сингулярной на полюсах. Другая система координат устранила бы видимую неоднородность (например, заменив представление широты / долготы наn -векторное представление).

Комплексный анализ [ править ]

В комплексном анализе выделяют несколько классов особенностей. К ним относятся изолированные особенности, неизолированные особенности и точки ветвления.

Изолированные особенности [ править ]

Предположим , что U является открытое подмножество из комплексных чисел C , с точкой является элементом U , и что е является сложным дифференцируемая функция , определенная на некоторой окрестности вокруг , за исключением а : U \ { }, то:

• Точка является устранимой особенностью из F , если существует голоморфная функция г , определенная на всех U такая , что F ( г ) = г ( г ) для всех г в U \ { }. Функция g является непрерывной заменой функции f . ^[6]
• Точка a является полюсом или несущественной особенностью функции f, если существует голоморфная функция g, определенная на U с g ( a ), отличным от нуля, и натуральное число n такое, что f ( z ) = g ( z ) / ( z - а ) ⁿ для всех z из U \ { a }. Наименьшее такое число n называется порядком полюса. Сама производная в несущественной особенности имеет несущественную особенность, при этом n увеличивается на 1 (за исключением случая, когда n равно 0, так что особенность устранима).
• Точка является существенной особенностью в F , если она не является ни съемная сингулярностью , ни полюс. Точка a является существенной особенностью тогда и только тогда, когда ряд Лорана имеет бесконечно много степеней отрицательной степени. ^[2]

Неизолированные особенности [ править ]

Помимо изолированных сингулярностей, сложные функции одной переменной могут демонстрировать другое сингулярное поведение. Это так называемые неизолированные особенности, которые бывают двух типов:

• Точки скопления : предельные точки изолированных особенностей. Если все они являются полюсами, несмотря на допущение разложения в ряд Лорана на каждом из них, то такое разложение невозможно на его пределе.
• Естественные границы : любое неизолированное множество (например, кривая), на котором функции не могут быть аналитически продолжены вокруг (или вне их, если они являются замкнутыми кривыми в сфере Римана ).

Точки ветвления [ править ]

Точки ветвления обычно являются результатом многозначной функции , такой как или , которые определены в определенной ограниченной области, так что функция может быть сделана однозначной в пределах области. Разрез - это линия или кривая, исключенная из области, чтобы ввести техническое разделение между прерывистыми значениями функции. Когда разрез действительно требуется, функция будет иметь совершенно разные значения на каждой стороне разреза ветви. Форма среза ответвления является вопросом выбора, даже если она должна соединять две разные точки ответвления (например, и для ), которые фиксируются на месте.${\displaystyle {\sqrt {z}}}$${\displaystyle \log(z)}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=\infty }$${\displaystyle \log(z)}$

Конечная сингулярность [ править ]

Конечное время сингулярность происходит тогда , когда один входные переменное время, а увеличение переменной выход к бесконечности в конечное время. Они играют важные роль в кинематике и ФДЭ ( дифференциальные уравнения в частных ) - бесконечности не происходят физически, но поведение вблизи сингулярности часто представляет интерес. Математически простейшие сингулярности за конечное время - это степенные законы для различных показателей степени, простейший из которых - гиперболический рост , где показатель степени равен (отрицательному) 1. Точнее, чтобы получить сингулярность в положительное время с течением времени ( поэтому вывод увеличивается до бесконечности), вместо этого используется (используя t${\displaystyle x^{-\alpha },}$${\displaystyle x^{-1}.}$${\displaystyle (t_{0}-t)^{-\alpha }}$для времени, меняя направление на так, чтобы время увеличивалось до бесконечности, и сдвигая сингулярность вперед от 0 до фиксированного времени ).${\displaystyle -t}$${\displaystyle t_{0}}$

Примером может служить отскакивающее движение неупругого шара по плоскости. Если рассматривать идеализированное движение, при котором одна и та же часть кинетической энергии теряется при каждом отскоке, частота отскоков становится бесконечной, поскольку мяч останавливается за конечное время. Другие примеры сингулярностей с конечным временем включают различные формы парадокса Пенлеве (например, тенденция мелка скакать, когда его тащат по доске), и то, как скорость прецессии монеты, вращающейся на плоской поверхности, ускоряется до бесконечности - перед резкой остановкой (как было изучено с помощью игрушки «Диск Эйлера» ).

Гипотетические примеры включают шутливое « уравнение судного дня» Хайнца фон Ферстера (упрощенные модели дают бесконечное человеческое население за конечное время).

Алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра [ править ]

В алгебраической геометрии , А особенность алгебраического многообразия является точка многообразия , где касательное пространство не может быть определен на регулярной основе . Простейшим примером особенностей являются пересекающиеся кривые. Но есть и другие типы особенностей, например куспиды . Например, уравнение y ² - x ³ = 0 определяет кривую, которая имеет острие в начале координат x = y = 0 . Можно определить ось x как касательную в этой точке, но это определение не может быть таким же, как определение в других точках. Фактически, в этом случае x-ось - это «двойной касательный».

Для аффинных и проективных многообразий особенности - это точки, в которых матрица Якоби имеет ранг ниже, чем в других точках этого многообразия.

Можно дать эквивалентное определение в терминах коммутативной алгебры , которое распространяется на абстрактные многообразия и схемы : точка является особой, если локальное кольцо в этой точке не является регулярным локальным кольцом .

См. Также [ править ]

• Теория катастроф
• Определенный и неопределенный
• Вырождение (математика)
• Деление на ноль
• Гиперболический рост
• Патологический (математика)
• Уникальное решение
• Устранимая особенность

Ссылки [ править ]