Теория сингулярности

Эта статья требует внимания специалиста по математике . Пожалуйста , добавьте причину в или разговоре параметр для этого шаблона , чтобы объяснить проблему с статьей. WikiProject Mathematics может помочь нанять эксперта. ( Июль 2020 г. )

В математике , теории сингулярности исследования пространств, которые почти многообразия , но не совсем. Примером одномерного многообразия может служить струна, если пренебречь ее толщиной. Сингулярность можно создать, свернув ее в комок, бросив на пол и расплющив. В некоторых местах плоская струна перекрещивается приблизительно в форме буквы «X». Точки на полу, где это происходит, - это один из видов сингулярности, двойная точка: один бит пола соответствует более чем одному биту строки. Возможно, струна также коснется себя без пересечения, как подчеркнутая буква " U". Это еще один вид сингулярности. В отличие от двойной точки, он нестабилен в том смысле, что небольшой толчок поднимет нижнюю часть буквы" U "от" подчеркивания ".

Владимир Арнольд определяет основную цель теории сингулярностей как описание зависимости объектов от параметров, особенно в случаях, когда свойства подвергаются внезапному изменению при небольшом изменении параметров. Эти ситуации называются перестройкой ( рус . Перестройка ), бифуркациями или катастрофами. Классификация типов изменений и описание наборов параметров, которые вызывают эти изменения, являются одними из основных математических целей. Особенности могут возникать в широком диапазоне математических объектов, от матриц, зависящих от параметров, до волновых фронтов. ^[1]

Как могут возникнуть особенности [ править ]

В теории особенностей изучается общее явление точек и множеств особенностей в рамках концепции, согласно которой многообразия (пространства без особенностей) могут приобретать особые особые точки несколькими путями. Проекция - это односторонний, очень очевидный в визуальном плане способ, когда трехмерные объекты проецируются в двух измерениях (например, в одном из наших глаз ); при взгляде на классическую скульптуру складки драпировки являются одними из наиболее очевидных особенностей. К особенностям такого рода относятся каустики , очень знакомые как световые узоры на дне бассейна.

Другой способ возникновения сингулярностей - это вырождение структуры многообразия. Наличие симметрии может быть хорошим поводом для рассмотрения орбифолдов , которые представляют собой коллекторы, которые приобрели «углы» в процессе складывания, напоминающего складки на салфетке на столе.

Особенности алгебраической геометрии [ править ]

Особенности алгебраических кривых [ править ]

Кривая с двойной точкой

Кривая с острием

Исторически впервые особенности были замечены при изучении алгебраических кривых . Двойная точка в точке (0, 0) кривой

${\ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {2} + х ^ {3}}$

и куспид там

${\ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {3} \}$

качественно разные, что видно уже на эскизе. Исаак Ньютон провел подробное исследование всех кубических кривых , общего семейства, к которому принадлежат эти примеры. В формулировке теоремы Безу было замечено , что такие особые точки должны учитываться с кратностью (2 для двойной точки, 3 для острия) при учете пересечений кривых.

Это был небольшой шаг до определения общего понятия особой точки алгебраического многообразия ; то есть, чтобы позволить более высокие измерения.

Общее положение особенностей в алгебраической геометрии [ править ]

Такие особенности в алгебраической геометрии в принципе легче всего изучать, поскольку они определяются полиномиальными уравнениями и, следовательно, в терминах системы координат . Можно сказать, что внешний смысл особой точки не подлежит сомнению; просто во внутреннем плане координаты в окружающем пространстве не передают прямо геометрию алгебраического многообразия в точке. Интенсивные исследования таких особенностей привели в конце концов к фундаментальной теореме Хейсуке Хиронаки о разрешении сингулярностей (в бирациональной геометрии в характеристической0). Это означает, что простой процесс «снятия» с себя веревки с помощью «очевидного» использования пересечения в двойной точке, по сути, не вводит в заблуждение: все особенности алгебраической геометрии могут быть восстановлены как своего рода очень общего коллапса (через несколько процессов). Этот результат часто неявно используется для расширения аффинной геометрии на проективную геометрию : для аффинного многообразия совершенно типично приобретать особые точки на гиперплоскости на бесконечности , когда берется его замыкание в проективном пространстве . В резолюции говорится, что с такими особенностями можно обращаться скорее как с (сложной) компактификацией , что в конечном итоге приводит ккомпактное многообразие (для сильной топологии, а не для топологии Зарисского ).

Гладкая теория и катастрофы [ править ]

Примерно в то же время , как работа Хиронаков, то теория катастроф в Рене Тома получали большое внимание. Это еще одна ветвь теории особенностей, основанная на более ранней работе Хасслера Уитни о критических точках . Грубо говоря, критическая точка из гладкой функции является где множество уровня развивает особую точку в геометрическом смысле. Эта теория имеет дело с дифференцируемыми функциями в целом, а не только с многочленами. Для компенсации рассматриваются только устойчивые явления. Можно утверждать, что в природе ничего, что разрушается крошечными изменениями, невозможно наблюдать; видимое естьконюшня. Уитни показал, что при небольшом числе переменных устойчивая структура критических точек очень ограничена в локальных терминах. На основе этой и своей более ранней работы Том создал теорию катастроф, которая должна учитывать прерывистые изменения в природе.

Взгляд Арнольда [ править ]

Хотя Том был выдающимся математиком, последующий модный характер элементарной теории катастроф, пропагандируемой Кристофером Зееманом, вызвал реакцию, в частности, со стороны Владимира Арнольда . ^[2] Он, возможно, был в значительной степени ответственен за применение термина « теория сингулярностей» к этой области, включая данные алгебраической геометрии, а также работы Уитни, Тома и других авторов. Он писал так, чтобы прояснить свое отвращение к слишком разрекламированному акценту на небольшой части территории. Основополагающая работа по гладким особенностям сформулирована как построение отношений эквивалентности на особых точках и ростках. Технически это включает в себя групповые действия по группам Ли на пространствах струй ; в менее абстрактных терминах ряды Тейлора исследуются с точностью до замены переменной, выявляя особенности с достаточным количеством производных . Приложения, согласно Арнольду, следует рассматривать в симплектической геометрии как геометрической форме классической механики .

Двойственность [ править ]

Важная причина, по которой сингулярности вызывают проблемы в математике, заключается в том, что при отказе структуры многообразия использование двойственности Пуанкаре также запрещено. Важным достижением стало введение когомологии пересечений , которая первоначально возникла в результате попыток восстановить двойственность с помощью страт. Многочисленные связи и приложения возникли из исходной идеи, например, концепция извращенного пучка в гомологической алгебре .

Другие возможные значения [ править ]

Вышеупомянутая теория не имеет прямого отношения к концепции математической сингулярности как значения, при котором функция не определена. Для этого см., Например, изолированную особенность , существенную особенность , устранимую особенность . Однако теория монодромии дифференциальных уравнений в комплексной области вокруг сингулярностей действительно вступает в связь с геометрической теорией. Грубо говоря, монодромия изучает, как накрывающее отображение может вырождаться, тогда как теория особенностей изучает способ вырождения многообразия ; и эти поля связаны.

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]