Отражающая каустика, образованная
кругом и параллельными лучами
В дифференциальной геометрии , A каустической является огибающей из лучей либо отраженных или преломленных на коллекторе . Это связано с концепцией каустики в геометрической оптике . Источником луча может быть точка (называемая излучателем) или параллельные лучи из бесконечно удаленной точки, и в этом случае необходимо указать вектор направления лучей.
В более общем плане , особенно применительно к симплектической геометрии и теории особенностей , каустика является критическим значением набор из лагранжева отображения ( л ○ я ): L ↪ М ↠ Б ; где я : L ↪ М лагранжиан погружной из лагранжева подмногообразия L в симплектическом многообразии М , и π : М ↠ В лагранжево расслоение симплектического многообразия М . Каустической является подмножеством лагранжиана расслоения «ы базового пространства B . [1]
Катакустический [ править ] Catacaustic является отражающим случай.
С лучистого, это разверткой из orthotomic радианта.
Случай плоских параллельных источников лучей: предположим, что вектор направления равен, а зеркальная кривая параметризована как . Вектор нормали в точке ; отражение вектора направления (нормаль требует специальной нормализации) ( а , б ) {\ Displaystyle (а, б)} ( ты ( т ) , v ( т ) ) {\ Displaystyle (и (т), v (т))} ( - v ′ ( т ) , ты ′ ( т ) ) {\ Displaystyle (-v '(т), и' (т))}
2 проект п d - d знак равно 2 п п ⋅ п п ⋅ d п ⋅ п - d знак равно 2 п п ⋅ d п ⋅ п - d знак равно ( а v ′ 2 - 2 б ты ′ v ′ - а ты ′ 2 , б ты ′ 2 - 2 а ты ′ v ′ - б v ′ 2 ) v ′ 2 + ты ′ 2 {\displaystyle 2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}} Компоненты найденного отраженного вектора рассматривают его как касательную.
( x − u ) ( b u ′ 2 − 2 a u ′ v ′ − b v ′ 2 ) = ( y − v ) ( a v ′ 2 − 2 b u ′ v ′ − a u ′ 2 ) . {\displaystyle (x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).} Использование самой простой формы конверта
F ( x , y , t ) = ( x − u ) ( b u ′ 2 − 2 a u ′ v ′ − b v ′ 2 ) − ( y − v ) ( a v ′ 2 − 2 b u ′ v ′ − a u ′ 2 ) {\displaystyle F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})} = x ( b u ′ 2 − 2 a u ′ v ′ − b v ′ 2 ) − y ( a v ′ 2 − 2 b u ′ v ′ − a u ′ 2 ) + b ( u v ′ 2 − u u ′ 2 − 2 v u ′ v ′ ) + a ( − v u ′ 2 + v v ′ 2 + 2 u u ′ v ′ ) {\displaystyle =x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')} F t ( x , y , t ) = 2 x ( b u ′ u ″ − a ( u ′ v ″ + u ″ v ′ ) − b v ′ v ″ ) − 2 y ( a v ′ v ″ − b ( u ″ v ′ + u ′ v ″ ) − a u ′ u ″ ) {\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')} + b ( u ′ v ′ 2 + 2 u v ′ v ″ − u ′ 3 − 2 u u ′ u ″ − 2 u ′ v ′ 2 − 2 u ″ v v ′ − 2 u ′ v v ″ ) + a ( − v ′ u ′ 2 − 2 v u ′ u ″ + v ′ 3 + 2 v v ′ v ″ + 2 v ′ u ′ 2 + 2 v ″ u u ′ + 2 v ′ u u ″ ) {\displaystyle +b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')} которые могут быть эстетично, но дает линейную систему в и так элементарно получить параметризацию catacaustic. Правило Крамера будет служить. F = F t = 0 {\displaystyle F=F_{t}=0} ( x , y ) {\displaystyle (x,y)}
Пусть вектор направления равен (0,1), а зеркало -
Тогда ( t , t 2 ) . {\displaystyle (t,t^{2}).}
u ′ = 1 {\displaystyle u'=1} u ″ = 0 {\displaystyle u''=0} v ′ = 2 t {\displaystyle v'=2t} v ″ = 2 {\displaystyle v''=2} a = 0 {\displaystyle a=0} b = 1 {\displaystyle b=1} F ( x , y , t ) = ( x − t ) ( 1 − 4 t 2 ) + 4 t ( y − t 2 ) = x ( 1 − 4 t 2 ) + 4 t y − t {\displaystyle F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t} F t ( x , y , t ) = − 8 t x + 4 y − 1 {\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1} и имеет решение ; т.е. свет, попадающий в параболическое зеркало параллельно его оси, отражается через фокус. F = F t = 0 {\displaystyle F=F_{t}=0} ( 0 , 1 / 4 ) {\displaystyle (0,1/4)}
Внешние ссылки [ править ] Вайсштейн, Эрик В. «Каустик» . MathWorld . Эволют Инволют Двойная кривая Обратная кривая Параллельная кривая Изоптический Изгибы педалей и контрапедалей Отрицательная кривая педали Кривая преследования Каустик
